数学_2014年山东省高考数学模拟试卷(一)(理科)_(含答案)

2014年山东省高考数学模拟试卷（一）（理科）

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设𝑎，𝑏∈𝑅，𝑖是虚数单位，则“𝑎𝑏=0”是“复数𝑎+𝑏𝑖为纯虚数”的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

2. 已知全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥<−2或𝑥>3}，𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥−4≤0}，则集合𝐴∩𝐵=( )

A {𝑥|−2≤𝑥≤4} B {𝑥|3<𝑥≤4} C {𝑥|−2≤𝑥≤−1} D {𝑥|−1≤𝑥≤3}

3. 已知变量𝑥，𝑦满足约束条件{𝑦≤2𝑥+𝑦≥1𝑥−𝑦≤1，则𝑧=3𝑥+𝑦的最大值为（ ）

A 12 B 11 C 3 D −1

4. 等差数列{𝑎𝑛}中，若𝑎7𝑎5=913，则𝑆13𝑆9=( )

A 1 B 139 C 913 D 2

5. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=3，𝐴𝐵→⋅𝐵𝐶→=1，则𝐵𝐶等于( )

A √3 B √7 C 2√2 D √23

6. 已知命题𝑝：函数𝑦=2−𝑎𝑥+1恒过(1, 2)点；命题𝑞：若函数𝑓(𝑥−1)为偶函数，则𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=1对称，则下列命题为真命题的是（ ）

A 𝑝∧𝑞 B ￢𝑝∧￢𝑞 C ￢𝑝∧𝑞 D 𝑝∧￢𝑞

7. 定义在𝑅上的偶函数𝑓(𝑥)满足：对∀𝑥1，𝑥2∈[0, +∞)，且𝑥1≠𝑥2，都有(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]>0，则( )

A 𝑓(3)<𝑓(−2)<𝑓(1) B 𝑓(1)<𝑓(−2)<𝑓(3) C 𝑓(−2)<𝑓(1)<𝑓(3) D 𝑓(3)<𝑓(1)<𝑓(−2)

8. 在某跳水运动员的一项跳水实验中，先后要完成6个动作，其中动作𝑃只能出现在第一步或最后一步，动作𝑄和𝑅实施时必须相邻，则动作顺序的编排方法共有（ ）

A 24种 B 48种 C 96种 D 144种

9. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A 12𝜋 B 4√3𝜋 C 3𝜋 D 12√3𝜋

10. 如果函数𝑓(𝑥)=−2𝑎𝑏ln(𝑥+1)的图象在𝑥=1处的切线𝑙过点(0,−1𝑏)，并且𝑙与圆𝐶:𝑥2+𝑦2=110相离，则点(𝑎, 𝑏)与圆𝑥2+𝑦2=10的位置关系是（ ） A 在圆内 B 在圆外 C 在圆上 D 不能确定

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 已知函数𝑓(𝑥)的定义域为(−1, 0)，则函数𝑓(2𝑥−1)的定义域为________．

12. 若∫(𝑎12𝑥+1𝑥)𝑑𝑥=3+ln2(𝑎>1)，则实数𝑎的值是________．

13. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．𝑎sin𝐵cos𝐶+𝑐sin𝐵cos𝐴=12𝑏，且𝑎>𝑏，则∠𝐵=________．

14. 若存在实数𝑥∈[13, 2]满足2𝑥>𝑎−2𝑥，则实数𝑎的取值范围是________．

15. 已知点𝑃是△𝐴𝐵𝐶的中位线𝐸𝐹上任意一点，且𝐸𝐹 // 𝐵𝐶，实数𝑥，𝑦满足𝑃𝐴→+𝑥𝑃𝐵→+𝑦𝑃𝐶→=0．设△𝐴𝐵𝐶，△𝑃𝐵𝐶，△𝑃𝐶𝐴，△𝑃𝐴𝐵的面积分别为𝑆，𝑆1，𝑆2，𝑆3，记𝑆1𝑆=𝜆1，𝑆2𝑆=𝜆2，𝑆3𝑆=𝜆3．则𝜆2⋅𝜆3取最大值时，2𝑥+𝑦的值为________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=3，𝑏=2√6，∠𝐵=2∠𝐴．

(1)求cos𝐴的值；

(2)求𝑐的值．

17. 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用𝜉表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

（1）记“函数𝑓(𝑥)＝𝑥2+𝜉⋅𝑥为𝑅上的偶函数”为事件𝐴，求事件𝐴的概率；

（2）求𝜉的分布列和数学期望．

18. 如图，在四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷⊥平面𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝐴𝐷=2，𝐵𝐷=2√2．𝑀是𝐴𝐷的中点，𝑃是𝐵𝑀的中点，点𝑄在线段𝐴𝐶上，且𝐴𝑄=3𝑄𝐶．

（1）证明：𝑃𝑄 // 平面𝐵𝐶𝐷；

（2）若二面角𝐶−𝐵𝑀−𝐷的大小为60∘，求∠𝐵𝐷𝐶的大小．

19. 在数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎1=14，𝑎𝑛+1𝑎𝑛=14，𝑏𝑛+2=3log14𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)．

（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

（2）求证：数列{𝑏𝑛}是等差数列； （3）设数列{𝑐𝑛}满足𝑐𝑛=𝑎𝑛⋅𝑏𝑛，求{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．

20. 椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左右焦点分别是𝐹1，𝐹2，离心率为√32，过𝐹1且垂直于𝑥轴的直线被椭圆𝐶截得的线段长为1．

(1)求椭圆𝐶的方程；

(2)点𝑃是椭圆𝐶上除长轴端点外的任一点，连接𝑃𝐹1，𝑃𝐹2，设∠𝐹1𝑃𝐹2的角平分线𝑃𝑀交𝐶的长轴于点𝑀(𝑚, 0)，求𝑚的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点𝑃作斜率为𝑘的直线𝑙，使得𝑙与椭圆𝐶有且只有一个公共点，设直线𝑃𝐹1，𝑃𝐹2的斜率分别为𝑘1，𝑘2，若𝑘≠0，试证明1𝑘𝑘1+1𝑘𝑘2为定值，并求出这个定值．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑘𝑒𝑥（𝑘为常数，𝑒=2.71828…是自然对数的底数），曲线𝑦=𝑓(𝑥) 在点（1, 𝑓(1)）处的切线与𝑥轴平行．

（1）求𝑘的值；

（2）求𝑓(𝑥)的单调区间；

（3）设𝑔(𝑥)=(𝑥2+𝑥)𝑓′(𝑥)，其中𝑓′(𝑥)是𝑓(𝑥)的导函数．证明：对任意𝑥>0，𝑔(𝑥)<1+𝑒−2．

2014年山东省高考数学模拟试卷（一）（理科）答案

1. B

2. B

3. B

4. A

5. A

6. B

7. B

8. C

9. C

10. A

11. (0,12)

12. 2

13. 30∘

14. (−∞,203)

15. 32

16. 解：(1)根据题意：利用正弦定理可得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵，

即3sin𝐴=2√6sin2𝐴=2√62sin𝐴cos𝐴，

解得cos𝐴=√63． (2)由余弦定理可得𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐⋅cos𝐴，即9=(2√6)2+𝑐2−2×2√6×𝑐×√63，

即𝑐2−8𝑐+15=0，

解方程求得𝑐=5，或 𝑐=3．

当𝑐=3时，此时𝑎=𝑐=3，根据∠𝐵=2∠𝐴，

可得𝐵=90∘，𝐴=𝐶=45∘，

则△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，但此时不满足𝑎2+𝑐2=𝑏2，故舍去；

当𝑐=5时，求得cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=13，cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=√63，

∴ cos2𝐴=2cos2𝐴−1=13=cos𝐵，

∴ 𝐵=2𝐴，满足条件．

综上，𝑐=5．

17. 若函数𝑓(𝑥)＝𝑥2+𝜉⋅𝑥为𝑅上的偶函数，则𝜉＝0

当𝜉＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．

∴ 𝑃(𝐴)＝𝑃(𝜉＝0)＝𝑥𝑦𝑧+(1−𝑥)(1−𝑦)(1−𝑧)

＝0.4×0.5×0.6+(1−0.4)(1−0.5)(1−0.6)＝0.24

∴ 事件𝐴的概率为0.24

依题意知𝜉的取值为0和2由（1）所求可知

𝑃(𝜉＝0)＝0.24

𝑃(𝜉＝2)＝1−𝑃(𝜉＝0)＝0.76

则𝜉的分布列为

∴ 𝜉的数学期望为𝐸𝜉＝0×0.24+2×0.76＝1.52

18. （1）取𝐵𝐷的中点𝑂，在线段𝐶𝐷上取点𝐹，使得𝐷𝐹=3𝐶𝐹，连接𝑂𝑃、𝑂𝐹、𝐹𝑄

∵ △𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝑄=3𝑄𝐶且𝐷𝐹=3𝐶𝐹，∴ 𝑄𝐹 // 𝐴𝐷且𝑄𝐹=14𝐴𝐷

∵ △𝐵𝐷𝑀中，𝑂、𝑃分别为𝐵𝐷、𝐵𝑀的中点

∴ 𝑂𝑃 // 𝐷𝑀，且𝑂𝑃=12𝐷𝑀，结合𝑀为𝐴𝐷中点得：𝑂𝑃 // 𝐴𝐷且𝑂𝑃=14𝐴𝐷

∴ 𝑂𝑃 // 𝑄𝐹且𝑂𝑃=𝑄𝐹，可得四边形𝑂𝑃𝑄𝐹是平行四边形

∴ 𝑃𝑄 // 𝑂𝐹

∵ 𝑃𝑄⊄平面𝐵𝐶𝐷且𝑂𝐹⊂平面𝐵𝐶𝐷，∴ 𝑃𝑄 // 平面𝐵𝐶𝐷；

（2）过点𝐶作𝐶𝐺⊥𝐵𝐷，垂足为𝐺，过𝐺作𝐺𝐻⊥𝐵𝑀于𝐻，连接𝐶𝐻

∵ 𝐴𝐷⊥平面𝐵𝐶𝐷，𝐶𝐺⊂平面𝐵𝐶𝐷，∴ 𝐴𝐷⊥𝐶𝐺 又∵ 𝐶𝐺⊥𝐵𝐷，𝐴𝐷、𝐵𝐷是平面𝐴𝐵𝐷内的相交直线

∴ 𝐶𝐺⊥平面𝐴𝐵𝐷，结合𝐵𝑀⊂平面𝐴𝐵𝐷，得𝐶𝐺⊥𝐵𝑀

∵ 𝐺𝐻⊥𝐵𝑀，𝐶𝐺、𝐺𝐻是平面𝐶𝐺𝐻内的相交直线

∴ 𝐵𝑀⊥平面𝐶𝐺𝐻，可得𝐵𝑀⊥𝐶𝐻

因此，∠𝐶𝐻𝐺是二面角𝐶−𝐵𝑀−𝐷的平面角，可得∠𝐶𝐻𝐺=60∘

设∠𝐵𝐷𝐶=𝜃，可得

𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷=𝐵𝐷cos𝜃=2√2cos𝜃，𝐶𝐺=𝐶𝐷sin𝜃=2√2sin𝜃cos𝜃，𝐵𝐺=𝐵𝐶sin𝜃=2√2sin2𝜃

𝑅𝑡△𝐵𝑀𝐷中，𝐻𝐺=𝐵𝐺⋅𝐷𝑀𝐵𝑀=2√23sin2𝜃；𝑅𝑡△𝐶𝐻𝐺中，tan∠𝐶𝐻𝐺=𝐶𝐺𝐺𝐻=3cos𝜃sin𝜃=√3