解三角形中的范围与最值问题(教师版)

第11讲解三角形中面积最值与取值范围问题

题型一：三角形面积最大值问题

【例1】已知ABC

的内角,,ABC

所对的边分别为,,abc

，若

3A



，

3a，则ABC

面积的最大值为（）

A．334B．33

2C．1D．

3

【答案】A

【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得bc的最大值，代入三角形面积公式即可.

【详解】由余弦定理得：222222cos3abcbcAbcbc，

2232bcbcbc（当且仅当bc

时取等号），3bc，

133

sin

24ABCSbcA

，即ABC面积的最大值为33

4.

故选：A.

【例2】在ABC

中，角

A，B，C

所对的边分别为a

，b

，c，若tantan

2A

BC

，且2a

，则ABC

的面积的最大值为A．3

3B．3

2C．3D．23

【答案】A

【解析】：因为tantan

2A

BC

，且BCA

，

所以

22tan2

tantan

1tan

2A

BCA

A

tan0

2A



，所以tan3

2A



，则2π

3A

.

由于2a

为定值，由余弦定理得222π

42cos

3bcbc

，即224bcbc.

根据基本不等式得22423bcbcbcbcbc

，即4

3bc

，当且仅当bc

时，等号成立.

所以11433

sin

22323ABCSbcA

.

故选：A【例3】在ABC△中，

a，b，

c分别为内角A，B，C的对边，若4ac，2sinsinsinBAC，则ABC△

的面积的最大值为（）

A．3B．2C．23D．4

【答案】A

【解析】

因为2sinsinsinBAC，所以2bac，因4ac，所以2b

，由余弦定理得

acac

acac

acbacca

acbca

B

2212

24216

22

2cos22

222











所以acBac212cos2，所以

acac

B

6

cos，所以







acacac

acac

BB22

寒假名师课程 高三数学

APQ第5讲 三角形中的范围（最值）问题

江苏省扬州中学 张慧玲

知识储备：

1、 三角形的任意两边之和大于第三边

2、 三角形的内角和等于π

3、正弦定理CcBbAasinsinsin

4、余弦定理Abccbacos2222

5、大边对大角，小边对小角

6、求基本不等式、函数(三角函数)最值的方法

课本溯源

[苏教版教材必修5 第24页思考与运用第7题]

问题探究：如图，已知A为定角，QP,分别在A的两边上，PQ为定长.当QP,处于什么位置时，APQ面积最大？

问题1：在△ABC中，若2c，3C，则ABCS最大值？

思考1abCabSABC43sin21

思考2：hhcSABC21

思路1.通过引入边元，转化为不等式或函数问题

思路2.通过引入角元，利用正余弦定理转化为三角函数问题

思路3.利用数形结合的思想求最值

你还能想到研究那些量的最值或范围？

变1.△ABC的周长最大值？

分析：法1：角元法2)sin(sin22BARbacba

3,2CAB解：由正弦定理得：RBbAaCc234232sinsinsin 寒假名师课程 高三数学

))32sin((sin34)sin(sin2AABARba=)6sin(4)sin23cos234AAA（

)32,0(A)65,0(6A]1,0()6sin(A

第二讲 圆锥曲线中的最值和范围问题

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知双曲线1

22

22



by

ax

(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲

线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( C)

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)

D.(2,+∞)

2． P是双曲线1

16-

922

yx

的右支上一点，M、N分别是圆4)5(22

yx和

1)5-(22

yx上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）

A. 6 B.7 C.8 D.9

3．抛物线2

yx上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )

A

．4

3

B

．7

5

C

．8

5

D．3

4．已知双曲线1

22

22



by

ax

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

1F、

2F，点P在双曲线的右支上，

且|

1PF|=4|

2PF|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）

(A)4

3

(B)5

3

(C)2

(D)7

3

5．已知抛物线x4y2

,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(

11,yx),B(

22,yx)两点，则

2

22

1yy的最小值是___32_______

6．对于抛物线x4y2

上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( B )

（A）（－∞，0） （B）（－∞，2]

（C）［0，2］ （D）（0，2）

★★★高考要考什么

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合

的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示

这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专题03 解三角形中的最值、范围问题

高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.

【热点难点突破】

例1.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】 由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为. 例2.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.

【答案】 【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.

详解：，，即，， 则，为钝角，， ，故.

例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （1）求角的大小；

（2）若，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.

【解析】

（1）由正弦定理，得， 再结合，得， 解得，由为锐角三角形，得.

（2）由、及余弦定理，得， 即， 结合，得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故当为正三角形时，周长的最大值为6.

例4. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a，242cossin25BCA.

（1）若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；