数学_2013年山东省济南市高考数学一模试卷(文科)_(含答案)

2013年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集𝑈＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合𝐴＝{1, 2}，𝐵＝{0, 2, 5}，则集合(∁𝑈𝐴)∩𝐵＝（ ）

A {3, 4, 6} B {3, 5} C {0, 5} D {0, 2, 4}

2. 设复数𝑧=(3−4𝑖)(1+2𝑖)（𝑖是虚数单位），则复数𝑧的虚部为（ ）

A −2 B 2 C −2𝑖 D 2𝑖

3. 若𝑎=30.6，𝑏=log30.6，𝑐=0.63，则（ ）

A 𝑎>𝑐>𝑏 B 𝑎>𝑏>𝑐 C 𝑐>𝑏>𝑎 D 𝑏>𝑐>𝑎

4.

设𝑥∈R，则“𝑥2−3𝑥>0”是“𝑥>4”的( )

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

A 2 B 3 C 4 D 5

6. 已知两条直线𝑙1：(𝑎−1)𝑥+2𝑦+1=0，𝑙2:𝑥+𝑎𝑦+3=0平行，则𝑎=( )

A −1 B 2 C 0或−2 D −1或2

7. 若抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点在直线𝑥−2𝑦−2=0上，则该抛物线的准线方程为（ ）

A 𝑥=−2 B 𝑥=4 C 𝑥=−8 D 𝑦=−4

8. 等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2+𝑎8=4，则它的前9项和𝑆9=( )

A 9 B 18 C 36 D 72

9. 已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥−𝜋6)(𝜔>0)的最小正周期为𝜋，则𝑓(𝑥)的单调递增区间（ ）

A [𝑘𝜋+𝜋3, 𝑘𝜋+5𝜋6](𝑘∈𝑍] B [2𝑘𝜋−𝜋6, 2𝑘𝜋+𝜋3](𝑘∈𝑍) C [𝑘𝜋−𝜋3, 𝑘𝜋+𝜋6](𝑘∈𝑍) D [𝑘𝜋−𝜋6, 𝑘𝜋+𝜋3](𝑘∈𝑍)

10. 函数𝑦＝𝑥−𝑥13的图象大致为（ ） A B C D

11. 一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）

A 203 B 403 C 20 D 40

12. 若函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜋6𝑥+𝜋3)(−2<𝑥<10)的图象与𝑥轴交于点𝐴，过点𝐴的直线𝑙与函数的图象交于𝐵，𝐶两点，则(𝑂𝐵→+𝑂𝐶→)⋅𝑂𝐴→=( )

A −32 B −16 C 16 D 32

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13. 为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，某机构调查了某地若干户家庭的年收入𝑥（单位：万元）和年教育支出𝑦（单位：万元）的情况．调查显示年收入与年教育支出𝑦具有线性相关关系，并由调查数据得到𝑦对𝑥的线性回归方程为𝑦̂=0.15𝑥+0.2．由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出约增加________万元．

14. 已知实数𝑥，𝑦满足{𝑥−𝑦+5≥0𝑥+𝑦≥0𝑥≤3，则𝑍=𝑥−3𝑦的最小值是________．

15. 下列命题正确的序号为________．

①函数𝑦=ln(3−𝑥)的定义域为(−∞, 3]；

②定义在[𝑎, 𝑏]上的偶函数𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑎+5)𝑥+𝑏最小值为5；

③若命题𝑃：对∀𝑥∈𝑅，都有𝑥2−𝑥+2≥0，则命题￢𝑃:∃𝑥∈𝑅，有𝑥2−𝑥+2<0；

④若𝑎>0，𝑏>0，𝑎+𝑏=4，则1𝑎+1𝑏的最小值为1．

16. 若双曲线𝑥29−𝑦216=1渐近线上的一个动点𝑃总在平面区域(𝑥−𝑚)2+𝑦2≥16内，则实数𝑚的取值范围是________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，边𝑎、𝑏、𝑐分别是角𝐴、𝐵、𝐶的对边，且满足𝑏cos𝐶=(3𝑎−𝑐)cos𝐵．

（1）求cos𝐵；

（2）若𝐵𝐶→⋅𝐵𝐴→=4，𝑏=4√2，求边𝑎，𝑐的值．

18. 如图所示的茎叶图中记录了甲组3名同学寒假期间去图书馆𝐴学习的次数和乙组4名同学寒假期期间去图书馆𝐵学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以𝑥表示．

（1）如果𝑥=7，求乙组同学去图书馆𝐵学习次数的平均数和方差；

（2）如果𝑥=9，从学习次数大于8的同学中选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数之和大于20的概率．

19. 正项等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎4=16，且𝑎2，𝑎3的等差中项为𝑆2．

（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

（2）设𝑏𝑛=𝑛𝑎2𝑛−1，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．

20. 已知在如图的多面体中，𝐴𝐸⊥底面𝐵𝐸𝐹𝐶，𝐴𝐷 // 𝐸𝐹 // 𝐵𝐶，𝐵𝐸=𝐴𝐷=𝐸𝐹=12𝐵𝐶，𝐺是𝐵𝐶的中点．

（1）求证：𝐴𝐵 // 平面𝐷𝐸𝐺；

（2）求证：𝐸𝐺⊥平面𝐵𝐷𝐹．

21. 已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左右焦点分别为𝐹1和𝐹2，由4个点𝑀(−𝑎, 𝑏)，𝑁(𝑎, 𝑏)，𝐹2和𝐹1组成了一个高为√3，面积为3√3的等腰梯形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点𝐹1的直线和椭圆交于两点𝐴，𝐵，求△𝐹2𝐴𝐵面积的最大值．

22. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥2+𝑥−1)𝑒𝑥，其中𝑒是自然对数的底数，𝑎∈𝑅．

(1)若𝑎=1，求曲线𝑓(𝑥)在点（1, 𝑓(1)）处的切线方程；

(2)若𝑎<0，求𝑓(𝑥)的单调区间；

(3)若𝑎=−1，函数𝑓(𝑥)的图象与函数𝑔(𝑥)=13𝑥3+12𝑥2+𝑚的图象有3个不同的交点，求实数𝑚的取值范围．

2013年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）答案

1. C

2. B

3. A

4. B

5. C

6. D

7. A

8. B

9. D

10. A 11. B

12. D

13. 0.15

14. −21

15. ②③④

16. {𝑚|𝑚≥5或𝑚≤−5}

17. 解：（1）在△𝐴𝐵𝐶中，∵ 𝑏cos𝐶=(3𝑎−𝑐)cos𝐵，由正弦定理可得 sin𝐵cos𝐶=(3sin𝐴−sin𝐶)cos𝐵，

∴ 3sin𝐴⋅cos𝐵−sin𝐶⋅cos𝐵=sin𝐵cos𝐶，化为：3sin𝐴⋅cos𝐵=sin𝐶⋅cos𝐵+sin𝐵cos𝐶=sin(𝐵+𝐶)=sin𝐴．

∵ 在△𝐴𝐵𝐶中，sin𝐴≠0，故cos𝐵=13．

（2）由 𝐵𝐶→⋅𝐵𝐴→=4，𝑏=4√2，可得，𝑎⋅𝑐⋅cos𝐵=4，即 𝑎𝑐=12．…①．

再由余弦定理可得 𝑏2=32=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐⋅cos𝐵=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐3，即 𝑎2+𝑐2=40，…②．

由①②求得𝑎=2，𝑐=6； 或者𝑎=6，𝑐=2．

综上可得，{𝑎=2𝑐=6，或 {𝑎=6𝑐=2．

18. 解：（1）当𝑥=7时，

由茎叶图，可知乙组同学去图书馆𝐵学习的次数是7，8，9，12，

所以其平均数为7+8+9+124=9，

方差𝑠2=14[(7−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(12−9)2]=72．

（2）记甲组3名同学为𝐴1，𝐴2，𝐴3，

他们去图书馆𝐴学习的次数分别为9，12，11；

乙组4名同学为𝐵1，𝐵2，𝐵3，𝐵4，

他们去图书馆𝐵学习的次数分别为9，8，9，12．

从学习次数大于8的同学中任选2名同学，

所有可能的结果有15种，分别是

𝐴1𝐴2，𝐴1𝐴3，𝐴1𝐵1，𝐴1𝐵3，𝐴1𝐵4，

𝐴2𝐴3，𝐴2𝐵1，𝐴2𝐵3，𝐴2𝐵4，𝐴3𝐵1，

𝐴3𝐵3，𝐴3𝐵4，𝐵1𝐵3，𝐵1𝐵4，𝐵3𝐵4．

用𝐶表示“选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数之和大于20”这一事件，

则𝐶中包含的结果有5种，分别是

𝐴1𝐵4，𝐴2𝐵4，𝐴2𝐵3，𝐴2𝐵1，𝐴3𝐵4．

故选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数之和大于20的概率为𝑃(𝐶)=515=13．

19. 解：（1）由题意可得，𝑎2+𝑎3=2𝑆2=2𝑎1+2𝑎2

∴ {𝑎1𝑞3=16𝑎1𝑞+𝑎1𝑞2=2𝑎1(1+𝑞)

∵ 𝑞>0 解方程可得，𝑎1=2，𝑞=2

∴ 𝑎𝑛=2𝑛

（2）∵ 𝑏𝑛=𝑛𝑎2𝑛−1=𝑛22𝑛−1

∴ 𝑇𝑛=12+223+⋯+𝑛22𝑛−1

𝑇𝑛4=123+225+⋯+𝑛−122𝑛−1+𝑛22𝑛+1

两式相减可得，3𝑇𝑛4=12+18+⋯+122𝑛−1−𝑛22𝑛+1=(1−14𝑛)×121−14−𝑛22𝑛+1

=2−222𝑛3−𝑛22𝑛+1

∴ 𝑇𝑛=8−1622𝑛9−4𝑛6×22𝑛

20. 证明：（1）∵ 𝐴𝐷 // 𝐸𝐹 // 𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐸𝐹=12𝐵𝐶，𝐺是𝐵𝐶的中点．

∴ 𝐴𝐷= // 𝐵𝐺，

∴ 四边形𝐴𝐷𝐺𝐵是平行四边形，

∴ 𝐴𝐵 // 𝐷𝐺，

∵ 𝐴𝐵⊄平面𝐷𝐸𝐺，𝐷𝐺⊂平面𝐷𝐸𝐺．

∴ 𝐴𝐵 // 平面𝐷𝐸𝐺；

（2）∵ 𝐴𝐷 // 𝐸𝐹，𝐴𝐷=𝐸𝐹，

∴ 四边形𝐴𝐸𝐹𝐷是平行四边形，

∴ 𝐷𝐹 // 𝐴𝐸，

∵ 𝐴𝐸⊥底面𝐵𝐸𝐹𝐶，∴ 𝐷𝐹⊥底面𝐵𝐸𝐹𝐶．

∴ 𝐷𝐹⊥𝐸𝐺．

连接𝐹𝐺，∵ 𝐸𝐹=12𝐵𝐶，𝐺是𝐵𝐶的中点，𝐸𝐹 // 𝐵𝐶，

∴ 四边形𝐵𝐸𝐹𝐺是平行四边形，