高一数学必修二全册导学案

8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

一、预习导入

阅读课本116页，填写。

圆柱

(底面半径为r，母线长为l) 圆锥

(底面半径为r，母线长为l) 圆台

(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)

侧面展

开图

底面积 S底＝2πr2 S底＝____ S底＝________

侧面积 S侧＝____ S侧＝____ S侧＝________

表面积 S表＝________ S表＝________ S表＝_________

体积

V圆柱＝

(r是底面半径，h是高) V圆锥＝

(r是底面半径，h是高) V圆台＝

(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．

二、探究与应用

思考：观察圆柱、圆锥、圆台的展开图，怎么求出各自的表面积？

【牛刀小试】

1. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是 ；其表面积等于

2. 若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于 ；其表面积等于

3. 已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其侧面积是 ；其表面积等于

三、巩固练习

1.若一个高为2的圆柱，底面周长为2𝜋，则该圆柱的体积为

2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为𝑂1,𝑂2过直线𝑂1𝑂2的平面，截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )

A12√2𝜋 B12𝜋 C8√2𝜋 D10𝜋

3.若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积为

4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16√2𝜋，则圆锥的体积是

5.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．3

2.1.2 空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.3 空间中平面与平面之间的位置关系

一、课标解读

1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；

2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.

二、自学导引

问题1：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?

观察：如图3-1,直线AB与长方体的六个面有几种位置关系?

图3-1

空间直线与平面的位置关系

问题2：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.

观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?

图3-2

平面与平面的位置关系

三、合作探究

⑴从交点个数方面来分析，直线与平面的三种位置关系对应的交点各有多少个？

⑵请你试着把直线与平面的三种位置关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.

(3)请你试着把平面与平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.

四、典例精析

例1 下列命题中正确的个数是（ ）

①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.

②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.

④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.

A.0 B.1 C.2 D.3

变式训练1. 若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（ ）

A.内的所有直线与a异面

B.内不存在与a平行的直线

C.内存在唯一的直线与a平行

D.内的直线与a都相交.

例2 已知平面,，直线,ab，且∥,a，

b，则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

变式训练2. 已知,,abc为三条不重合的直线，,,为三个不重合的平面：

①a∥c,b∥ca∥b； ②a∥,b∥a∥b；

第1页 高中数学必修2知识点

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当90,0时，0k； 当180,90时，0k； 当90时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk

注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx

④截矩式：1xyab

其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。

⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）

注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：

平行于x轴的直线：by（b为常数）； 平行于y轴的直线：ax（a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

第 1 页 共 32 页 高中数学必修2知识点总结

立体几何初步

特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线）

chS直棱柱侧面积 '21chS正棱锥侧面积 ')(2121hccS正棱台侧面积

rhS2圆柱侧 lrrS2圆柱表 rlS圆锥侧面积 lrrS圆锥表

lRrS)(圆台侧面积 22RRlrlrS圆台表

柱体、锥体、台体的体积公式

VSh柱 13VSh锥 ''1()3VSSSSh台 2VShrh圆柱 hrV231圆锥

''2211()()33VSSSShrrRRh圆台

（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R ； S球面=24R

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1 平面含义：平面是无限延展的

2 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

符号表示为

A∈L

B∈L => L α

A∈α

B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。