专题三角形中的最值与取值范围问题

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专题03 解三角形中的最值、范围问题

高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.

【热点难点突破】

例1.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】 由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为. 例2.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.

【答案】 【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.

详解：，，即，， 则，为钝角，， ，故.

例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （1）求角的大小；

（2）若，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.

【解析】

（1）由正弦定理，得， 再结合，得， 解得，由为锐角三角形，得.

（2）由、及余弦定理，得， 即， 结合，得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故当为正三角形时，周长的最大值为6.

例4. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a，242cossin25BCA.

（1）若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；

第 1 页 专题24 解三角形中的最值、范围问题

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,acacac三者的关系. 高考中经常将三角变换及解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.

1、正弦定理：2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网

例如：（1）222222sinsinsinsinsinABABCababc

（2）coscossincossincossinbCcBaBCCBA（恒等式）

（3）22sinsinsinbcBCaA

2、余弦定理：2222cosabcbcA

变式：2221cosabcbcA 此公式在已知,aA的情况下，配合均值不等式可得到bc和bc的最值

4、三角形中的不等关系

（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时第 2 页 使用较少

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

其中由coscosABAB利用的是余弦函数单调性，而sinsinABAB仅在一个三角形内有效.

1三角函数

ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题

命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择

题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．

高频考法(1)ω取值与范围问题

(2)面积与周长的最值与范围问题

(3)长度的范围与最值问题

01ω取值与范围问题

1、f(x)=Asin(ωx+φ)在f(x)=Asin(ωx+φ)区间(a，b)内没有零点⇒b-a≤T

2

kπ≤aω+ϕ

kπ





⇒

b-a≤T

2

a≥kπ-ϕ

ω

b≤π+kπ-ϕ

ω











同理，f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内没有零点

⇒b-a≤T

2

kπ

kπ





⇒b-a

2

a>kπ-ϕ

ω

b

ω











2、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有3个零点

⇒T

kπ≤aω+ϕ

3π+kπ

⇒T

kπ-φ

ω≤a<(k+1)π-φ

ω

(k+3)π-φ

ω

ω











同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有2个零点

⇒T

2≤b-a<3T

2

kπ

2π+kπ≤bω+ϕ<3π+kπ





⇒T

2≤b-a<3T

2

kπ-φ

ω

ω

(k+2)π-φ

ω≤b<(k+3)π-φ

ω











3、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有n个零点

2⇒(n-1)T

2≤b-a<(n+1)T

2kπ-φ

ω≤a

ω

(k+n)π-φ

ω

ω







同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点

⇒(n-1)T

2≤b-a<(n+1)T

2kπ-φ

ω

ω

(k+n)π-φ

ω≤b<(k+n+1)π-φ

ω







4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+1

4T，则2n+1

4T=

(2n+1)π

2ω=b-a．

5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T

2.

1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π

专题 三角形中的最值与取值范围

要领·目标

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

（2）体会函数、化归、数形结合思想在解题中的应用；

（3）掌握三角函数最值或取值范围的常见题型；

（4）掌握二元最值或取值范围的常见题型．

感悟·合作

题型一 与角有关的最值或范围问题

例1 设锐角三角形ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA＋sinC的取值范围．

练习 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B－A＝  2；（Ⅱ）求sinA＋sinC的取值范围．

例2 设△ABC的内角为A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝ 3

5c．

（Ⅰ）求tanAtanB的值；

（Ⅱ）求tan(A－B)的最大值．

总结：

题型二 与边有关的最值或范围问题

例3已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________．

变式1 求△ABC周长的最大值．

变式2 求2b＋c的最大值．

总结：

课后思考题 在△ABC中，AC＝BC，中线BD＝3，则S△ABC的最大值为________．