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函数的单调性典型例题

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函数的单调性及典型习题

一、函数的单调性

1、定义：

（1）设函数)(xfy的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值21,xx,当改变量012xx时，都有0)()(12xfxf，那么就称函数)(xfy在区间M上是增函数，如图（1）当改变量012xx时，都有0)()(12xfxf，那么就称函数)(xfy在区间M上是减函数，如图（2）

注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．

2、巩固概念：

1、定义的另一种表示方法

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若0)()(2121xxxfxf即0xy，则函数y=f(x)是增函数，若0)()(2121xxxfxf即0xy，则函数y=f(x)为减函数。

判断题：

①已知1()fxx因为(1)(2)ff，所以函数()fx是增函数．

②若函数()fx满足(2)(3)ff则函数()fx在区间2,3上为增函数．

③若函数()fx在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数()fx在区间(1,3)上为增函数．

④因为函数1()fxx在区间,0),(0,)上都是减函数，所以1()fxx在(,0)(0,)上是减函数.

通过判断题，强调几点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数．

熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．

1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．

2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反．

3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等 3．判断函数单调性的方法

（1）定义法．

（2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单

调性均可直接说出．

（3）图象法．

例1、证明函数xxf1)(在（0，+）是减函数．

练习1：证明函数()fxx在0,上是增函数．

例2、设函数f（x）＝＋lg,试判断f（x）的单调性，并给出证明．

例3、求下列函数的增区间与减区间

(1)y＝|x2＋2x－3|

例4、函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．

例5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：

(1)f(6)与f(4)

例6、 函数f (x)＝| x | 和g (x)＝x (2－x )的递增区间依次是 ( )

A.] ,( ], ,(10 B.) ,[ ], ,(10 C.] ,( ), ,[10 D.) ,[ ), ,[10

例7、已知a、b是常数且a≠0, f (x)bxax2, 且0)2(f, 并使方程x)x(f有等根.

(1) 求f (x )的解析式;

(2) 是否存在实数m、n)nm(, 使f (x )的定义域和值域分别为]n ,m[和]n2 ,m[2?

同步训练：

一、选择题

1．下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是

A．y＝|x2－1| B．y＝ C．y＝2x2－x＋1 D．y＝|x|＋1

2．如果奇函数f（x）在区间［3，7］上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间

［－7，－3］上是

A. 增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5

C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5

3．若函数解析式为y＝f（x），则下列判断正确的是

A、若f（x）在（－∞,0）和（0，＋∞）上均是增函数，则f（x）在（－∞,0）∪（0,＋∞）上也是增函数

B、若f（x）在（－∞,0）和（0，＋∞）上均是减函数，则f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上也是减函数

C、若f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数，则f（x）在（－∞，0）上也是增函数

D、若f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数，则f（x）在（－∞,0）上是增函数

二、填空题

4．已知函数y＝－x2＋2x＋1在区间［－3，a］上是增函数，则a的取值范围是______________

5．设函数y＝f（x）是定义在（－1，1）上的增函数，则函数y＝f（x2－1）的单调递减区间是______________

6．若函数y＝ax,y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0,＋∞）上是________（填单调性）．

三、解答题已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（－x）＝＞0，又g（x）＝f（x）＋ c（c为常数）在［a,b］（a＜b＝上是单调递减函数，判断并证明g（x）在［－b,－a］上的增减性．

课后巩固：

1、利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

2、.设)(xf是定义在R上的函数，对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf。

（1）求证：1)0(f； （2）证明：Rx时恒有0)(xf；

（3）求证：)(xf在R上是减函数； （4）若()(2)1fxfx，求x的范围。

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高三数学 函数的单调性和最值典型例题解析之一

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1．由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()fx的最小值，解不等式112log48aa，可得所求范围.

【详解】

（1）由2040xaax可得24axa，则()fx的定义域为2,4aa，

()log(2)log(4)log(2)(4)aaafxxaaxxaax22log(3)axaa，

当1a时，()fx的增区间为2,3aa，减区间为3,4aa.

证明：设22()3gxxaa，()gx的增区间为,3a，减区间为3,a，

当1a时，设1223axxa，可得12gxgx，12loglog[]aagxgx，即12fxfx，可得()fx在2,3aa递增；

设1234axxa，可得12gxgx，12loglog[]aagxgx，

即12fxfx，可得()fx在3,4aa递减.

（2）由01a，2223xaaa，可得2()log2afxa，

所以112log48aa，即为211048aa，解得102a，

即a的取值范围是10,2.

2. 已知定义域为R的函数12()12xxfx.

（1）试判断函数12()12xxfx在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

（2）若对于任意tR，不等式22(2)()0fttftk恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）函数()fx在R上单调递减，证明见解析；（2）1,2.

【详解】

（1）函数12()12xxfx在R上单调递减.

证明如下：任取12,xxR，且12xx，

122112121212122(22)()()1212(12)(12)xxxxxxxxfxfx， 因为12xx，所以1222xx，1120x，2120x，

16函数单调性的经典题型

16函数单调性的经典题型

1 函数单调性的经典题型

一、函数单调性的定义：

（1）增函数：在连续函数中，在定义域内任取21xx，都有)()(21xfxf，则函数)(xf为增函数，

图象特点，从左往右看，函数图象是上升的。

减函数：在连续函数中，在定义域内任取21xx，都有)()(21xfxf，则函数)(xf为减函数，

图象特点，从左往右看，函数图象是上升的。

（2）单调性的两个等价定义：

增函数：0-)(-)(2121xxxfxf或0)](-)([-2121xfxfxx）（

减函数：0-)(-)(2121xxxfxf或0)](-)([-2121xfxfxx）（

（3）复杂形式：若axxxfxf2121-)(-)(，则移项为0-])([-)(212211xxaxxfaxxf，设axxfxg)()(，则不等式等价为0-)(-)(2121xxxgxg，即axxfxg)()(为增函数。

若axxxfxf2121-)(-)(也可以同样处理。

二、函数单调性的运算性质

(1)在相同定义域上，)(xf为增函数，)(xg为增函数，

则①)(g)(xxf为增函数，②)(-xf为减函数，

③当)(xf不变号，即0)(xf或0)(xf恒成立时，则)(1xf为减函数。

(2) 复合函数)]([xgf的单调性，根据内外函数同增异减的性质进行判断。

三、常见函数的单调性与图象（见下页）

四、函数单调性典型例题

函数单调性的应用，主要体现在解不等式，比较函数值的大小以及求参数的取值范围等。

1. 简单函数的单调性问题

例若)(xf在(0,+∞)上递增，则不等式)]2(8[)(xfxf的解集是（ ）

A. )(0, B.），（20 C.)(2, D.)716(2,

练习：已知函数)(xf是定义在[-2,2]上的增函数，且)()-1(mfmf，则实数m的取值范围是

2 掌握常见函数的单调性，利用图象进行记忆：

第16讲 函数的单调性

第16讲 函数的单调性

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)

利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)

第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结

【考点分析】

考点一：利用导数判断函数单调性的方法

①求函数的定义域（常见的0,lnxx）；

①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；

①令0xf，求出根,,,321xxx，数轴标根，穿针引线，注意x系数的正负；

④判断xf的符号，如果()0fx，则()yfx为增函数；如果()0fx，则()yfx为减函数．

考点二：已知函数的单调性求参数问题

①若()fx在ba,上单调递增，则()0fx在ba,恒成立（但不恒等于0）；

①若()fx在ba,上单调递减，则()0fx在ba,恒成立（但不恒等于0）．

【题型目录】

题型一：利用导数求函数的单调区间

题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围

题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围

题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围

【典型例题】

题型一：利用导数求函数的单调区间

【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数2exfxx的单调递减区间是（ ）

A．,3 B．0,3 C．3,0 D．3,

【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数lnxyx的单调递增区间是（ ）

A．1,e B．e, C．10,e D．0,e

【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln2fxxx的单调递减区间为（ ）

A．(1,1) B．(0,1) C．(1,) D．(0,2)

【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln1fxxx的单调增区间为_________.

【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数ln1fxxx，则（ ）