高一数学等比数列1

巴蜀中学高2022届高一（下）数学讲义（教师版）

1

2.5 等比数列的前n项和

2.5.1 等比数列前n项和公式的推导及简单应用

【学习目标】

1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.

2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.

【要点整合】

等比数列的前n项和公式 已知量 首项a

1，项数n与公比q 首项a

1，末项a

n与公比q

公式 S

n＝

 na

1，q＝1，

a

11－qn1－q，q≠1 S

n＝

 na

1，q＝1，

a

1－a

nq

1－q，q≠1

注意：(1)在应用公式求和时，应注意到Sn＝a

11－qn

1－q的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，

即S

n＝na

1.

(2) 知道首项a

1、公比q和项数n，可以用a

11－qn

1－q；知道首尾两项a

1，an和q，可以用a

1－a

nq

1－q；

(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a

1，n，q，a

n，S

n.知道其中任意三个，可求其余两个.

【典例讲练】

题型一 等比数列的前n项和公式

例1 在等比数列{a

n}中，

(1)aaa

3270,,11

124，求S

n；

(2) S

n＝189，q＝2，a

n＝96，求a

1和n.

【解析】 (1) Sn

n

43131

(2)由S

n＝a

1（1－qn）

1－q，a

n＝a

1·qn－1以及已知条件，得



189＝a

1（1－2n）

1－2，

96＝a

1·2n－1，

∴a

1·2n＝192，即2n＝192

a

1，∴189＝a

1(2n－1)＝a

1(192

a

1－1)，∴a

1＝3，2n－1＝96

3＝32，∴n＝6.

练习1：等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和S

n等于( )

第1页,共6页巴蜀中学高2022届高一（下）数学讲义（教师版）

2

A.1－xn

1－x B.1－xn－1

1－x C.

 1－xn

1－x，x≠1，

n，x＝1 D.

考点1等比数列的通项与前n项和

题型1已知等比数列的某些项，求某项

【例1】已知na为等比数列，162,262aa，则10a

【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质

【解析】方法1：811622451612qqaaqaa

1312281162469110qaqaa

方法2：812162264aaq，13122811624610qaa

方法3：na为等比数列

13122216222261026102aaaaaa

【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.

题型2 已知前n项和nS及其某项，求项数.

【例2】⑴已知nS为等比数列na前n项和，93nS，48na，公比2q，则项数n .

⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.

【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式11nnqaa及qqaSnn1)1(1求出1a及q，代入nS可求项数n；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.

【解析】⑴由93nS，48na，公比2q，得532248293)12(111naannn.

⑵方法1：设这四个数分别为dcba,,,，则363722cbbabdccab；

方法2：设前2个数分别为ba,，则第43、个数分别为ab3736，，则

)37()36()36(22abbabb，解得1612ba或481499ba；

方法3：设第32、个数分别为cb，，则第1个数为cb2，第1个数为bc2，则

20163622cbcbbccb或463481cb；

课题：等比数列的前项和（第一课时）

教材：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）

各位专家、评委，大家上午好！我是来自成都十八中的数学教师陈华，今天我要说课的题目是等比数列的前项和.我的说课从以下六个环节来进行.

一、教材分析

●教学内容

《等比数列的前项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章第五节的内容，本节计划授课课时，今天我的说课为第一课时.

●地位与作用

，

本节是数列这章中的一个重要内容,在现实生活中有着广泛的实际应用，另外公式推导过程中所渗透的数学思想方法,是学生今后学习和工作的必备数学素养．

二、学情分析

●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.

●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导，但不利因素是本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导又有所不同，另外，对于 这一特殊情况，学生往往容易忽视．

●任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃.

依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：

.教学目标

●知识与技能目标：

&

理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式.

●过程与方法目标:

在推导公式的过程中渗透数学思想、方法，优化学生思维品质．

●情感、态度与价值目标：

通过学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美.

.教学重点、难点

●重点：等比数列的前项和公式的推导和公式的简单应用．

突出重点的方法：“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.

…

● 难点：：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用

突破难点的手段：“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.

1 “四步教学法”课时教学设计

年级

组别 高一数学 审阅

（备课组长） 审阅

（学科校长）

主备人 使用人 授课时间

课

题 等比数列的通项公式 课 型 新授课

课标

要求 高考等级C级要求，掌握等比数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.

教

学

目

标 知识与能力 1.掌握等比数列通项公式及其求法.

2.会利用通项公式求等比数列的项、项数、公比、首项.

过程与方法 通过对等比数列通项公式的推导培养学生的观察力和归纳推理能力；通过等比数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.

情感、态度与价值观 培养学生观察、分析、判断与探究、归纳、猜想的能力；渗透数学思想和文化，激发学习兴趣和热情，获得积极的情感体验.

教学

重点 探索并掌握等比数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.

教学

难点 通项公式推导过程中体现的数学思想方法及从函数、方程的观点看通项公式.

教学

方法 小组合作，讲练结合

教学程序设计

教

学

过

程

及

方 环节一 明标自学

过程设计 二次备课

学习目标展示

(1) 阅读教材P51--52内容，掌握等比数列的通项公式及推导方法；

(2) 理解例题的解题过程，能灵活应用公式求项、项数、首项、公比.

自学指导

(1) 观察等比数列，你能找到数列的各项与其序号之间有什么关系

2 法 (2) 根据猜想，类比等差数列通项公式的推导方法，如何推导等比数列的通项公式？

(3) 根据等比数列的通项公式，你能写出公式的哪些变形形式？

(4) 如何判断一个数是否为等比数列的项？

(5) 数列是特殊的函数，那么等比数列和哪类函数有关系？

(6) 如果一个数列na的通项公式为nnaqa，其中qa,都是非零常数，那么这个数列一定是等比数列吗？

教

学

过

程

及

方

法 环节二 合作释疑 环节三 点拨拓展

（备注：合作释疑和点拨拓展可以按照顺序先后进行，也可以根据教学设计交叉进行设计）