高中数学必修一导学案

高中数学必修一导学案

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（学案1）§1.1.1 集合的含义与表示

学习目标

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P2~ P3，找出疑惑之处）

讨论：军训前学校通知：8月20日上午8点，高一年级在操场集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.

二、新课导学

※ 探索新知

新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.

试试1：课本中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？

探究：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？

新知2：集合元素的特征

对于一个给定的集合，集合中的元素是______，是______，是______，即集合元素三特征.

______：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

______：同一集合中不应重复出现同一元素.

______：集合中的元素没有顺序.

只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .

试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：

① 不等式30x的解；

② 3的倍数；

③ 方程2210xx的解；

○4最小的整数；

○5周长为10 cm的三角形；

○6中国古代四大发明；

○7 地球上的四大洋；

○8 地球的小河流.

新知3：集合的字母表示

集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.

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如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；

如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：aA.

试试3： 设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B，

0 B， －1 B.

新知4：常见数集的表示

非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；

正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；

整数集：全体整数的集合，记作Z；

有理数集：全体有理数的集合，记作Q；

实数集：全体实数的集合，记作R.

试试4：填∈或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， 3 Q，32 _R.

新知5：列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.

注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.

※ 典型例题

例1 用列举法表示下列集合：

① 15以内质数的集合；

② 方程2(1)0xx的所有实数根组成的集合；

③ 一次函数yx与21yx的图象的交点组成的集合.

变式：用列举法表示“一次函数yx的图象与二次函数2yx的图象的交点”组成的集合.

※ 学习探究

思考：

① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？

② 你能用列举法表示不等式13x的解集吗？

新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}xAP，其中x代表元素，P是确定条件.

试试：方程230x的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程2(1)0xx的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.

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练习：用描述法表示下列集合.

（1）方程340xx的所有实数根组成的集合；

（2）所有奇数组成的集合.

变式：以下三个集合有什么区别.

（1）2{(,)|1}xyyx；

（2）2{|1}yyx；

（3）2{|1}xyx.

反思与小结：

① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}xyyx与2{|1}yyx不同.

② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}xx，{|3,}xxkkZ.

③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.

④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.

○5概念：集合与元素；属于与不属于；集合中元素三特征；常见数集及表示.

学习评价

※ 当堂检测：

1. 下列说法正确的是（ ）.

A．某个村子里的高个子组成一个集合

B．所有小正数组成一个集合

C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合

D．13611,0.5,,,,2244这六个数能组成一个集合

2. 给出下列关系：

① 12R；② 2Q；③3N；④3.Q

其中正确的个数为（ ）.

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

3. 直线21yx与y轴的交点所组成的集合为（ ）.

A. {0,1} B. {(0,1)}

C. 1{,0}2 D. 1{(,0)}2

4. 设{|16}AxNx，则下列正确的是（ ）.

A. 6A B. 0A

C. 3A D. 3.5A

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5. 一次函数3yx与2yx的图象的交点组成的集合是（ ）.

A. {1,2} B. {1,2}xy

C. {(2,1)} D. 3{(,)|}2yxxyyx

6. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：

深圳 A； 广州 A. （填∈或）

7.集合A＝{x|x=2n且n∈N}， 2{|650}Bxxx，用∈或填空：

4 A，4 B，5 A，5 B.

8 （1）设集合{(,)|6,,}AxyxyxNyN ，试用列举法表示集合A.

（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.

9. 设x∈R，集合2{3,,2}Axxx.

（1）求元素x所应满足的条件；

（2）若2A，求实数x.

10. 若集合{1,3}A，集合2{|0}Bxxaxb，且AB，求实数a、b.

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(学案2)§1.1.2 集合间的基本关系

学习目标

1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2. 理解子集、真子集的概念；

3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；

4. 了解空集的含义.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P6~ P7，找出疑惑之处）

思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

二、新课导学

※ 学习探究

探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

{3,6,9}A与*{|3,333}BxxkkNk且；

{}C东升高中学生与{}D东升高中高一学生；

{|(1)(2)0}Exxxx与{0,1,2}F.

新知：子集、相等、真子集、空集的概念.

① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：()ABBA或，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.

当集合A不包含于集合B时，记作ABØ.

② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：

()ABBA或.

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③ 集合相等：若ABBA且，则AB中的元素是一样的，因此AB.

④ 真子集：若集合AB，存在元素xBxA且，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.

⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

试试：用适当的符号填空.

（1）{,}ab {,,}abc，a {,,}abc；

（2） 2{|30}xx， R；

（3）N {0,1}，Q N；

（4）{0} 2{|0}xxx.

反思：思考下列问题.

（1）符号“aA”与“{}aA”有什么区别？试举例说明.

（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.

（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？

① 若,,abbaab且则；

② 若,,abbcac且则.

※ 典型例题

例1 写出集合{,,}abc的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.