一元一次方程的讲义

《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在我们的日常生活和实际问题中有着广泛的应用。

通过建立一元一次方程，可以将一些看似复杂的问题转化为数学语言，从而找到解决问题的方法。

一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。

比如，甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，求 A、B 两地的距离。

我们设 A、B 两地的距离为 x 千米。

甲走的路程为 5×3 ＝ 15 千米，乙走的路程为 4×3 ＝ 12 千米。

由于两人是相向而行，所以他们走过的路程之和等于两地的距离，即 15 ＋ 12 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。

再比如，一辆汽车以每小时 60 千米的速度从甲地开往乙地，4 小时后到达。

返回时由于路况不好，速度变为每小时 48 千米，求返回时需要的时间。

设返回时需要的时间为 x 小时。

根据路程相等，去时的路程为 60×4 ＝ 240 千米，返回的路程为 48x 千米，所以 48x ＝ 240，解得 x ＝ 5 小时。

二、工程问题工程问题也是经常用到一元一次方程的领域。

例如，一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成。

把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率为 1/10，乙每天的工作效率为 1/15，两人合作每天的工作效率为 1/10 ＋ 1/15。

根据工作量＝工作效率×工作时间，可得（1/10 ＋ 1/15)x ＝ 1，解得 x ＝ 6 天。

又如，一个水池，有甲、乙两个进水管，单开甲管8 小时可以注满，单开乙管 12 小时可以注满，现在两管同时打开，多少小时可以注满水池？设 x 小时可以注满水池。

甲管每小时的注水量为 1/8，乙管每小时的注水量为 1/12，两管同时开每小时的注水量为 1/8 ＋ 1/12，所以（1/8 ＋ 1/12)x ＝ 1，解得 x ＝ 48 小时。

一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审 （2）找 （3）设 （4)列 (5）解 （6）验 （7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。

如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。

3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。

《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们解决许多实际问题的有力工具。

那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。

举个简单的例子，像 3x ＋ 5 ＝ 14 就是一个一元一次方程。

在这个方程中，只有一个未知数 x，而且 x 的最高次数是 1。

为了更清楚地理解一元一次方程，我们需要明白几个关键的概念。

首先是“元”，它表示未知数的个数；“次”则表示未知数的最高次数。

所以，“一元”就是一个未知数，“一次”就是未知数的最高次数是 1。

二、一元一次方程的形式一元一次方程的一般形式是：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 是常数，且 a ≠ 0）。

在这个一般形式中，a 被称为方程的系数，x 是未知数，b 则是常数项。

例如，在方程 2x 7 ＝ 0 中，2 是系数，－7 是常数项。

需要注意的是，当 a ＝ 0 时，方程就不再是一元一次方程了。

比如0x ＋ 5 ＝ 0，因为 0x 等于 0，这个方程实际上就变成了 5 ＝ 0，这显然是不成立的。

三、一元一次方程的解法接下来，我们来学习如何解一元一次方程。

解一元一次方程的基本步骤可以概括为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。

（一）去分母如果方程中各项的分母不同，我们需要先找到分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以这个最小公倍数，把分母去掉。

例如，方程（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x 1) ／ 3 ＝ 6 ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，方程两边同时乘以 6 ，得到 3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝ 36 。

（二）去括号如果方程中有括号，我们需要运用乘法分配律把括号去掉。

比如，在方程 3(x ＋ 5) 2(2x 1) ＝ 10 中，去括号得到 3x ＋ 15 4x ＋ 2 ＝ 10 。

（三）移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。

一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。

如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。

注意：等式中一定含有等号。

2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。

a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。

注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。

思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。

找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。

可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。

①直接设未知数：题目求什么就设什么。

②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。

③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。

（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。

《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

掌握一元一次方程的应用，不仅能够提高我们的数学解题能力，还能培养我们用数学思维解决生活中各种问题的能力。

一、一元一次方程的基本概念在深入探讨一元一次方程的应用之前，我们先来回顾一下一元一次方程的基本概念。

一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。

其一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（其中$a$，＄b$为常数，且$a ≠ 0$）。

例如：＄3x ＋5 ＝14$就是一个一元一次方程，其中$x$是未知数，＄3$是$x$的系数，＄5$是常数项。

二、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤为：1、去分母（如果方程中有分母）：在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。

2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将方程化为$ax ＝ b$的形式。

5、系数化为 1：在方程两边同时除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x ＝＼frac{b}｛a}＄。

例如，解方程$2(x 3) ＋ 3 ＝ 5 （x ＋ 1)＄：首先去括号：＄2x 6 ＋ 3 ＝ 5 x 1$然后移项：＄2x ＋ x ＝ 5 1 ＋ 6 3$合并同类项：＄3x ＝ 7$系数化为 1：＄x ＝＼frac{7}｛3}＄三、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。

基本公式：路程＝速度×时间例如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。

甲的速度为每小时5 千米，乙的速度为每小时4 千米，经过3 小时两人相遇。

问 A、B 两地的距离是多少？设 A、B 两地的距离为$x$千米。

甲行驶的路程为$5×3 ＝ 15$千米，乙行驶的路程为$4×3 ＝ 12$千米。

由于两人相向而行，所以他们行驶的路程之和等于 A、B 两地的距离，即$15 ＋ 12 ＝ x$解得$x ＝ 27$千米。

【一元一次方程 讲义】第一节 一元一次方程1．一元一次方程的有关概念一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 训练题：1.判断下列各式哪些是一元一次方程：（1）43x=21； （2）3x －2； （3）71y －51=32x －1； （4）5x 2－3x+1； （5）3x+y=1－2y ； （6）1－7y 2=2y. 2.若关于x 的方程3x3a+1－5=0是一元一次方程，则a=＿＿＿＿.3.写出一个解是－2的一元一次方程为＿＿＿＿.4.若2x －a=3,则2x=3+＿＿,这是根据等式的性质1,在等式两边同时＿＿. 若－6a=4.5,则＿＿＿=－1.5,这是根据等式的性质,在等式两边同时＿＿ ＿＿___.5.下列方程中以x=21为解的是（ ） A.－2x=4 B.－2x －1=－3 C.－21x －1=－43 D.－21x+1=43 6.已知5a －3b －1=5b －3a ，利用等式的性质比较a 、b 的大小.7.某钢铁厂今年5月份的某种钢产量是50吨，预计6月份产量是a 吨，比5月份增长x%，那么a 是（ ）A.50（1+x%）B.50x%C.50+x%D.50（1+x ）%8.已知关于x 的方程5x+3k=24的解为3，求k 2－1+k 的值9.利用等式性质解方程：－23x+3=－10.10.服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童每套平均用布1.5米,现在已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?直通中考下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．-5x+4=3y 2B ．5（m 2-1）=1-5m 2C ．2-145n n -= D ．5x-32.解一元一次方法（1）等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。

用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的 结果仍是等式.用字母表示：若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0)（2）解一元一次方程的基本步骤：例1、解方程 （1）y-52221+-=-y y例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|=-x 训练题： 1.在1,－2,21这三个数中,是方程7x+1=10－2x 的解的是＿＿＿＿. 2.当k=＿＿＿＿时,方程5x －k=3x+8的解是－2. 3.若代数式21-x +612x +与31-x +1的值相等,则x=＿＿＿＿. 4.如果2x5a －4－3=0是关于x 的一元一次方程,那么a=＿＿＿＿,此时方程的解是＿＿＿＿.5.如果x ＝－2是方程3x ＋5＝4x －m 的解，那么m 2＝＿＿＿＿. 6.解方程:5x-|x|=8.7.今年儿子13岁,父亲40岁,多少年后父亲的年龄是儿子年龄的2.5倍?8.一群小孩分一堆梨,1人1个多1个,1人两个少2个,问有几个小孩、几个梨?9.一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的3倍，求这个三位数.10.某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费.（1）某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a.（2）若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？ 直通中考[2010年辽宁中考]已知关于x 的方程ax ＋2＝2（a －x ），它的解满足|x ＋21|＝0，则a ＝＿。

第三章一元一次方程复习讲义知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.例1(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y?(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3?例2利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26(2)-5x=203．方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、匕是已知数，且aW0).8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程分数基本性质去分母同乘(不漏乘)最简公分母去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律，注意符号变化移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一合并同类项将未知数的系数相加，常数项相加.依据是乘法分配律合并后注意符号系数化为1在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二.例1解下列方程[1]用合并同类项的方法解一元一次方程(1)2x-£%=6-8;(2)7x—2.5x+3x-1.5x=-15x4—6x3.[2]用移项的方法解一元一次方程(1)7-2x=3-4x(2)4x+10=6x[3]利用去括号解一元一次方程去括号法则：去掉“+()”，括号内各项的符号不变.去掉“-()”，括号内各项的符号改变.用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a—b—c(1)2x-(x+10)=5x+2(x—1)(2)3x—7(x—1)=3—2(x+3)[4]利用去分母解一元一次方程(总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.)2x+2x+7x+x=33(2)3x+x-1=3-2x-1(1)^要点归纳1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；2.去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.10．列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出 未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程（组）的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案（包括单位）．［注意］审题是基础，找等量关系是关键.11．解实际应用题：知识点1:市场经，^、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X 销售量例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?变式1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？例3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出 售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？（2） 商品利润率= 商品利润 商品成本价X 100%例4.某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元但不超过500元的优惠10%，超过500元，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠。

《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念在数学的世界里，一元一次方程就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多实际问题。

那么，什么是一元一次方程呢？一元一次方程指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1 的整式方程。

一般形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 为常数，a ≠ 0）。

例如：3x ＋ 5 ＝ 11 就是一个一元一次方程，其中 x 是未知数，3是 x 的系数，5 是常数项。

二、一元一次方程的解法解一元一次方程的主要步骤包括：1、去分母：如果方程中有分母，要乘以分母的最小公倍数，将分数化为整数。

2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将同类项进行合并。

5、系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

例如，解方程：（2x ＋ 1) ／ 3 （5x 1) ／ 6 ＝ 1首先，去分母，两边同时乘以 6，得到：2(2x ＋ 1) （5x 1) ＝ 6然后，去括号：4x ＋ 2 5x ＋ 1 ＝ 6接着，移项：4x 5x ＝ 6 2 1合并同类项：x ＝ 3最后，系数化为 1，两边同时除以－1：x ＝－3三、一元一次方程在实际问题中的应用1、行程问题行程问题中，速度、时间和路程之间有着密切的关系。

基本公式为：路程＝速度×时间。

例如：小明骑自行车以每小时 15 千米的速度从 A 地到 B 地，用了3 小时。

返回时速度变为每小时 10 千米，问返回时用了多长时间？设返回时用了 x 小时，根据路程相等，可列出方程：10x ＝ 15×3解得 x ＝ 45所以返回时用了 45 小时。

2、工程问题工程问题中，工作效率、工作时间和工作量之间的关系是：工作量＝工作效率×工作时间。

例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。

两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成，将工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为 1/10，乙的工作效率为 1/15。