新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》教案_0

课题 3.求二次函数的表达式 授课人

目

标 知识技能 1.会利用已知条件设立恰当的函数表达式，用待定系数法求二次函数的表达式.

2.学会利用二次函数解决实际问题．

数学思考 通过一题多解和不同形式不同解答的教学方式和方法，培养学生的思维能力和转化能力．

问题解决 让学生在经历方程与识图的过程中，培养学生独立分析问题、解决问题的能力，提升数学思维意识．

情感态度 让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣，让学生体验数学这一工具在解决实际问题中的作用．

教学

重点 掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择适当的形式求二次函数表达式．

教学

难点 能灵活运用三种表达式来求二次函数的表达式．

授课

类型 新授课 课时 1

教具 多媒体

教学活动

教学

步骤 师生活动 设计意图

回顾 (展示问题)

1.求下列函数的表达式：

(1)一个正比例函数的图象经过点(2，－4)；

(2)一个一次函数的图象与x轴交于点(3，0)，与y轴交于点(0，6).

2.用待定系数法求函数表达式的基本步骤有哪些？

3.我们学习过哪几种形式的二次函数表达式？

师生活动：学生独立完成并进行口述，教师对学生的解答情况进行评价并总结：

用待定系数法求函数表达式：设出表达式，列出方程组，解方程组，代入.

二次函数的表达式有：一般式，y＝ax2＋bx＋c；顶点式，y＝a(x－h)2＋k；交点式，y＝a(x－x1)(x－x2)． 在学生解决两个问题的基础上进一步体验知识，有利于学生在最近发展区得到提升，为后面的学习做好铺垫.

活动

一：

创设

情境

导入

新课 【课堂引入】

问题：有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在坐标系中，请求出这条抛物线的函数表达式．

师生活动：学生感知问题，独立思考． 图26－2－85 通过实际问题设疑，使学生感受数学来源于实际，用数学可以解答实际问题，相得益彰.

活动

二： 一、新知探究：

(展示问题) 1．在给定顶点坐标时，不能通过设成一般式实践

探究

交流

新知 问题1：已知二次函数的图象的顶点坐标求其表达式

一个二次函数的图象经过点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式．

分析：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数表达式为y＝a(x－8)2＋9，根据其图象经过点(0，1)可以确定a的值．

学生活动：学生讨论得出形如y＝a(x－h)2＋k的函数表达式的一般解题过程，小组间思考用此类方法的前提是什么？

教师点拨：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可得y＝a(x－h)2＋k的形式称为顶点式，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标，由此再运用一个点的坐标即可求出a的值．

问题2：已知图象上三点求二次函数的表达式

一个二次函数的图象经过(0，1)，(2，4)，(3，10)三点，求这个二次函数的表达式．

教师活动：引导学生回顾一次函数表达式的求法，运用类比的方法可得此题可以根据待定系数法求此函数表达式．

学生活动：学生小组讨论解题中遇到的问题，并相互交流讨论，合作完成此题．

二、归纳总结

请学生小组内讨论总结求二次函数表达式的思路和方法，讲给大家听！

师生活动：教师指个别学生回答，其他同学进行补充，教师订正、总结：

(1)已知图象上三个点或三对x，y的值，通常选择一般式：y＝ax2＋bx＋c，把条件代入得到三元一次方程组，解方程即可求出待定系数；

(2)已知图象的顶点，通常选择顶点式：y＝a(x－h)2＋k，先把顶点坐标代入，再把另一点的坐标代入求出a的值，最后一般化为一般式．

(3)已知图象与x轴的两个交点时，通常选择交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，先把两交点的横坐标代入，再把另一点的坐标代入求出a的值，最后一般代入一般式． 求解问题，所以引导学生采用顶点式即可解答，这样学生对于不同类型的问题有不同的解答方案，利于学生的思维活跃以及善于总结的习惯养成．

2．在复习用待定系数法求一次函数表达式的方法后，运用类比的思想，运用一般式求解.

(续表)

活动

三：

开放

训练

体现

应用 【应用举例】

例 “课堂引入”问题：

师生活动：教师选派两名同学选择不同的解答方式进行板演，其他同学在练习本上书写解答过程，教师做好指导和评价．

解法1：设抛物线函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意得，抛物线经过点(0，0)，(20，16)，(40，0)三点，得方程组

通过课前设疑，激发学生的学习兴趣，运用学习的知识，从不同的角度进行解答，既训练了学生的一题多解、思维灵活性，又培养了学生深层次的思维能力. 所以抛物线的函数表达式为y＝－125x2＋85x.

教师评析：通过利用给定的条件列出关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，从而确定函数的表达式．

解法2：设抛物线的函数表达式为y＝a(x－20)2＋16，

根据题意得，点(0，0)在抛物线上，

所以0＝400a＋16，解得a＝－125，

所以抛物线的函数表达式为y＝－125(x－20)2＋16，

即y＝－125x2＋85x.

教师评价：通过利用条件中的图象的顶点和图象过原点选用顶点式．

变式训练

1.如图26－2－86所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为A(－2，－2)，且过点B(0，2)，则y与x的函数表达式为(D) 图26－2－86

A．y＝x2＋2 B．y＝(x－2)2＋2

C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x＋2)2－2

2．已知：抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(5，0)两点，顶点为P.

(1)求b，c的值；

(2)求△ABP的面积．

解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝－(x＋1)(x－5)，所以y＝－x2＋4x＋5，所以b＝4，c＝5.

(2)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，顶点P的坐标为(2，9)，所以△ABP的面积＝12×6×9＝27.

(续表)

活动

四：

课堂

总结

反思 【达标测评】

1．已知二次函数的图象经过点(0，5)，(1，0)，(2，－3)，则这个二次函数的表达式为__y＝x2－6x＋5__．

2．已知抛物线y＝a(x－t－1)2＋t2(a，t是常数，a≠0，t≠0)的顶点在直线y＝－2x＋1上，且经过点(－2，5)，则这个抛物线的函数表达式是__y＝x2＋1__．

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(2，0)，对称轴为直线x＝－1，顶点到x轴的距离为2，求此抛物线的函数表达式：__y＝－29x2－49x＋169或y＝29x2＋49x2－169． 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 4．如图26－2－87，已知二次函数的图象过A，C，B三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴正半轴上，且AB＝OC.

(1)求点C的坐标；

(2)求二次函数的表达式，并将其化成一般形式．

图26－2－87

解：(1)∵点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，∴OC＝AB＝5，∴点C的坐标为(0，5)．

(2)设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋5，把A(－1，0)，B(4，0)的坐标代入原函数表达式得出a＝－54，b＝154，所以这个二次函数的表达式为y＝－54x2＋154x＋5.

5．已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)判断点P(3，5)是否在这个二次函数的图象上．

解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2－2，将(0，0)代入得a－2＝0，解得a＝2，所以抛物线的函数表达式为y＝2(x－1)2－2＝2x2－4x.

(2)当x＝3时，y＝2(x－1)2－2＝6，所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．

学生当堂检测，完成后，教师进行批阅，点评、讲解．

【课堂小结】

谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？还有哪些困惑？

教师强调：用待定系数法求函数表达式的三种类型：已知三点用一般式；已知顶点坐标用顶点式；已知与x轴的交点坐标用交点式．

布置作业：教材P23练习第1，2，3题． 课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生学习能力.

(续表)

【知识网络】 提纲挈领，重点突出.

【教学反思】

①[授课流程反思]

在创设情境环节中，利用实际生活中的问题引导学生思考，学生能够提高兴趣，对数学的应用价值有深入的体会；在探究新知活动中，学生能够在讨论、交流的同时，对于新知能够获得更加深入的理解，从而获得求解二次函数表达式的方法．

②[讲授效果反思]

教师强调本课的重、难点：(1)正确选择二次函数的形式；(2)解三元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤；(3)运用顶点式进行求解时，先代入顶点式．

③[师生互动反思]

从教学过程分析，学生充分运用自主探究、合作交流的时间，能够起到较好的效果，教师点拨到位、举例说明，能够落实课时学习目标． 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.