三角高程测量的公式论证及应用

的影响 ,所得的并非是 PN 直线方向 , 而是曲线 N P 方向 。这就是说 ,仪器置于 A 点测得的倾斜视线为
N P的切线方向 PM ,而水平视线则为 PC 方向 。因此 测得的垂直角 α12应为 PM 与 PC 之间的夹角 。
二 、三角高程测量解算原理和计算公式
1. 由单向观测垂直角及平距计算值求定两点 间高差
1-
y2m 2 R2m
1+
Hm R
=d
1-
y2m 2 R2m
+
Hm R
(5)
式中 , ym 为 A 、B 两点相对于中央子午线的高斯横
坐标平均值 , Hm 为测线两端点到测区边长归算面
的平均高程 。对于国家坐标系而言 , 此边长归算基
准面即为国家参考椭球面 。
将式 (5) 代入式 (2) 得出
h12 = dtan α12 + i1 - v2 + Cd2 +δh12
=
0. 000 6 m;而当 S = 10 km ,α = 5°,δh = 0. 001 0 m。
因此完全可以忽略不计 , 式 (10) 以至式 ( 9) 足够精
确 。顺便述及 ,按以下的由斜距求平距的习用公式 求得的过点 P 的水准面上的平距 PC 则含有ε一次
项的影响
PC = Scos α12
(13)
( S12sin α12 -
S21sin α21)
+
1 2
( i1 + v1)
-
1 2
( i2
+
v2)
(19)
5. 电磁波测距边与高差并非同时测定情况下
的高差与平距的求定
除全站仪外 ,目前使用的很多测距仪都是通过接 合器与经纬仪相连接 ,不便于在测距的同时施测垂直 角 ;而在精密边角控制网测定中 ,为保证其高精度及 可靠性 ,常采用高精度激光测距仪如 ME3000 单独测 定斜距 ,而由 Wild T3 经纬仪单独测定垂直角 。
由于斜距和垂直角并不相对应 ,显然就不能采
用式 (13) 来得出平距 。但仍可由三角高程测定的高
差来得出平距 。虽然在求高差的公式中也包含平
距 ,但由于两点间高差及两点在平均高程面上的距
离都具有惟一性 ,因此可联合利用求平距及求高差 的公式进行迭代计算 ,在此介绍不需迭代 、直接解算 的解式[3 ] 。
心 N 间的直线距离 S 。以 i1 , v2 分别表示 A 点上的 测距仪高及 B 点上的棱镜高 , 则高差的计算公式即
为
h12 = S sin α12 + i1 - v2 + CS2 cos2 α12 (9)
在全站仪中 , 测角瞄准与测距接收的光路是同
轴的 ,则测定垂直角的仪器高及目标高度也分别等
2 测 绘 通 报 2003 年 第 1 期
是近Байду номын сангаас的 :
S0 = MC = PCtan α12
(3)
若对一般三角形 PCM 按正弦定律求解 ,则有
MC =
PC sin
sin α12 (90°- α12 - ε)
=
PCtan α12 +δh
由三角高程测量计算测站点 A 和照准点 B 之 间高差的原始公式为
h12
=
S0tan α12
+
21RS
2 0
+
i1
-
21R′S20 -
v2
(1)
式中 , R 为地球椭球半径 ,可足够精确地取其概略值
6 370 km ,并因距离不长可将椭球近似看做为圆球 。
式中垂直角 α12 、仪器高 i1 和觇标高 v2 均由外业观
(4) 式中
δh =
PCtan α12
tan
α12ε+
ε2 2
当 PC = 10 km ,α12 = 3°;δh = 0. 044 m; 而当 α12 = 5°; δh = 0. 121 m。可见 ,若距离较长 、高差较大 , 取用平
距 PC来计算会影响高差的准确求定 , 使求得的高差
偏小 。其实 ,式 (2) 中的水平距离 PC可用过 P 点的
Scos α12
=
( NN′+ 2
PC)
(16)
可见 ,当顾及过 A 、B 两点的垂线之间所存在的
交角ε时 ,由通常所采用的求平距公式 (16) 所得的
并非是过测线一端点的水准面上的平距 , 而是测线
两端点平均高程面上的平距 。
4. 由电磁波往返实测斜距和对向观测垂直角 求定两点间高差
由往返测斜距 S12 、S21和往返测垂直角 α12 、α21 求定往返测高差的计算公式为
由斜距和高差求得的平距为
S0 =
S
2 12
-
( h12 + v2 -
i1) 2 =
S
2 12
-
( h12 + p) 2
(20)
式中 , S12为实测斜距 ; i1 及 v2 分别为 A 点上的测距 仪高及 B 点上的棱镜高 。
由双向观测的垂直角 α12 、α21 及平距 S0 计算 A 、B 两点间平均高差 h 可采用下式
一 、前 言
三角高程测量原是指由测站向照准目标观测的 垂直角及其间已知的水平距离来近似求定两点间高 差的一种方法 。由于受诸多因素的限制 ,由三角高 程测量测定的高差 ,其精度并不高 ,难以取代水准测 量而作为等级高程控制测量的方法 。
利用电磁波测距仪可直接测定高精度的斜距 , 全站仪的应用可以提高垂直角的测定精度 ,精确量 测仪器高和目标高在技术上有其可行性 。这就使得 电磁波短边三角高程测量可以达到三 、四等水准测 量的精度 。本文则要探讨三角高程测量原始公式的 不严密性 ,以及对电磁波测距三角高程测量的影响 。
收稿日期 : 2002207222 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (49971067) 作者简介 :施一民 (19422) ,男 ,浙江宁波人 ,教授 ,博士生导师 ,主要从事测量数据处理 , GPS 定位技术及 GIS 3 维建模的研究 。
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
2003 年 第 1 期 测 绘 通 报 1
文章编号 :049420911 (2003) 0120001203
中图分类号 :P224. 2 文献标识码 :B
三角高程测量的公式论证及应用
施一民
(同济大学 测量与国土信息工程系 ,上海 200092)
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
2003 年 第 1 期 测 绘 通 报 3
若仅顾及角ε的一次项 ,平距 PC 应为
S sin
sin α12 (90°+ε)
=
S
sin
α12
(1
ε2 + 2)
(11)
由式 (9) 、式 (11) ,得出舍去ε对高差的影响为
δh = S sin α12ε22
(12)
可知它仅为 ε的二次项 。其影响极小 , 因 ε=
S0 R
=
Scos α12 。当
R
S
= 10 km , α =
3°, δh
水准面上的弧长 PE或弦长 PE来代替 。其差值仅为
ε的 二 次 项 , 对 于 10 km 的 边 长 , 边 长 差 异 仅 为 0. 012 m ,若垂直角 α12 = 3°, 对高差的影响则不足 1 mm。
在实际应用中 S0 更可取用测线两端平均高程 面上的距离 ,它比 S0 大些 , 从而可减小高差计算公 式(2) 不够严密的影响 。可以推证当 S0 如此取用 后 ,仍使求得的高差偏小些 。
PC
=
S sin (90°sin (90
α12 +ε)
ε)
=S
cos α12 -
Sεsin α12
(14)
类似地 , 过测线另一端点 N 的水准面上的平距 NN′
则为
NN′=
S sin (90°- α12 +ε) sin (90°- ε)
=
S
cos α12 +
Sεsin α12
(15)
将 (15) 和 (14) 两式相加并除以 2 ,得出
式 (1) 、式 (2) 中还含有观测时的大气垂直折光 系数 K 或球气差系数 C , 由于实际工作中难以精确 地予以测定 ,实测中常可通过对向观测垂直角来近 似地消除球气差的影响 。
对向观测垂直角求定的平均高差为
h12 =
1 2
d (tan α12 -
tan α21)
+
1 2
( i1 +
v1)
-
1 2
同于 i1 及 v2 。而一般的测距仪虽不能实现同轴 , 这 两个轴也是大致平行的 。
下面再来考虑角 ε对高差的影响 。在式 (9) 的
第一项中 ,是将 ∠PCM 视为直角而有
MC = S sin α12
(10)
若顾及角 ε, 应 按 一 般 三 角 形 而 用 正 弦 定 律 求 解 得
出
MC
=
测得到 。水平距离 S0 则可由测线两端点 A 和 B 的
高斯坐标归算得出 。
如图 1 所示 。 PE , A F分别为过 P 点和 A 点的
水准面 。 PC是PE在 P 点上的切线 , PN为光程曲线 。 当位于 P 点的望远镜指向目标 N 时 ,由于大气折光
图1
式 (1) 中 , R′为光程曲线 PN 在 N 点上的曲率半