任意角的三角函数及诱导公式
有
cos OM x α==
同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，
规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标。
这样,无论那种情况都有sin MP y α==。像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有
tan y
AT x
α==
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
6．同角三角函数关系式
使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。
几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)
同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。
②2
1sin 1sin 2αα⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭． ③当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin tan x x x <<。
7．诱导公式
可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈
诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=- 诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=
－α
απ-
απ+
απ-2
()Z k k ∈+απ2απ
-2
sin
－sin α
sin α
－sin α
－sin α
sin
α
cos α
cos
cos α －cos α －cos α cos α
cos
α
sin α
（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
（3）sin(kπ+α)=(－1)k sinα；cos(kπ+α)=(－1)k cosα(k∈Z)； （4）sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。 二．典例分析
考点一：角的集合表示及象限角的判定
典题导入
已知角α＝45°，
(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；
(2)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝
k 2×180°＋45°，k ∈Z ，
N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝
k
4×180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系．
(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，
则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，
得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45
360，
从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；
而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N .
由题悟法
1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．
2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．
以题试法
1．(1)给出下列四个命题： ①－
3π4是第二象限角；②4π
3
是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限． 解析：(1)－
3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π
3
是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
(2)由已知π
2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，
则－π－2k π<－α<－π
2－2k π(k ∈Z )，
即－π＋2k π<－α<－π
2＋2k π(k ∈Z )，
故2k π<π－α<π
2＋2k π(k ∈Z )，
所以π－α是第一象限角． 答案：(1)C (2)一 考点二：三角函数的定义
典题导入
(1)已知角α的终边上有一点P (t ，t 2
＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1
B ．2
