横向动力学
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横向动力学
横向动力学与垂向动力学的不同之处在于它的自激蛇形振动。车辆的垂向振动总是衰减的，而横向振动当越过临界速度时则为发散运动。蛇形运动稳定极限时的速度为临界速度crv，小于crv稳定，大于crv失稳。低速时，轮对的蛇形运动可以用正弦函数近似表示，其圆频率2/L,L为蛇形波长；速度对频率产生接近正比关系的影响。
图 轮对蛇行运动情况
基于轮对受正弦运动干扰而产生强迫振动的解释不能反映轮对横向运动的幅值随车速而变的事实。若将系统做为非保守系统来看就能够解释其中的原因：在非保守系统中，阻尼项直接和速度成反比，速度越高系统阻尼项越小，当达到临界点时（此时的速度为临界速度），系统将要从稳定的衰减振动变为等幅振动，再增大速度，系统将具有负阻尼并向不稳定发展。如下图所示。
图 轮对在线路上不同行驶速度时的横向运动
单轮对横向动力学计算实例：
图 单轮对摇头横移及轮轨蠕滑力
考虑惯性力，重力，蠕滑力，悬挂力的运动微分方程形式为： {}{}{}GXSmyFFFJ
（对应项）惯性力 重力 悬挂力 蠕滑力
对于只考虑惯性和蠕滑的单轮对情况，公式简化为：{}SmyFJ
如上图所示，代入蠕滑力列出蛇行运动方程：
0()0wylyrwzxrxlMyFFJFFb
其中：wM轮对质量，wzJ轮对绕z轴的惯性矩，2b为滚动圆间距，y轮对横移，轮对摇头角。
根据前述的轮轨接触几何原理，易推导出锥形踏面的纵横向蠕滑分力：
0000()()xryrybFfrryFfr 0000()()xlylybFfrryFfr
将上式和0vr代入方程得：
2002()02()0wwzyMyfvybbJfvr
分两类情况求解：
1.低速时，惯性力忽略不计，方程化为：
0000yvybvr， 一式求导代入二式得到：22000vyyyybr
则00vbr ，该值为Klingel蛇行圆频率。
假设初始条件：t=0时y=0; t 时y=0y; 代入求得：y=0ysint 说明锥形踏面低速行驶时的运行轨迹是正弦线型。
2.高速时，直接求解常系数奇次微分方程组，设解的形式为0etyy，0et； 为特征值，0y、 0待定。则有：
2002200002()2022()0wwzfMyfvfbfbyJrv
当0y=0、 0=0时是理想状态，轮对做直线运动；当0y0、 00时轮对做蛇形运动，若方程有解，则系数行列式
2220022022wwzfMfvfbfbJvr 有解，展开：
2224232020424()0wwzwzwfbffbMJJMbvvr；求解该四次代数方程可用数值方法，如在matlab中求得四个根1234,,,。
根据根1234,,,的形式就可以简单的判断轮对运动的稳定性（理论见下节）。根的形式与轮对运动的关系：○1根为实数，即形如a；a为正轮对作发散运动，a为负轮对做衰减（收敛）运动；○2根为虚数，即形如i：轮对处于临界状态，其横移和摇头角均为恒幅运动； ○3根为复数，即形如ai：a为正轮对作发散的周期运动，a为负轮对做衰减（收敛）的周期运动。
