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第六章 全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m ，电荷q ，磁矩M，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。
什么是全同性原理
全同性原理是量子力学中的一个基本原理，也被称为泡利不可区分原理。
根据全同性原理，具有相同量子状态（包括相同自旋、动量、位置等）的粒子是无法区分的，它们在物理性质上完全相同。
换句话说，如果两个粒子的量子态完全相同，那么无论从实验上还是理论上都无法分辨它们是哪个粒子。
例如，在考虑两个具有相同自旋的电子的情况下，无法确定某一个电子是A，另一个是B，因为它们在物理性质上完全相同。
全同性原理的重要性体现在一些基本的量子效应中，如波色-爱因斯坦凝聚现象和费米子的泡利不相容原理等。
其中，波色子具有全同性，可以聚集在相同的量子态上形成波色-爱因斯坦凝聚；而费米子则根据泡利不相容原理，不同自旋的费米子无法占据完全相同的量子态。
全同性原理在量子力学的研究和应用中起到重要的指导作用。
它导致了诸如玻色-爱因斯坦凝聚、准粒子等重要现象，也为量子计算、量子通信等领域的发展奠定了基础。
全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。
什么是全同性原理全同性原理，是指在量子力学中，具有相同自旋的全同粒子不可区分的基本原理。
这个原理的提出，对于我们理解微观世界中粒子的行为和性质具有重要的意义。
在本文中，我们将深入探讨全同性原理的概念、原理和其在物理学中的应用。
首先，全同性原理是指具有相同自旋的全同粒子，例如电子、质子、中子等，它们之间是不可区分的。
这意味着无法通过任何实验手段来区分它们的身份，即使在理论上也是如此。
这一原理是由泡利提出的，并且被广泛应用于量子力学的研究中。
其次，全同性原理的核心概念是交换对称性。
对于两个全同粒子，当它们发生交换时，系统的波函数必顨保持不变。
这意味着如果我们将两个全同粒子的位置互换，系统的状态不会发生改变。
这是由于全同性粒子的波函数必须是对称的，这就是所谓的波函数对称性原理。
在物理学中，全同性原理对于描述多粒子系统的行为具有重要的意义。
例如，在原子物理中，由于电子是全同性粒子，因此在描述原子的波函数时必须考虑全同性原理。
这导致了原子的电子排布必须遵循泡利不相容原理，从而形成了原子的电子壳层结构。
此外，在凝聚态物理中，由于晶格中的电子也是全同性粒子，因此在描述电子在晶格中的行为时，必须考虑全同性原理对波函数的影响。
除此之外，全同性原理还在量子统计中扮演着重要的角色。
根据全同性原理，费米子必须遵循泡利不相容原理，而玻色子则不受此限制。
这导致了费米子和玻色子在统计行为上的差异，例如费米子遵循费米-狄拉克统计，而玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计。
总之，全同性原理是量子力学中一个重要的基本原理，它对于我们理解微观世界中粒子的行为和性质具有重要的意义。
通过对全同性原理的深入研究，我们可以更好地理解原子、分子和凝聚态物质的性质，从而推动物理学领域的发展。
同时，全同性原理也为我们提供了一种全新的视角来理解微观世界中粒子的统计行为，为量子统计的研究提供了重要的理论基础。
因此，全同性原理的研究具有重要的理论和实际意义，值得我们进一步深入探讨和研究。
61第六章自旋与全同粒子§6-1 电子自旋的实验证据（一）斯特恩－盖拉赫实验Z（1）实验描述基态的氢原子束经非均NS基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
处于基态的氢原子（2）结论I 。
氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。
II 。
氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。
III 。
处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构钠原子光谱中的条亮黄线λ≈5893Å，用高分辨率的光谱仪观测可以看到该谱线其实是由3p观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。
5893ÅD 1D 2很两条线其他原子光谱中也可以发5896Å5890Å现类似现象，称之为光谱线的3s精细结构。
该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。
（三）电子自旋假设乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设：（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值方向上的投影只能取两个数值：2z s SS m =±=m s 称为自旋磁量子数。
（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为：S e M S−= μ因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2S zBe MMμ=±=± Bohr Bohr磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介ˆ （一）角动量算符的普遍定义A定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⎡⎡⎡定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符：,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ⎤⎤⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222ˆˆˆˆ=++x y zA A A A 2ˆˆ⎡(),0,,A A x y z α⎤==ˆA ˆ（二）与的本征值2zA 角动量平方算符与角动量算符各分量对易故角动量平方算符与角动量算符各分量对易，故有共同的本征函数系，在共同本征态下，同时具有确定值（本征值）。
解角动量方算符的本征方程22ˆA A ψψ=解角动量平方算符的本征方程1012得到本征值()221A j j =+30,,1,,2,22j =ˆz zA A ψψ=解角动量分量的本征方程z j A m =得到本征值,1,1,j j m j j j j m j=−−+−≤ 或以上是角动量算符的共性对于不同的角动量还以上是角动量算符的共性，对于不同的角动量还有不同的个性。
ˆˆˆ对于轨道角动量22ˆAL →z zA L →()221A j j =+130,,1,,2,22j =()221L l l =+ 0,1,2,l ==1,1,m =−−+− z j A m,,,j j j j j L m =1,1,m l l l l=−−+− z l ,,,l 63§6-3 自旋算符和自旋波函数（一）自旋算符自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释和其他力学量有着根本的差别，通常的学来解释。
和其他力学量有着根本的差别，通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数，而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他力学量样自旋角动量也是用个算与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为ˆ S自旋角动量和轨道角动量异同点:异：与坐标、动量无关，pr ˆ ×不适用；同：满足同样的角动量对易关系。
ˆˆˆ[L L i L = 轨道角动量ˆˆˆ[,]x z S S i S = 自旋角动量,]ˆˆˆ[,]x y z y z x L L i L = ˆˆˆ[,]ˆˆˆy y z x S S i S = ˆˆˆ[,]z x yL L i L = [,]z x yS S i S = 2222ˆˆˆˆx y z L L L L =++2222ˆˆˆˆx y z S S S S =++2ˆˆ,0,,L L x y zαα⎡⎤==2ˆˆ,0,,S S x y zαα⎡⎤==⎣⎦⎣⎦由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只± /2 能取两个值ˆˆˆS 所以的本征值都是±ˆ算符的本征值是3,,x y z S S /22S222224x y z S S S S =++= 仿照22)1( +=l l L 22231(1)S s s s =+=→===42自旋角量子数s只有一个数值l只有个数值轨道角量子数=仿照z L m =122z s s S m m ==±→=±=自旋磁量子数m s轨道磁量子数m因为自旋是电子内部运动自由度所以描写电（二）含自旋的状态波函数因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x , y , z ) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量(S z ），于是电子的含自旋的波函数需写为：),,,,(t S z y x z Ψ=Ψ由于/22x z t ⎧Ψ+⎪ S z 只取± /2 两个值，所以上式可写为两个分量：(,,,,)(,,,,)y x y z t ⎪Ψ=⎨⎪Ψ− 2⎪⎩通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。
但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，此时Ψ可以写成如下形式（分离变量）：,,,,,x z t r t S Ψ±=12()()()2z y ψχ±其中ˆS S 是的本征函数，称为自旋波函数z ()12z χ±⎧ˆ⎪⎪⎨=)(2)(2121z z z S S S χχ2ˆˆ,0,,S S x y zαα⎡⎤==⎣⎦∵1122()()z z S S χχ−和也是的本征函数2ˆS223ˆ⎧11222()()4z z S S S χχ=⎪⎪⎨112223ˆ()()4z z S S S χχ−−⎪=⎪⎩ 对于考虑自旋的氢原子，定态波函数为：Ψ()()(),,,,,s z nlm m z r S r S θϕψθϕχΨ==因此确定电子的状态需要四个量子数因此确定电子的状态需要四个量子数：,,,sn l m m 由于存在两种自旋态能级简并度由由于存在两种自旋态，能级简并度由n 2变为2n 2。
6-4 §全同粒子波函数泡利原理（一）全同粒子的不可区分性（1）全同粒子质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
（2）经典粒子的可区分性经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是以分的为粒在动中有各自确定是可以区分的。
因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。
的轨道在任意时刻都有确定的位置和速度轨道速度位置⇒⎨⎧21⎩可判断哪个是第个粒子哪个是第二个粒子12可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子（3）微观粒子的不可区分性服从用微观粒子运动量子力学波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区分的4（）全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变换不引起体系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之全同性原理是量子力学的基本原理之一。
ˆ个全同粒子组成的体系其哈密顿量为（二）全同粒子体系的交换不变性H2个全同粒子组成的体系，其哈密顿量为：ˆH q q 122212(,)()(,)i i U q V q q ⎡⎤=−∇++ 1,22i μ=⎢⎥⎣⎦∑q r s ≡其中{,}i i i 表示第i 个粒子的坐标和自旋。
调换两个粒子，体系哈密顿量不变。
ˆˆH =(,,)(,,)q q H q qN 个全同粒子组成的体系调换其中第推广到N 个全同粒子组成的体系，调换其中第i 和第j 粒子，体系哈密顿量不变。
1212ˆˆ(,,)(,,)i j N j i NH q q q q q H q q q q q = 全同粒子组成的体系的哈密顿量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后哈密顿量不变。
（三）对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的本征方程121212ˆ(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φq q )将方程中（q 1, q 2) 调换212121ˆ(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φ由于哈密顿量对于（q 1, q 2) 调换不变，得：122121ˆ(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φ表明：（q 1, q 2) 调换前后的波函数都是12ˆ(,)H q q根据全同性原理知描写同状描写同一状态。
因此，二者相差一常数因子。
1221(,)(,)q q q q ΦΦ和1221(,)(,)q q c q q Φ=Φ为确定c ，引入交换算符，它对全同粒子体系的ˆP作用是交换两个粒子的坐标1221ˆ(,)(,)P q q q q Φ=Φ2112ˆ(,)(,)P q q q q Φ=Φˆˆˆˆ2121221(,)(,)(,)P q q P P q q P q q ⎡⎤Φ=Φ=Φ⎣⎦=12(,)q q Φ另一方面222ˆˆˆP P c q q cP q q Φ=Φ=Φ[][]1221212122121(,)(,)(,)ˆˆˆ(,)(,)(,)q q cP q q cP c q q c P q q =Φ=Φ=Φ212(,)c q q =Φ211c c =⇒=±与上式比较可得1221(,)(,)q q q q Φ=Φc ＝1，二粒子互换后波函数不变，称为对称波函数=−Φ＝－二粒子互换后波函数变号1221(,)(,)q q q q ΦΦc ＝1，二粒子互换后波函数变号，称为反对称波函数推广到N 个全同粒子体系，两个粒子互换后，体系的波函数或者保持不变，或者与原来的波函数差一负号。
玻色子和费米子实验表明：对于每一种微观粒子，它们的多粒波数的交换对称性是完全确定的该粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。
对称性与粒子的自旋有确定的联系（1）玻色子凡自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒2子，其多粒子波函数对于交换2 个粒子总是对称的，遵从玻色统计，故称为玻色子例如：γ光子（s =1）；π介子（s = 0）。
（2）费米子凡自旋为 半奇数倍（s=1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换2 个粒子总是反对称的，遵从费米统计，故称为费米子。
称的遵从费米统计故称为例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。
例如：电子质子中子（）等粒子（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子如果复杂粒子由玻色子组成或偶数个费米子组成，则为玻色子。
