2018-2019学年高中数学人教A版必修一课件：3.1.1 方程的根与函数的零点 .pdf

1 《方程的根与函数的零点》复习课

知识与技能

1、掌握函数零点的概念，会求解简单的函数零点问题

2、理解函数的零点、图象与相应方程根的关系，掌握求函数零点、方程实根的常用方法

3、掌握函数的存在性定理，能判断函数零点所在区间及个数问题。

过程与方法

通过三种主要题型的探究，进一步使学生领会函数与方程的内在联系，从而了解函数的零点与方程的根的关系，体会函数与方程、数形结合、转化等数学思想；

情感态度与价值观

在函数与方程的解题中体验数形结合思想，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，鼓励学生通过观察、类比，提高审题、运算及分析问题、解决问题的能力．

教学重点：方程的根与函数零点的等价关系，函数零点存在性定理．

教学难点：数与形方法的选择和应用.

教辅手段：PPT、几何画板

教学过程

一、知识点梳理

1、函数的零点的定义是什么？

函数的零点：对于函数)(xfy，把使0)(xf的实数x叫做函数)(xfy的零点。

求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程0xf的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x轴交点的横坐标．即使所求．

2、分别从数和形的角度说明方程与函数、函数图象之间的等价关系

(1)方程0)(xf有实数根(2)函数)(xfy有零点(3)函数)(xfy的图象与x轴有交点

【处理方式】:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程0xf的根即函数xfy的零点，可以把解方程0xf的问题转化为函数xfy图象与x轴的交点问题。

函数与方程思想：若y=()fx有零点0xf(0x)=0

师：若0xf中xf包含两种不同类型的基本初等函数，方程无法直接求解，如何判断方程的解的情况？

2 生：()fx=()gx有解0x若y=f(x)与y=g(x)有交点(0x，0y)

3.1.1 方程的根与函数的零点

1．函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．

辨误区 函数的零点不是点 我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．

【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )

A．(±1,0) B．(1,0)

C．0 D．±1

解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．

答案：D

2．基本初等函数的零点

函数 零点(或零点个数)

正比例函数y＝kx(k≠0) 一个零点0

反比例函数kyx(k≠0) 无零点

一次函数y＝kx＋b(k≠0) 一个零点bk

二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a≠0 Δ＞0 两个零点－b±Δ2a

Δ＝0 一个零点－b2a

Δ＜0 无零点

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 无零点

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 一个零点1

幂函数y＝xα α＞0 一个零点0

α≤0 无零点

【例2】若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．1或2

解析：∵b2＝ac，

∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．

1 3.1.1 方程的根与函数的零点

A级 基础巩固

一、选择题

1．函数f(x)＝lg x＋1的零点是( )

A.110 B.10 C.1010 D．10

解析：由lg x＋1＝0，得lg x＝－1，所以x＝110.

答案：A

2．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )

A．1 B．－1 C．0 D．不能确定

解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.

答案：C

3．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋ln x，x＞0.的零点个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，

解得x＝－3或x＝1(舍)；

当x＞0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.

所以函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋ln x，x＞0.有2个零点．

答案：C

4．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为( )

A.12，0 B．－2，0

C.12 D．0

解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.

当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝12，此时无解．

综上所述，函数零点为0.

答案：D 2 5．函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是( )

A．(1，2) B．(2，3)

C.1，1e和(3，4) D．(e，＋∞)

解析：函数f(x)的图象在(0，＋∞)上是一条连续不断的曲线，因为f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－23＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以零点所在的大致区间为(2，3)．

答案：B

二、填空题

6．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．

解析：作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象，由图可知，这两个图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．

3.1.1方程的根与函数的零点

班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________

【基础过关】

1．在区间上有零点的一个函数为

A. B.

C. D.

2．方程的解所在的区间为

A. B. C. D.

3．函数的零点所在的大致区间是

A. B. C. D.

4．函数有两个零点、,且,则

A., B.

C., D.,

5．若函数的零点为2,那么函数的零点是 .

6．根据下表，能够判断有实数解的区间是 . -1 0 1 2

3

-0.677 3.011 5.432 5.980

7.651

-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892

(1)(-1,0) (2)(0,1)

(3)(1,2) (4)(2，3)

7．已知二次函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围.

8．已知函数恒有零点.

(1)求的取值范围；

(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求的值.

【能力提升】

判断函数f(x)=x-3+ln x的零点的个数.

答案

【基础过关】

1．C

【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A有恒成立，故没有零点；对B，，故在上没有零点；对C，，故在上存在零点，故选C.

2．C

【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于的区间.

3．C

【解析】∵，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，

，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.

4．C

【解析】数形结合，f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位，逆向思维为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象.由图易得出结论.