高中数学人教A版必修课件：方程的根与函数的零点

1 《方程的根与函数的零点》复习课

知识与技能

1、掌握函数零点的概念，会求解简单的函数零点问题

2、理解函数的零点、图象与相应方程根的关系，掌握求函数零点、方程实根的常用方法

3、掌握函数的存在性定理，能判断函数零点所在区间及个数问题。

过程与方法

通过三种主要题型的探究，进一步使学生领会函数与方程的内在联系，从而了解函数的零点与方程的根的关系，体会函数与方程、数形结合、转化等数学思想；

情感态度与价值观

在函数与方程的解题中体验数形结合思想，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，鼓励学生通过观察、类比，提高审题、运算及分析问题、解决问题的能力．

教学重点：方程的根与函数零点的等价关系，函数零点存在性定理．

教学难点：数与形方法的选择和应用.

教辅手段：PPT、几何画板

教学过程

一、知识点梳理

1、函数的零点的定义是什么？

函数的零点：对于函数)(xfy，把使0)(xf的实数x叫做函数)(xfy的零点。

求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程0xf的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x轴交点的横坐标．即使所求．

2、分别从数和形的角度说明方程与函数、函数图象之间的等价关系

(1)方程0)(xf有实数根(2)函数)(xfy有零点(3)函数)(xfy的图象与x轴有交点

【处理方式】:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程0xf的根即函数xfy的零点，可以把解方程0xf的问题转化为函数xfy图象与x轴的交点问题。

函数与方程思想：若y=()fx有零点0xf(0x)=0

师：若0xf中xf包含两种不同类型的基本初等函数，方程无法直接求解，如何判断方程的解的情况？

2 生：()fx=()gx有解0x若y=f(x)与y=g(x)有交点(0x，0y)

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4.5.1 函数的零点与方程的解

教学目标：

1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.

2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.

3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.

教学重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法；掌握函数零点存在定理并能应用.

教学难点：数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用；函数零点存在定理的理解.

教学过程：

（一）新课导入

观察下列三组方程与函数：

方程 函数

2230xx 223yxx

2210xx 221yxx

22+30xx 22+3yxx

大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x轴的交点之间的关系.

教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程2230xx的根为-1和3，函数223yxx的图像与x轴交于点（-1,0），（3,0）.

学生思考回答下面两组关系.

学生：2210xx有两个相等的实根为1，函数221yxx的图像与x轴有唯一的交点（1,0）.

22+30xx没有实根，函数22+3yxx的图像与x轴无交点.

2

教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容.

探究一：零点的概念

教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.

学生思考并归纳：

零点的概念：对于一般函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.

提问：考察函数（1）lgyx；（2）2log(1)yx；（3）2xy；（4）22xy的零点.

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

过程与方法 零点存在性的判定．

情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

教学重点：

重点 零点的概念及存在性的判定．

难点 零点的确定．

教学程序与环节设计： 教学过程与操作设计：

环节 教学内容设置 师生双边互动

创

设

情

境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

○1方程0322xx与函数322xxy

○2方程0122xx与函数122xxy

○3方程0322xx与函数322xxy

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

组

织

探

究 函数零点的概念：

对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点．

函数零点的意义：

函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标．

即：

方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．

函数零点的求法：

求函数)(xfy的零点：

○1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

○1 代数法；

○2 几何法． 二次函数的零点：

二次函数

)0(2acbxaxy．

1 课题: 《方程的根与函数的零点》

一、教学目的:

1、知识与技能：

(1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；

(2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；

(3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间；

(4)、体会函数与方程和数形结合的思想。

2、过程与方法：

培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

3、情感态度与价值观：

在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点

重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法；

难点：探究并发现零点存在性定理及其应用

三、教学过程

1、创设问题情境，引入新课

问题1 求下列方程的根

(1)、3x+2=0； (2)、0322xx ； (3)、062xInx；

师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决

设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。

问题2：填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？

一元二次方程 0322xx 0122xx 0322xx

二次函数 322xxy 122xxy 322xxy

函数图像

图象与x轴交点

方程的根

师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律

设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。并通过上表得出： 2 一元二次方程的实数根=二次函数图像与x轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X轴交点的个数）。