解三角形中的最值或范围问题

1第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题

【考点分析】

考点一：解三角形中角的最值及范围问题

①利用锐角三角形，











CBA

000

，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：

bcabc

bcacb

A

22

2cos2222







考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：

bcabccb

bcacb

A

22

2cos22222







，再利用bccb2及acb，求出

cb的取值范围

②利用三角函数思想：

BARBRCRBRcbsin2sin2sin2sin2，结合辅助角公式及三角函

数求最值

【题型目录】

题型一：三角形角的最值及范围问题

题型二：三角形边周长的最值问题

题型三：三角形边周长的最值范围问题

【典型例题】

题型一：三角形角的最值及范围问题

【例1】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsin2sinBCA，则A的最大值为（）

A．2π

3B．π

6C．π

2D．π

3

【例2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos0aBc，则tanC的最大值是（）

A．1B

．3

3C

．33

2D．

3

【例3】锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a

，b，c

．若2cosbaaC，则（）

A．2CAB．A的取值范围是(,)

64

C．2ACD．2c

a的取值范围是(22,23)

2【例4】已知在锐角ABC中，sin

tan

1cosB

A

B

.

(1)证明：2BA；

(2)求tantan

1tantanBA

AB

的取值范围.

【题型专练】

1．在锐角三角形ABC中，角,,ABC

所对的边分别为,,abc

，若coscosbbAaB，则（）

A．2ABB．

64B



C．

1,2a

bD．22abbc

2．在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若

222

sin()S

AC

ba

，则

1

tan

数学篇名师专题讲座　高二使用２０１６年９月下　

解三角形中的最值问题是高考和各地模　拟卷中的热点问题，这类问题可结合几何和　代数两个方面来考查同学们的分析问题的能　力，且综合性强，常作为小题的压轴题出现。　下面结合具体例题解析这类最值问题。　关于边长或边长的线性组合的最值　问题　侧，如图１，在四边　形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ一７，　ＡＣ＝６，并且ＣＯＳ　ＢＡＣ—　１１ＣＤ一６ｓｉｎ　ＤＡｃ，则　

ＢＤ的最大值为　。　解析：由余弦定理，　可得　Ｃ　图１　Ｄ　

ＢＣ一￣／ＡＢ　＋ＡＣ　一２ＡＢ·ＡＣ·ＣＯＳ　ＢＡＣ　√　由正弦定理可得：　ＣＤ　ＡＣ　６　ｓｉｎ　ＤＡＣ　ｓｉｎ　ＡＤＣ　ｓｉｎ　ＡＤＣ　

＝＝＝６，即ｓｉｎ　ＡＤｃ一１，￣ＡＤＣ－－　。　

以ＡＣ为直径作ｏ０，则点Ｄ在ｏ０上。　又　ＡＢＣ＜　ＡＣＢ，则　ＡＢＣ为锐角，即点　Ｂ在④０外面。从而当ＢＤ经过圆心０时取　最大值。　而一．一一＿１（一－ＢｄＢＡ　ＢＣ　Ｅ　ＢＡ－４－ＢＣ）ｚ一（一ＢＡ一　而　·　一＿－（　）。一（　一　

Ｂｄ）　］一　１［（２　ＢＯ）。一（　）　］

故７．　．—４９＋１９＿＝３６一＿１（４ＢＯ　ｚ２·７·＼，１９　４　３６），解得ＢＯ一５。　故ＢＤ≤ＢＤ　一ＢＯ＋ｏＤ　一５４－３—８，即　８为所求。　点评：（１）由公式　·赢一｛［（　＋　Ｂ　）ｚ一（ＢＡ—Ｂｄ）。］可简便求得三角形的中　线长。　（２）挖掘出隐藏在本题的（三）０是成功解　

答的关键。本题得到　ＡＤｃ一号可直接作　

出（三）０，有的题目隐圆背景不容易从表面看　出，可以通过建立坐标系算出。　侧２在ＡＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对　

的边分别为ｎ，ｂ，Ｃ，且ａｃｏｓ　Ｂ＋ｂＣＯＳ　Ａ一　

熹　，ｃ一２，角ｃ是锐角，则ｎ＋６的最大值　

为

解析：由ｎｃ。ｓ　Ｂ＋６ｃ。ｓ　Ａ一　得　

ｓｉｎ　Ａｃｏｓ　Ｂ＋ｓｉｎ　ｓＡ一　。　

ｎ（Ａ＋Ｂ—ｉｎ　ｃ一　。　

ｃ是锐角，则ｃ一号，故Ｂ＋ｃ一荨。　

３／－ｓｉｎ“Ａ—　百一　一４Ｊ　则ａ一　。一　一　一亨，则“一　

三角形最值问题

课前强化

1．在△ABC中，已知045,2,Bcmbxcma，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( )

Ａ.222＜x＜ Ｂ．222＜x Ｃ．2x＞ Ｄ．2x＜

2．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m, 则m的取值范围是（ ）

Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（21，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞）

3．在△ABC中，A为锐角，lgb+lg(c1)=lgsinA=－lg2, 则△ABC为（ ）

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）

Ａ．0075,45,10CAb Ｂ．080,5,7Aba

Ｃ．060,48,60Cba Ｄ．045,16,14Aba

5．△ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为

(A)6 (B)3 (C) 2 (D) 23

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定

最值范围问题：

7、在ABC中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求)cos(sin3CBA的最大值，并求取得最大值时角的大小．

,,ABC,,abcsincos.cAaCC,AB8、△ABC中的三cba,,和面积Ｓ满足Ｓ＝22)(bac且2ba，求面积Ｓ的最大值

9、已知向量(,)macb，(,)nacba，且0mn，其中,,ABC是△ABC的内角，,,abc分别是角,,ABC的对边.(1) 求角C的大小；（2）求sinsinAB的取值范围.

２０１４年９月　解三角形中的范围问题　＠乔晓林　摘要：在近几年的高考中，解三角形经常考查范围问题。为　了使学生能够更好地解决此类问题，本文在正余弦定理、面积公　式及三角函数相关知识的基础上，结合具体的例题，归纳了解决　此类问题常用的两种方法。　关键词：解三角形；范围；减少变量；三角函数；不等式　中图分类号：Ｇ６３３６文献标识码：Ａ　３Ｌｒ：＂￣：１９９２－７７１　ｌｅｏ１４）ｏ９－ｏ１３ｏ　一、减少变量，转化为求函数的值域问题　１．在ＡＡＢＣ中，内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、Ｃ　设向量　＝（ｃ一，ｂ一　，　＝（叶６，ｃ）若　∥　，　①求角　的大小；②求ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ的取值范围。　分析：由向量共线可得两边平方和减第三边的平方，可知要　用到余弦定理；第二问中Ａ和Ｃ有关，一个用另一个表示，减少　变量进而求范围。　解析：①・．・一ｍ∥　＇－＿．ｃ（ｃ一　一（６一　（Ⅱ　），　．．．ｃｚ—ｎｃ：ｂ２＿ａ２　．—ａ２＝￣２—＿ｂ２：１由余弦定理，得ｃ。５　：　１，　胙｝。　Ｂ＋ｃ＝仃，．・．Ａ＋ｃ＝孚，　．‘．ｓｉｎＡ＋ｓｉｎｃ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ（　－Ａ　Ｊ＝ｓｉ　＋ｓｉｎ孚ｃ。ｓ，４一ｃ。ｓ　ｓｉｎＡ＝　ｓｉｎＡ＋　ｃ。ｓ，４＝＼／　ｓｉｎ（Ａ＋　）　・．’０＜Ａ　，．．詈（Ａ＋　＜　．・．　１＜ｓｉｎ　６）－－＝ｌ＇＿’．孚＜ｓｉ　＋ｓｊｎｃ＜ｘ／３　注意本题考查：①向量共线的坐标表示；②余弦定理、两角差　的正弦公式、辅助角公式；③第二问中通过减少变量，转化为关于　角Ａ的三角函数求范围。　变式１：在△ＡＢＣ中，内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、　Ｃ，ａ（ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ）＝ｂ＋ｃ　①证明：　＝　＂ＩＴ；￣￣ＡＡＢＣ外接圆的半径为１，￣ＡＡＢＣ周　长的取值范围。　分析：已知边和角的表达式可以化简为：边化角或角化边；第　二问涉及外接圆的半径考虑正弦定理，表示出周长后减少变量求　范围。　解析：①‘．’ａ（ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ）＝ｂ＋ｃ　由余弦定理得：ａ（ａ２＋ｚｃ凹２－ｂ２＋＿ａ２＋２ｂ２　－ｃ２ａｏ　，＝６＋ｃ　Ｚ（　Ｚ　整理得：（ｂ＋ｃ）（ａ２－ｂ＝－ｃ３＝０又ｂ＋ｃ＞０　－・－　ｃ　即Ａ　手　②由△ＡＢｃ外接圆的半径为１，Ａ：手可得　２　．・．　＝２（ｓｉｎＢ＋ｃｏｓＢ）：２　ｓｉｎ　｝）　Ｉ囤　中学．ｉ军　｛辅导