24.3 正多边形和圆教案
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课题 24.3 正多边形和圆 授课人 安远县濂江中学 刘志超
教学目标 知识技能 使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系．
数学思考 使学生丰富对正多边形的认识，发展学生的形象思维．
问题解决 教师引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题，发展学生的实践能力和创新精神.
情感态度 通过认识与探究正多边形到实际应用等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．
教学重点 理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边相关概念及其中的关系．
教学难点 探索正多边形和圆的关系.
授课类型 新授课 课 时 第一课时
教具 多媒体
教 学 活 动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾与思考
（（积木展示） 问题：
1. 在这个摩天轮上你找到了哪几种形状的积木？.
2. 什么样的多边形是正多边形？
3．你对正多边形有多少了解？
4．学生思考：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解． 回顾以前学习过的且对本节课的学习有基础作用的知识，为学习新知打下基础．
活动一：
创设情境
导入新课
（1）请再观察摩天轮，你还能找出正多边形吗？
（2）把正多边形的边数增多，它的形状有何特点？
师生活动：教师实物展示及几何画板软件演示，引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见解．
教师关注：①学生能否从图案中找出正多边形；②学生能否从动画中发现正多边形和圆的关系． 创设情境，激发学生主动将圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，调动学生学习积极性．
活动二：
1．探究新知
问题1：将一个圆分为五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论．
师生活动：教师演示作图并引导学生从正多边形的定义入手证明，引导学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程．
教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程．
问题2：如果将圆n等分，依次连接各顶点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回1．将结论由特殊推广到一般，符合学生的认知规律，并交给学生一种研究问题的方法．
2.教学中，
实践探究
交流新知 答进行总结．
教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．
问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接正多边形呢？如果是为什么？请说明，不是，举出反例．
师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解．
教师重点关注：
学生能否利用正多边形的定义进行判断；
学生能否由圆内接正多边形各边相等得到弦相等，及弦所对的弧相等；
学生能否列举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．
2.应用新知
活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角等概念.
教师提出问题：
（1）正五边形的5条半径把它分割成几个三角形？它们有什么关系？
（2）正n边形的n条半径有什么关系？
（3）正多边形的中心角怎么计算？
（4）正多边形的中心角、内角、外角有什么关系？
师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论．
活动二：举手抢答
（1） 圆内接正十边形的中心角是_____度．
（2） 如果一个圆内接正多边形的中心角是120°，那么这是个正____边形．
师生活动：学生应用定义进行角度计算抢答，训练中心角的计算能力．
活动三：边心距定义的生成
教师提出问题：
（1）正三边形半径R=2，请求出边BC．（引出边心距定义）
（2）画出正三边形的所有边心距，这些边心距相等吗？有几个直角三角形？正n边形呢？
（3）正多边形的边长a与边心距r、半径R有什么等量关系？
师生活动：由学生计算作图引出边心距定义，学生在教师的引导下，结合图形，得到结论．
活动四：正多边形相关线段、角度的综合
（1） 圆内接正四边形ABCD，∠BOC=________度；
（2） 若半径为R，①求边BC（用含R的式子表示）；
②求边心距OE（用含R的式子表示）．
（3） 圆内接正六边形ABCDEF，∠BOC=________度，你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？
师生活动：学生思考，动手验证，教师引导，得出结论．
使学生明确圆内正多边形必须满足各边相等，各角相等，培养学生严谨的态度和思维批判性．
3．学生通过对半径的探究了解正多边形，进而对正多边形问题中各类角的关系知其所以然，为角度计算问题立好根基．
4．通过对边心距的探究，让学生进一步得到正多边形内外心重合，以及解决正多边形问题转化为解直角三角形问题． 活动三：
开放训练
体现应用 【应用举例】
（课件展示）
例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长．
活动一：正多边形的周长问题探究
（1）教师引导学生画出图形，进行分析，完成例题的解答．
（2）提出问题：边长为a的正n边形的周长又怎么求？
师生活动：小组讨论探究，成果展示，得出一般性的结论．
活动二：正边形的面积探究
（1） 要求地基的面积，你又有什么办法？
（2） 解决正多边形计算的关键你认为在于什么？
师生活动：小组讨论，进行面积求法开放探究，教师参与学生交流后小组成果展示，师生共同归纳计算办法．
【拓展提升】
1．正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠BEC的度数是_______．
题1图 题2图 题3图
2．将正六边形ABCDEF补成如图所示的矩形MNPQ，已知矩形的边NP=8，求BC．
3．如图，M，N分别是正六边形AB，BC上的点，且BM=CN．
（1）求∠MON 的度数；
（2）试说明四边形OMBN的面积与正六边形面积之间的关系．
师生活动：学生讨论，成果展示，教师引导体会其中的数形结合、方程、化归思想． 1．将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等一些量集中在一个三角形中研究，可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的所有量．
2．教师引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题．
3通过对面积开放性探究，将正六边形与正三边形结合，了解正多边形的对称性．
活动四：课堂总结反思 1．课堂总结：
（1）谈一谈这节课中，你有哪些收获？
解决问题的方法是什么？
（2）解决问题的方法是什么？
2．布置作业：教科书第108---109页1，6题． 巩固、梳理所学知识，对学生进行鼓励、进行思想教育．
【板书设计】
24.3正多边形和圆
各边相等
一、圆 等弧 各角相等
提纲挈领，重点突出 正多边形
二、内角 外角 中心角
三、半径R, 边心距r与边长a关系.
四、周长l= na 面积S=
【教学反思】
[授课流程反思]
A．回顾与思考(昨日星辰) B．创设情景（星空探索） C． 实践探究（星星点灯） D．开放训练（星火燎原） E．课堂总结（星语星愿）
在探究新知的过程中，使学生认识到事物之间是普遍联系的，是可以相互转化的，并培养和训练学生的综合运用知识的能力和解决实际问题的能鼓励，渗透数形结合、方程、化归等思想和方法．
反思教学过程，进一步提升操作流程和自身素质． 互补 相等
360.n360.nn2180.n互补
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