函数的单调性例题解析

用导数研究含参函数的单调性

一、考情分析

函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,

可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,

单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关

重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用

更是高考中的难点.

二、解题秘籍

连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程fx

=0的根,所以求解

含参函数的单调性问题,一般要根据fx

=0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是

二次型

1.若导函数是一次型,分类步骤是：

①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；

②若有根,求出fx

=0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；

③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；

2.若导函数是二次型,分类步骤是：

①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；

②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单

调性；

③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间

上的单调性.

下面我们根据fx

=0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.

类型一：fx

定义域不是R,fx

=0可化为单根型一次方程

思路：根据根是否在定义域内进行分类

例1.讨论fx=x-1-alnx的单调性

类型二：fx定义域不是R,fx

=0可化为单根型类一次方程

思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类

例2.讨论fx=ax-1-alnx+1的单调性

例3.讨论fx=

1

4ax4

-1

3x3

+1

2ax2-x+1的单调性

1.3.1函数的单调性

题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间

例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间

（1）12xy; （2）322xxy;

（3）2)2(1xxy; （4）969622xxxxy

相应作业1：课本P32第3题.

题型二、用定义法证明函数的单调性

用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论

取值，即_____________________________；

作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等；

定号，即____________________________________________________________;

④下结论，即______________________________________________________。

例2.用定义法证明下列函数的单调性

（1）证明：1)(3xxf在,上是减函数.

▲定义法证明单调性的等价形式：

设baxx,21、，21xx,那么

)(0)()(0)()()(21212121xfxxxfxfxfxfxx在ba,上是增函数；

)(0)()(0)()()(21212121xfxxxfxfxfxfxx在ba,上是减函数.

(2)证明：xxxf1)(2在其定义域内是减函数；

（3）证明：21)(xxf在0,上是增函数；

法一： 作差 法二：作商

（4）已知函数)(xfy在,0上为增函数，且)0(0)(xxf，试判断)(1)(xfxF在,0上的单调性，并给出证明过程；

2．3．1 函数的单调性·例题解析

【例1】求下列函数的增区间与减区间

(1)y＝|x2＋2x－3|

(2)y(3)y＝＝xxxxx2221123||

解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．

先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．

由图像易得：

递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)

递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]

(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．

解 当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．

当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．

∴增区间是(－∞，0)和(0，1)

减区间是[1，2)和(2，＋∞)

(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．

令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．

而＝在≥上是增函数．yu0u

∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．

【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围． 解 当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．

当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a0xa0a0

3a10a131212aaa

若a＜0时，无解．

∴a的取值范围是0≤a≤1．

【例3】已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：

(1)f(6)与f(4)

(2)f(2)f(15)与

解 (1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)

(2)x3f(2)f(4)34f(x)x3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；