第六章自旋与全同粒子案例

3)二者均为角动量，有共性 S2 S S 1 h2
S
S S 1h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2
1 2
1h
3h 2
,
L
Sz ms h,
ms
1 ,2s
2
1
2个值，
Lz ml h, ml 0, 1,L , l (2l 1)个
双线：两个磁矩（角动量）值，2s 1 2
l l 1h
7.2 自旋态与自旋算符
一、自旋态的描述
z
对角
ˆ z
1
0
0 1
(17)
这时
ˆ x ,ˆ y
不一定对角化，可由ˆi 对易关系和
ˆ
2 i
1
求出。
２）设
ˆ x
a
d
b c
(18)
由厄米性：ˆ ˆ ，可见 a, c 为实数，b d
ˆ x
a
b
b c
(19)
将(19)式代入(12)式之３,即 z x x z 0 ，可得
4
Sˆx2
Sˆ
2 y
Sˆz2
h2 4
(3)
Svˆ 2 3 h2 3 h2 (4) 44
写为角动量算符的一般形式：S 2 S(S 1)h2 3 h2 (5)
4
由(5)得 S 1 (6) 2
２、泡利算符 及其对易关系：
1)定义：
v S
h
v， 则 ( 2)式 可 写 为 ： (7)
特例：s态原子，l=m=0,Enl分裂为两个能级，Stern Gerlach实验即看到了这个现象（纯自旋效应）
3.谱线分裂:nlm nlm ,
= nlm
nlm h
0

61第六章自旋与全同粒子§6-1 电子自旋的实验证据（一）斯特恩－盖拉赫实验Z（1）实验描述基态的氢原子束经非均NS基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。

处于基态的氢原子（2）结论I 。

氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。

II 。

氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。

III 。

处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。

钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构钠原子光谱中的条亮黄线λ≈5893Å，用高分辨率的光谱仪观测可以看到该谱线其实是由3p观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。

5893ÅD 1D 2很两条线其他原子光谱中也可以发5896Å5890Å现类似现象，称之为光谱线的3s精细结构。

该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。

（三）电子自旋假设乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设：（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值方向上的投影只能取两个数值：2z s SS m =±=m s 称为自旋磁量子数。

（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为：S e M S−= μ因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2S zBe MMμ=±=± Bohr Bohr磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介ˆ （一）角动量算符的普遍定义A定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⎡⎡⎡定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符：,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ⎤⎤⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222ˆˆˆˆ=++x y zA A A A 2ˆˆ⎡(),0,,A A x y z α⎤==ˆA ˆ（二）与的本征值2zA 角动量平方算符与角动量算符各分量对易故角动量平方算符与角动量算符各分量对易，故有共同的本征函数系，在共同本征态下，同时具有确定值（本征值）。

√
电子自旋(1/2)

斯特恩-革拉赫实验
照相片 PP ，不均匀磁场，狭缝 BB ，s 态的氢原子源 K s 态的氢原子束通过狭缝 BB 和不均匀磁场， 射到照相片 PP 上，出现两条分立线 分立线：氢原子具有磁矩 两条线：磁矩只有两种取向 s 态的氢原子：角量子数 l = 0，没有轨道角 动量，磁矩是固有的(自旋磁矩)
√
小结(1/3)

电子的自旋 自旋算符： 对易关系： 平方算符：

泡利矩阵： 自旋算符函数 自旋算符函数 对自旋求平均： 对坐标和自旋求平均：


自旋波函数：

无自旋与轨道相互作用的电子波函数：
的本征函数：
√

小结(2/3)

两电子体系的自旋函数：

算符
和
在
中的本征值

简单塞曼效应：
的共同本征函数

耦合表象的基矢：
的共同本征函数
)

有自旋与轨道相互作用的哈密顿量(
√
光谱的精细结构(2/4)

微扰的自旋与轨道相互作用

耦合表象的基矢 零级近似波函数(简并情况) 矩阵元、久期方程和能量的一级修正 用到的公式


矩阵元

久期方程
√
光谱的精细结构(3/4)

能量的一级修正


对易关系

本征值

自旋角动量算符的矩阵形式 态矢量(自旋的表象)
√
电子的自旋算符和自旋函数(3/3)

自旋角动量算符的矩阵形式
(

、 和
称泡利矩阵)
其它关系 正交归一关系：

第六章自旋与全同粒子非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。

这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。

在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。

§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点一．实验事实1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。

解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条,说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态 , ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。

即自旋磁矩。

2．碱原子光谱的双线结构如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成3．反常塞曼(Zeeman)效应1912年，Passhen 和 Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。

二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是为玻尔磁子这个比值称为电子自旋的回转磁比率.轨道运动的回转磁比率是三．电子自旋的特点乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。

但把电子的自转看成机械的自转是错误的。

设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。