高中数学等比数列

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式

知识点一 等比数列的概念

(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．

(2)符号语言：an＋1an＝q(q为常数，n∈N*)

【重点总结】

(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．

(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．

(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．

要点二 等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

【重点总结】

(1)若G是a与b的等比中项，则Ga＝bG，所以G2＝ab，G＝±ab.

(2)与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝a＋b2”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab与－ab；当a，b异号时没有等比中项．

(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

要点三 等比数列的通项公式

设等比数列{an}的公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝11naq (a1，q≠0且n∈N*)．

【重点总结】

(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．

(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．

(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．

【基础自测】

1

等比数列

【基础知识回顾】

1. 等比数列的概念：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q）。

2. 等比中项：

如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么GbaG，即abG2。

3. 等比数列的判定方法：

（1）定义法：对于数列na，若)0(1qqaann，则数列na是等比数列。 [来源:学科网ZXXK]

（2）等比中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等比数列。

4. 等比数列的通项公式：

如果等比数列na的首项是1a，公比是q，则等比数列的通项为11nnqaa。

5. 等比数列的前n项和：

○1)1(1)1(1qqqaSnn ○2)1(11qqqaaSnn ○3当1q时，1naSn

6. 等比数列的性质：

①等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为q，则有mnmnqaa

②对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa

也就是：23121nnnaaaaaa。如图所示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321

③若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下图所示：

kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321

7. 数列前n项和

教案设计 高中数学

《等比数列》

●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；

过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能

在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数

的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并

应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点

等比数列的定义及通项公式

●教学难点

灵活应用定义式及通项公式解决相关问题

●教学过程

Ⅰ.课题导入

复习：等差数列的定义： na－1na=d ，（n≥2，n∈N）

等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的

数列。

课本P41页的4个例子：

①1，2，4，8，16，…

②1，12，14，18，116，…

③1，20，220，320，420，…

④100001.0198，2100001.0198，3100001.0198，4100001.0198，

5100001.0198，……

观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个

常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表

示（q≠0），即：1nnaa=q（q≠0）

1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

｛na｝成等比数列nnaa1=q（Nn,q≠0）

2 隐含：任一项00qan且

“na≠0”是数列｛na｝成等比数列的必要非充分条件．

3 q= 1时，{an}为常数。

2.等比数列的通项公式1: )0(111qaqaann由等比数列的定义，有：

高中数学等比数列知识点总结

一等比数列

１．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，常用ｑ表示

２．在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若2Gab，则称G为a与b的等比中项

３．通项公式

若等比数列na的首项是1a，公比是q，则11nnaaq

４．公式的变形

（１）nmnmaaq；

（２）11nnaaq；

（３）11nnaqa；

（４）nmnmaqa．

５．等比数列的性质

（１）若na是等比数列，且mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa（２）若na是等比数列，且2npq（n、p、*q），则2npqaaa

（３）从等比数列取出等距离的若干项，它们仍成等比数列

（４）等比数列中的项间隔一项的符号相同

６．如何判断一个数列是否是等比数列

（１）定义法：若-1nnaa＝同一个非零常数，则数列na是等比数列

（２）通项公式法

（３）等比中项法

二跟踪训练

１．12与12，两数的等比中项是（ ）

A．1 B．1 C．1 D．21

２．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则212baa= （ ） Ａ．1 Ｂ．－1 Ｃ．2 Ｄ．±1

３．在等比数列{na}中,已知11=9a,5=9a，则3=a（ ）

A、1 B、3 C、±1 D、±3

４．在等比数列na中, 若101,aa是方程06232xx的两根，则47aa-=___________.

５．等比数列na的各项均为正数，且564718aaaa则3132310loglog...logaaa