2016年秋季新版沪科版九年级数学上学期21.4、二次函数的应用课件5

18．(12分)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快廉租房建设力度，2014年市政府共投资2亿元人民币建设廉租房8万平方米，若今后两年投资的增长率均为x，设到2016年底政府共累计投资y亿元人民币． (1)求y与x之间的函数关系式； 解：y＝2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝2x2＋6x＋6 (2)若三年累计投资达到9.5亿元人民币，求投资的年增长率． 解：2x2＋6x＋6＝9.5，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－3.5(舍去)，故每年市政府投资增长率是50%
21．1 二次函数
1．一般地，形如 ________________(a，b，c是常数，a____0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量． 2．二次函数自变量的取值范围一般都是__________，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题___________．
y＝ax2＋bx＋c
≠
全体实数
y＝100(1＋x)2
y＋1成正比例，且当x＝2时，y＝10. (1)求y与x之间的函数关系式，并指出它属于哪种类型的函数； 解：y＝2x2＋2，二次函数 (2)若点(m，20)在其函数图象上，求m的值． 解：m＝±3
17．(10分)某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘60元的售价卖出，一个月能售出800盘，现根据市场分析，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盘，请你写出当每盘的售价涨x元时，该商店月销售额y(元)与x的关系式，并指出y是x的什么函数． 解：根据题意，得y＝(60＋x)(800－10x)，所以y＝－10x2＋200x＋48 000.y是x的二次函数
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我们，还在路上……
有意义
C
D
0
A

（1）求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标， 并指 出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
灿若寒星
【分析】（1）日利润=每千克的利润×日销售量﹣杂支，根据 物价部门规定，x的取值范围是30≤x≤70； （2）用配方法变形，根据对称性画草图解答． 解：（1）y=（x﹣30）【60+2（70﹣x）】﹣500
灿若寒星
【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置，可设抛物线的表达
式为y=ax2，只需要一个条件可确定解析式，依题意点B（6，
﹣5.6）在抛物线的图象上，抛物线解析式可求；
（2）根据高度关系可确定C，D两点纵坐标，可求它们的横坐标
及CD的长度，解答本题问题．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
45
7
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07（舍去）
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
灿若寒星
2. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进 价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销 售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中， 每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）. 设销售单价为x元，日均获利为y元.
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，∴﹣5.6=36a
a 7 . ∴抛物线的表达式45
灿若寒星
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标

D
A
B
C
第十五页，共28页。
最值应用题——路程(lùchéng)问 题
快艇(kuàitǐng)和轮船分别从A地和C地同时
出发，各沿着所指方向航行（如图所示），快
艇(kuàitǐng)和轮船的速度分别是每小时
40km和每小时16km。已知AC＝145km，经
过多少时间，快艇(kuàitǐng)和轮船之间的距
百货类
5
百货类
0.3万元
服装类
4
服装类
0.5万元
家电类
2
家电类
0.2万元
第二十八页，共28页。
• 在同一坐标系内画出这三个二次函数图象； • 分析(fēnxī)这三条抛物线的对称关系，并
第二页，共28页。
思维(sīwéi)小憩：
• 用待定系数法求二次函数的解析式，设出 一般式y=ax2+bx+c是绝对通用的办法 (bànfǎ)。
• 因为有三个待定系数，所以要求有三个已 知点坐标。
• 一般地，函数y=f(x)的图象关于x轴对称的 图象的解析式是y=-f(x)
上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，BC＝4，cos∠ACB＝3/5。 • 求A、B、C三点坐标； • 若二次函数图象经过A、B、C三点，求其解析式； • 求二次函数的对称轴和顶点坐标
第十一页，共28页。
二次函数(hánshù)的应用
第十二页，共28页。
二次函数(hánshù)最值的理论
你能说明为什么当x b 时，函数的最值是 2a
动(yùndòng)路线是（1）
中的抛物线，
且运动(yùndòng)员在空中调
整好入
水姿势时，距池边的水平
距离为18/5米，

0 a ( 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
∴这时水面的宽度为:
x1 2 6 , x2 2 6
x2 x1 2 6 m
1 0.5( x 2 )2 2
其中h是物体上升的高度，vo是物体上抛时的初 速度，g是重力加速度，通常取g=10m/s t是物体抛出后经过的时间 在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时 竖直向上的初速度为什10米每秒。 (1)问排球上升的最大高度是多少？ (2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳， 如果他要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多 长时间扣球最佳？（精确到0.1秒）
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m
练习
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型， 建立如图所示的坐标系,其函数的解析式为 1 2 y x ， 当水位线在AB位置时，水面宽 25 AB 30米,这时水面离桥顶的高度h是（） A、米 5 B、米； 6 C、米； 8 D、米 9
21.4二次函数的应用
例1 在问题 1 中，要使围成的水面面积最大， 那么它的长应是多少米？它的最大面积是 多少？
解：将这个函数关系配方，得
s ( X 10) 100
2
它的顶点坐标是（10，100).所以，当 X=10M时函数有最大值，最大值为100平 方米
例2：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下 关系式 h vot 1 gt 2
解一
如图所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为Y轴，
建立平面直角坐标系。 ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

情景导入
1．利用配方法求函数y＝－4x2＋80x的最大值．
y＝－4(x2－20x＋102－102) ＝－4(x－10)2＋400 当x＝10时，y最大值＝400
2．实例引入：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙 (墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使 园子的面积最大？最大面积是多少？
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米， 由题意得 S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0＜x＜ 10)．∵－2＜0， ∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最 大值为50平方米．
450 x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索 的长.
解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m)
y
2500
-450 O 450 x
仿例
图1
图2
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，代入102a＋6＝0. 解得a＝－0.06，得y＝－0.06x2＋6. 当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5. ∴DF＝5.EF＝10，即水面宽度为10米．
图1
图2
自学互研
知识模块三 二次函数与高度问题
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面宽为4米 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面 宽度为多少米？
解：设抛物线解析式为y＝ax2(a≠0)，由题意
知D坐标为(2，－2)，代入y＝ax2，得－2＝
坐标为
－3，当y＝－3时，－

解方程组，得
a 0.002, b 0.01, c 0.
因而，所求函数关系式为
2
y 0.002x 0.01x.
2
（3）把y=46.5m代入函数关系式，得
46.5 0.002x 0.01x.
解方程，得
x1 150km/h,x2 155km/h舍去.
——课本例4、5
（1课时）
如何运用二次函数求实际问题中的 最大值或最小值? 首先求出二次函数解析式和自变量的取 值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的 最大值或最小值. 注意：求得的最大值或最小值对应的 自变量的值必须在自变量的取值范围内.
例3 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如 下的关系式 h v 0 t 1 gt2 v0 2 其中h是物体上升的高度， 是物体被上抛 时竖 通常取 直向上的初始速度，g是重力加速度， 2 g 10m/s ，t是物体抛出后经过的时间 在一次排球比赛中，球从靠近地面处被 垫起时竖直向上的初始速度为 10m/s （1）问排球上升的最大高度是多少？
因而，制动车速为150km/h(>110km/h),即在 事故发生时，该汽车属超速行驶.
练
习
课本同步练习：41页1、2、3题。
作业布置
课本p42练习 第4题
教学反思
（2）已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最 佳，如果他要打快到0.1s) 解（1）根据题意，得 1
h 10t 10t 5t 1 5 2
2 2
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5）， 所以排球上升的最大高度为5m 2 2在h 10t 5t 中，当h 2.5m时，有
刹车时车速（千米/时）
0
10

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视频引入
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思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
1. 什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与
y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？ 形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次
解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的
二次函数.
2. 若函数 y (m2 9)x2 (m 2)x 4 是二次函数， 那么 m 的取值范围是什么？
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
思考： 1. 已知二次函数 y＝－10x2＋180x＋400，自变量 x 的取 值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y＝－10x2 ＋180x＋400，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围还应符合实际 情况，使实际问题有意义.
解：（1）由题意知
m2 7 1，Βιβλιοθήκη m30，解得
m=
2
2.
（2）由题意知
m2 7 2，
m
3
0，
解得 m = 3.
注意 第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，
从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视.
变式训练
y1. 已(k 知 2)x k

一、新课引入
二次函数最值的理论
你能说明为什x么当 b 时，函数的最值是 2a
y4acb2 呢？此时是最大最 值小 还值 是呢？ 4a
求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值.其中m为常数且 m≠－1.
二、新课讲解
例1 在第21.1节的问题1中，要使围成的水面面积最大， 则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
二、新课讲解
在已知数据中任选三组，如取（0，0），（10，0.3）， （20，1.0），分别代入所设函数的表达式，得
c=0， 100a+10b+c=0.3，
400a+20b+c=1.0. 解方程组，得
a=0.002， b=0.01，
c=0. 即所求函数的表达式为y=0.002x2+0.01x（x≥0）. 把y=46.5m代入上式，得
A
D
B
C
四、强化训练
解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
(2)当x＝
b
b
2a2a
3 3时，S最大值＝
4ac b2 4a
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
A
D
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
四、强化训练
1.已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两条直角边各为多 少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
解：设其中一条直角边的长为x，另一条直角边为（8-x）.
则直角三角形的面积: S 1 x.(8 x)
2
怎样

知1－练
感悟新知
(1) 求点 P 的坐标和 a 的值；
知1－练
解题秘方：利用待定系数法可求得 a 的值；
解： 在一次函数 y=－0.4x+2.8 中， 令 x=0，得 y=2.8，∴ P(0， 2.8)． 将点 P(0， 2.8)的坐标代入 y=a( x－1) 2+3.2 中， 得 a+3.2=2.8，解得 a=－0.4．
感悟新知
如图②，当两辆消防车喷水口 A， B 的水平距离为 知1－练 80 m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相 遇点 H 距地面 20 m， 喷水口 A， B 距地面均为4 m. 若两辆消防车同时后退 10 m，两条水柱的形状及喷水 口 A′， B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱 相遇点 H′距地面 ___1_9_____m．
感悟新知
解： ∵ OA=3 m， CA=2 m，∴ OC=5 m．
若选择扣球，则令 － 0.4x+2.8=0，解得 x=7，
知1－练
即落地点到 O 点的距离为 7 m，
∴落地点到 C 点的距离为 7 － 5=2(m)；
若选择吊球，则令 － 0.4(x － 1) 2+3.2=0，
解得 x=±2 2 +1(负值舍去)，
∴落水点 C， D 之间的距离为 22 m.
感悟新知
(3) 若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF， OE=10 m知，1－练
EF=1.8 m， EF ⊥ OD． 问： 顶部 F 是否会碰到
水柱？ 请通过计算说明 .
解：当
x=10
时，
y=
－
1 6
×(10
－
5)
2+6=

即x在对称轴的右侧.
函数的值随着x的增大而减小.

∴当x＝－3时，y最大值＝ ；

当x＝1时，y最小值＝－ .
x＝－5
y
－3
O
1
x
知识归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的最值可以根据以下步骤来确定：
(1) 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
(2) 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明
例题与练习
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，
由题意得
S＝x(20－2x)
＝－2x2＋20x
＝－2(x－5)2＋50 (0＜x＜10)．
∵－2＜0，
∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大
值为50平方米．
例题与练习
例3 如图，有长为 30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大
可用长度为 10 m)，围成中间隔有一道篱笆 (平行于AB)
的矩形花圃．设花圃的一边AB为 x m，面积为 y m2.
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) y是否有最大值？如果有，
要求出y的最大值．
例题与练习
解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.

(2)由题意得：0＜30－3x≤10，即
直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋0.5.
抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得
81.5＝a·4502＋0.5.


解得 a＝
＝