线性代数讲义1

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1 第一章 行列式

行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆（Cramer)法则。

§1。1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

在实际问题中，线性方程组的应用很广,但三元以上的线性方程组的求解是很复杂的。现在讨论简化线性方程组的求解过程和求解公式.先从二元线性方程组开始讨论.

对于二元线性方程组

22221211212111bxaxabxaxa （1-1-1)

利用加、减消元法可得

121211221122211212122121122211)()(babaxaaaababaxaaaa

如果021122211aaaa，那么线性方程组（1—1—1）有唯一解：

211222111222211aaaaababx

211222112111122aaaaababx

以上两个式子可作为公式使用，但不便于记忆，为方便起见，把21122211aaaa记为22211211aaaa，叫做二阶行列式。其中ija叫做行列式的元素,横的叫行，竖的叫列。

由二阶行列式的定义得

22211211aaaaD=21122211aaaa （1—1-2）

(1—1-2）右端的式子叫做二阶行列式D的展开式.

二阶行列式可用如下的对角线法则进行计算

22211211aaaa

实线上两数的乘积取正号，虚线上两数的乘积取负号，然后相加得

21122211aaaa

引入二阶行列式的概念后，线性方程组(1-1-1)的解可表示为： 线性代数讲义1

2 222112112221211aaaaababx

222112112211112aaaababax

如果记 1222212221211ababababD

2111122211112ababbabaD

则方程组（1—1—1)的解可表示为：

DDxDDx2211 （1—1—3)

D是线性方程组(1-1—1)中未知数的系数按原来顺序不变所构成的行列式，叫做方程组（1-1—1）的系数行列式； 1D是把D中第一列元素分别换成对应的常数项而得到，2D是把D中第二列元素分别换成对应的常数项而得到.

例1 解方程组

825232121xxxx

解 方程组的系数行列式为

07431223D

1D、2D分别为

2118251D 1482532D

由式子(1-1—3）得方程组的解为：

271437212211DDxDDx.

二、三元线性方程组与三阶行列式

对于三元线性方程组

333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa (1-1-4）

同讨论方程组（1-1—1）的解法类似，利用加、减消元法,当 线性代数讲义1

3 0332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa

时,可得方程组的解为

3321123223113122132132133123123322113221323312132233231223213133221aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaabaax3321123223113122132132133123123322113231123113133213211323311131232aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaabaax3321123223113122132132133123123322113211223211131223221123112132213aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaabaax

解的这种表达式太复杂,既不便记忆又不便计算.仿照二阶行列式,我们把321,,xxx的分母记为

333231232221131211aaaaaaaaaD

叫做三阶行列式。由于行列式D中元素的排列顺序与方程组（1-1-4）的未知数的系数的排列顺序一致，所以把D叫做方程组(1—1-4）的系数行列式.

根据三阶行列式的定义

333231232221131211aaaaaaaaaD

=332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa

（1—1—5）

等式右端的代数式叫做三阶行列式的展开式，这个代数式的值就是三阶行列式的值.从展开式的各项可以看出，三阶行列式的值可按下述图形所示的方法进行计算.

323133323122212322211211131211aaaaaaaaaaaaaaa

自左上方到右下方的实线所串起来的三个数连乘后取正号；自右上方到左下方的虚线所串起来的三个数连乘后取负号，然后相加.这种求行列式值的方法叫做“对角线法”.

根据三阶行列式的定义，方程组（1—1-4）的解321,,xxx的分子可分别表示为下列形式的行列式：

1D=333232322213121aabaabaab 2D=333312322113111abaabaaba 3D=332312222111211baabaabaa 线性代数讲义1

4 于是当0D时，方程组（1-1-4）的解可表示为

DDxDDxDDx332211 （1—1—6)

例2 解方程组

132101423321321321xxxxxxxxx

解 方程组的系数行列式

05132111123D

5131111012141D 10112110111432D 35132101114233D

由式(1—1—6)，得方程组的解为:

721332211DDxDDxDDx

上面，我们通过解二元、三元线性方程组引入了二阶、三阶行列式的概念，并进一步利用二阶、三阶行列式的计算简化二元、三元线性方程组解的过程.在以后的讨论中，

我们将二阶、三阶行列式的概念推广到n（其中n是任意的正整数）阶，并用n阶行列式来解n元线性方程组.

习题1.1

1. 计算下列行列式的值。

abcacbcbababa)4(140053101)3()2(3842)1(22

2. 解下列线性方程组.

273152)1(2121xxxx

1054432)2(2121xxxx

623234)3(321321321xxxxxxxxx

935233412)4(321321321xxxxxxxxx

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§1.2 n阶行列式及其性质

一、n阶行列式的定义

定义1 由2n个元素排列而成的n行n列的式子

nnnnnnaaaaaaaaa212222111211

称为n阶行列式，它代表一个由确定的运算关系所得到的数。

行列式D中,横的叫行，竖的叫列，ija叫做行列式的元素，i表示元素所在的行，j表示元素所在的列。

n阶行列式像二阶和三阶行列式一样，表示的也是一个多项式，多项式的值就是行列式的值.该多项式中含有n！项，其中每一项都是具有确定符号的、位于D的不同行、不同列上的n个元素的乘积.

二、行列式的性质

从行列式的定义出发直接计算行列式的值是比较麻烦的。为了进一步讨论n阶行列式，简化n阶行列式的计算,下面介绍n阶行列式的一些性质。对于这些性质，仅就二阶行列式加以验证或说明，但它们对于任意阶行列式都是适用的.

定义2 将行列式D的行与相应的列互换后，得到的新行列式称为原行列式的转置行列式，记为)TDD（或.

即，如果