数学_2014年山东省高考数学模拟试卷(一)(文科)_(含答案)

2014年山东省高考数学模拟试卷（一）（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的）

1. 设常数𝑎∈R，集合𝐴={𝑥|(𝑥−1)(𝑥−𝑎)≥0}，𝐵={𝑥|𝑥≥𝑎−1}，若𝐴∪𝐵=R，则𝑎的取值范围为( )

A (−∞, 2) B (−∞, 2] C (2, +∞) D [2, +∞)

2. 复数(1−√3𝑖1+𝑖)2=( )

A −√3+𝑖 B −√3−𝑖 C √3+𝑖 D √3−𝑖

3. “𝑘=1”是“直线𝑥−𝑦+𝑘=0与圆𝑥2+𝑦2=1相交”的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件

4. 设0<𝑎<1，𝑚=log𝑎(𝑎2+1)，𝑛=log𝑎(𝑎+1)，𝑝=log𝑎(2𝑎)，则𝑚，𝑛，𝑝的大小关系是（ ）

A 𝑛>𝑚>𝑝 B 𝑚>𝑝>𝑛 C 𝑚>𝑛>𝑝 D 𝑝>𝑚>𝑛

5. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏sin𝑥+4(𝑎, 𝑏∈R)，𝑓(lg(log210))=5，则𝑓(lg(lg2))=( )

A −5 B −1 C 3 D 4

6. 设𝑚，𝑛是两条不同的直线，𝛼，𝛽，𝛾是三个不同的平面．有下列四个命题：

①若𝛼 // 𝛽，𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，则𝑚 // 𝑛；

②若𝑚⊥𝛼，𝑚 // 𝛽，则𝛼⊥𝛽；

③若𝑛⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，𝑚⊥𝛼，则𝑚⊥𝛽；

④若𝛼⊥𝛾，𝛽⊥𝛾，𝑚⊥𝛼，则𝑚⊥𝛽．

其中错误命题的序号是（ ）

A ①④ B ①③ C ②③④ D ②③

7. 函数𝑓(𝑥)=12[(1+2𝑥)−|1−2𝑥|]的图象大致为(        )

A B C D

8. 设抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹，直线𝑙过𝐹且与𝐶交于𝐴，𝐵两点．若|𝐴𝐹|=3|𝐵𝐹|，则𝑙的方程为( )

A 𝑦=𝑥−1或𝑦=−𝑥+1 B 𝑦=√33(𝑥−1)或 𝑦=−√33(𝑥−1) C 𝑦=√3(𝑥−1)或 𝑦=−√3(𝑥−1) D 𝑦=√22(𝑥−1)或 𝑦=−√22(𝑥−1)

9. 函数𝑦=√9−(𝑥−5)2的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（ ）

A 34 B √2 C √3 D √5

10. 已知0<𝜃<𝜋4，则双曲线𝐶1:𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝜃−𝑦2𝑐𝑜𝑠2𝜃=1与𝐶2:𝑦2𝑐𝑜𝑠2𝜃−𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝜃=1的（ ）

A 实轴长相等 B 虚轴长相等 C 离心率相等 D 焦距相等

二、填空题（每小题5分，共5分）

11.

已知𝑎→=(1,𝑚)，𝑏→=(𝑚,2)，若𝑎→ // 𝑏→，则实数𝑚=________．

12. 已知实数𝑥，𝑦满足{𝑦≥1𝑦≤2𝑥−1𝑥+𝑦≤𝑚，如果目标函数𝑧=𝑥−𝑦的最小值是−1，那么此目标函数的最大值是________．

13. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的𝑆的值是________．

14. 已知圆𝑥2+𝑦2−10𝑥+24=0的圆心是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦29=1(𝑎>0)的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为________．

15. 观察下列一组等式：

①sin230∘+cos260∘+sin30∘cos60∘=34，

②sin215∘+cos245∘+sin15∘cos45∘=34，

③sin245∘+cos275∘+sin45∘cos75∘=34，…，

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：________．

三、解答题（本大题共6道小题，满分75分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）

16. 设△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的内角对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，满足(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎−𝑏+𝑐)＝𝑎𝑐．

(Ⅰ)求𝐵．

(Ⅱ)若sin𝐴sin𝐶=√3−14，求𝐶．

17. 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：

是否愿意提供志愿者服务

性别 愿意 不愿意

男生 20 5

女生 10 15

(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？

(2)在(1)中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；

(3)你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？

下面的临界值表供参考：

𝑃(𝐾2≥𝑘) 0.15

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

𝑘 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

独立性检验统计量𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．

18. 设𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎1≠0，2𝑎𝑛−𝑎1=𝑆1⋅𝑆𝑛，𝑛∈𝐍∗.

(1)求𝑎1，𝑎2，并求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)求数列{𝑛𝑎𝑛}的前𝑛项和．

19. 三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧棱与底面垂直，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐵𝐵1=2，𝑀，𝑁分别是𝐴𝐵，𝐴1𝐶的中点．

(1)求证：𝑀𝑁 // 平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1．

(2)求证：𝑀𝑁⊥平面𝐴1𝐵1𝐶．

(3)求三棱锥𝑀−𝐴1𝐵1𝐶的体积．

20. 已知𝐹1，𝐹2分别是椭圆𝐸:𝑥25+𝑦2=1的左、右焦点𝐹1，𝐹2关于直线𝑥+𝑦−2＝0的对称点是圆𝐶的一条直径的两个端点．

(Ⅰ)求圆𝐶的方程；

(Ⅱ)设过点𝐹2的直线𝑙被椭圆𝐸和圆𝐶所截得的弦长分别为𝑎，𝑏．当𝑎𝑏最大时，求直线𝑙的方程．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥+1−𝑎𝑥−1(𝑎∈𝑅)．

（I）当𝑎=−1时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点（2, 𝑓(2)）处的切线方程；

（II）当𝑎≤12时，讨论𝑓(𝑥)的单调性．

2014年山东省高考数学模拟试卷（一）（文科）答案

1. B

2. A

3. A

4. D

5. C

6. A

7. A

8. C

9. D

10. D

11. ±√2

12. 3

13. 12

14. 𝑦=±34𝑥

15. sin2(30∘+𝑥)+sin(30∘+𝑥)cos(30∘−𝑥)+cos2(30∘−𝑥)=34

16. （I）∵ (𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎−𝑏+𝑐)＝(𝑎+𝑐)2−𝑏2＝𝑎𝑐，

∴ 𝑎2+𝑐2−𝑏2＝−𝑎𝑐，

∴ cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=−12，

又𝐵为三角形的内角，

则𝐵＝120∘；

(𝐼𝐼)由(𝐼)得：𝐴+𝐶＝60∘，∵ sin𝐴sin𝐶=√3−14，cos(𝐴+𝐶)=12，

∴ cos(𝐴−𝐶)＝cos𝐴cos𝐶+sin𝐴sin𝐶＝cos𝐴cos𝐶−sin𝐴sin𝐶+2sin𝐴sin𝐶＝cos(𝐴+𝐶)+2sin𝐴sin𝐶=12+2×√3−14=√32，

∴ 𝐴−𝐶＝30∘或𝐴−𝐶＝−30∘，

则𝐶＝15∘或𝐶＝45∘．

17. 解：(1)由题意，男生抽取6×2020+10=4人，

女生抽取6×1020+10=2人；

(2)设“被抽取的2人中恰有一名女生”为事件𝐴，被抽到的4位男生分别即为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，被抽到的2位女生分别即为𝑒，𝑓，

则随机抽取2人的基本事件有：𝑎𝑏，𝑎𝑐，𝑎𝑑，𝑎𝑒，𝑎𝑓，

𝑏𝑐，𝑏𝑑，𝑏𝑒，𝑏𝑓，𝑐𝑑，𝑐𝑒，𝑐𝑓，𝑑𝑒，𝑑𝑓，𝑒𝑓共15种，

“恰有一名女生”的基本事件有：𝑎𝑒，𝑎𝑓，𝑏𝑒，𝑏𝑓，𝑐𝑒，𝑐𝑓，𝑑𝑒，𝑑𝑓共8种，

所以事件𝐴发生的频率𝑃=815； (3)𝐾2=50×(20×15−5×10)230×20×25×25=8.333，

由于8.333>6.635，

所以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．

18. 解：(1)令𝑛=1，

得2𝑎1−𝑎1=𝑎12，即𝑎1=𝑎12，

∵ 𝑎1≠0，∴ 𝑎1=1，

令𝑛=2，得2𝑎2−1=1⋅(1+𝑎2)，

解得𝑎2=2，

当𝑛≥2时，由2𝑎𝑛−1=𝑆𝑛，

得2𝑎𝑛−1−1=𝑆𝑛−1，

两式相减得2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1=𝑎𝑛，

即𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1，

∴ 数列{𝑎𝑛}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴ 𝑎𝑛=2𝑛−1，

即数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛=2𝑛−1；

(2)由(1)知，𝑛𝑎𝑛=𝑛⋅2𝑛−1，

设数列{𝑛𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，

则𝑇𝑛=1+2×2+3×22+...+𝑛×2𝑛−1，①

2𝑇𝑛=1×2+2×22+3×23+...+𝑛×2𝑛，②

①-②得，−𝑇𝑛=1+2+22+...+2𝑛−1−𝑛⋅2𝑛

=2𝑛−1−𝑛⋅2𝑛，

∴ 𝑇𝑛=1+(𝑛−1)2𝑛．

19. (𝐼)证明：连接𝐵𝐶1，𝐴𝐶1，∵ 在△𝐴𝐵𝐶1中，𝑀，𝑁是𝐴𝐵，𝐴1𝐶的中点∴ 𝑀𝑁 // 𝐵𝐶1．

又∵ 𝑀𝑁不属于平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，∴ 𝑀𝑁 // 平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1．

(𝐼𝐼)解：∵ 三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧棱与底面垂直，

∴ 四边形𝐵𝐶𝐶1𝐵1是正方形．

∴ 𝐵𝐶1⊥𝐵1𝐶．∴ 𝑀𝑁⊥𝐵1𝐶．

连接𝐴1𝑀，𝐶𝑀，△𝐴𝑀𝐴1≅△𝐵𝑀𝐶．

∴ 𝐴1𝑀=𝐶𝑀，又𝑁是𝐴1𝐶的中点，∴ 𝑀𝑁⊥𝐴1𝐶．