我们将讨论化简、计算一般行列式的另
一种思路,即将行列式降阶,降为低阶行列式
后再计算其值。(高阶——低阶）
问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n-1
阶行列式来计算？§1.3行列式按行(列)
展开定理
,312213332112322311322113312312332211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
−−−++=
333231232221131211
aaaaaaaaa
()
3223332211aaaaa−=()
3321312312aaaaa−+
()
3122322113aaaaa−+
33312321
13
33312321
12
33322322
11aaaa
a
aaaa
a
aaaa
a+−=一. 按一行(列)展开行列式
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.
在阶行列式中，把元素所在的第行和第
列划去后，留下来的阶行列式叫做元素
的余子式，记作n
ijaij
1−n
ija
.M
ij
()，记
ijji
ijMA+−=1叫做元素的代数余子式．
ija
例如
44434241343332312423222114131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
D=
444241343231141211
23
aaaaaaaaa
M=
()
2332
231MA+−=.
23M−=定义：
,
44434241343332312423222114131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
D=
,
444341343331242321
12
aaaaaaaaa
M=
()
1221
121MA+−=.
12M−=
,
333231232221131211
44
aaaaaaaaa
M=().1
444444
44MMA=−=+
.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别
例.写出行列式D中元素
23a的余子式和代数余子式，
其中3227
0130
1563
4102D−−
−−
=
−
解：
根据定义得
23M=327
153;
412−
−
23A=()23
231M+−327
153.
412−
=−
−引理一个阶行列式，如果其中第行所有
（
基
本
工
具
每
章
都
有
应
用
）第
一
章
行
列
式第二章矩阵
（基础）
第三章向量组线性相关性
（难点）
第四章线性方程组
（重点）
第五章特征值与特征向量
(也称: 矩阵的对角化)
（重点综合性强）
第六章二次型
（重点注意和特征值、特征向量的联系）线性代数章节内容分布如下:
第一章行列式
第一讲全排列与逆序数
定义1
由自然数按某种次序排成一列,称为这个元素的1,2,,nn
的一个全排列(简称排列),记作,这样的排列总共12,,,
niii
n!有个.定义2
(1) 在排列中,如果较大的数排在较小的数前,则称这两个数构成了一个逆序.
(2) 一个排列中,所有逆序的个数和称为该排列的逆序数,记作,12(,,,)
niii
其中逆序数为偶(奇)数的排列为偶(奇)排列.
(3) 排列是从小到大依次排列的,我们规定这个顺序为标准次序,1,2,,n
并称这个排列为自然排列.由于自然排列中任何两个数都不构成逆序,
(1,2,,)0n,所以自然排列为偶排列.
解:3 2 5 1 4例1 计算排列32514的逆序数
(32514)2120
5逆序数的运算2)1(
nn((1)321)nn(2)n21(1)n例2 计算排列的逆序数.(1)321nn
解:
当时,为偶排列;
当时,为奇排列.4,41nkk
4,423nkk
排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性.对换定义
定理1在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不变,得到一个新的排列,
这种变换称为对换.
将相邻两个元素对换,称为相邻对换.
1212(1)设原排列
mnaaabbbab证明:
ba和对换
1212mnaaabbabb新排列
12121212)()1
mnmnabaaabbbaaabababbb当时,(
说明新排列与原排列的奇偶性不同,即相邻对换改变排列的奇偶性.12121212)()1
mnmnabaaabbbaaabbaabbb当时,(
121212(2)设原排列mnpaaabbbccbca
第一章线性方程组
线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组，在科学研究和生产实践等领域中都有着广
泛的应用．线性方程组求解问题具有非常久远的历史，中国古代数学名著《九章算术》（成书于约公
元前150年）中就记载着线性方程组的消元解法．线性方程组求解问题的研究促进了线性空间、线
性变换以及矩阵理论的建立和发展，构成了线性代数这门数学分支学科的中心内容．
本章主要介绍一般的n元线性方程组
a
11x
1+a
12x
2+···+a
1nx
n=b
1
a
21x
1+a
22x
2+···+a
2nx
n=b
2
············
a
m1x
1+a
m2x
2+···+a
mnx
n=b
m(1.1)
的求解方法，其中a
11,a
12,···,a
mn,b
1,b
2···,b
m是已知的数，x
1,x
2,···,x
n是待求解的变量．特
别，当b
1=b
2=···=b
m=0时，线性方程组(1.1)称为齐次线性方程组．
关于线性方程组，有下列几个基本问题．在本章以及后续的章节中，将从不同的角度来研究这
些问题．
1.解的存在性问题．线性方程组(1.1)是否有解？
2.解的唯一性问题．线性方程组(1.1)是否有唯一解？
3.解集的结构问题．线性方程组(1.1)的解集有何性质？
在本书中，数指的是某个数域中的元素．数域F是一个定义了加、减、乘、除运算，并且满足
特定运算律的非空集合．详见定义8.2．若存在素数p使得x+···+x
p个=0，∀x∈F，则p称为F
的特征，记作charF=p．否则，规定charF=0．例如，无限域C,R,Q的特征为0，q元有限域
F
q的特征为p，其中q是素数p的方幂．
§1.1消元解法
求解代数方程组的基本思想是“消元法”：由原方程不断产生新方程，并且不断减少每个新方程
所包含未知数的个数，直到求出一个未知数；然后如法炮制求出其它未知数．在求解过程中有可能
得到“增根”，因此还需要把所求得的“可能解”代入原方程组进行检验，这样才能得到方程组的真
线性代数第一讲
概论
线性代数是一门普通的基础理论课，它被广泛地应用于科技的各个领域，尤其在计算机日益普及的今天，求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题。
线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。
本门课程的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。
第一章 行列式
§1定义
一、 二阶、三阶行列式
中学学过解二元一次方程组
221121cybxbcyaxa
如果有解，它的解完全可由他们的系数212121,,,,,ccbbaa表示出来。
)2()1(221121cybxbcyaxa11)1()2(ba)4()3(212111112211caybaxbabcybaxba
11211221)3()4(cbcaybaba.
若01221baba，则2121211112211121bbaacbcababacbcay（2）
同理
21212221bbaabcacx（3）
其中222121212111,,bcacbbaacbca均称为二阶行列式
定义1.二阶行列式bcaddcba （4）
是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则）
同样，在解三元一次方程组333323122322211131211bzayaxabzayaxabzayaxa （5） 时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。
定义2，三阶行列式
333231232221131211aaaaaaaaaD323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa （6）
行、列3,2,1,3,2,1jiaij称为D的元素。
