《概率论》第4章数学期望

2021年-2022年

1 《概率论与数理统计》

第四章 随机变量的数字特征

考点33 离散型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）

1.设X是离散型随机变量,概率分布为

P{X=xi}=pi,i=1,2,…。

则1)(iiipxXE为X的数学期望(或均值)。

2.常用离散型随机变量的数学期望

（1）两点分布：X∼B(1,p),0

（2）二项分布：X∼B(n,p)，其中0

（3）泊松分布:X∼P()，其中>0，则E(X)=。

考点34 连续型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）

1.设X是连续型随机变量，则称dxxfxXE)()(为X的数学期望。

2. 常用连续型随机变量的数学期望

（1）均匀分布若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则； 21)()(badxabxdxxxfXEba

（2）指数分布若X服从参数为λ的指数分布，则

； /1)(0dxexXEx

正态分布若X服从),(2sµN，则.)(XE

考点35 二维随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）

1.二维离散型随机变量的数学期望：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为

pij,i=1,2,，j=1,2,.则：.),()],([11åå¥=¥==ijijjipyxgYXgE

2. 二维连续型随机变量的数学期望：设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:. ),(),()],([dxdyyxfyxgYXgEòò¥¥-¥¥-=

考点36 数学期望的性质（★★★一级考点，选择、填空）

(1).设C是常数，则E(C)=C;E(C)=C×1=C

(2).若k是常数，则E(kX)=kE(X);

(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);

(4).设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);

第四章 数字特征

前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。

第一节 数学期望

一、离散型随机变量的数学期望

数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题

例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：

年龄 18

19 20 21 ∑

人数 1 15 15 9

40

该班同学的平均年龄为：

4092115201519118a

8.194092140152040151940118

若令X表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X的分布律为

x 18 19 20 21

p 401

409

于是，X取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为 2 4092140152040151940118)(aXE

8.19iiipx

定义1：设X为离散型随机变量，其分布律为

iipxXP}{，,2,1i

如果级数 绝对收敛，则此级数为X的数学期望（或均值），记为 E(X)，

即 iiipxXE)(

意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值。

如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。

例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知

X1和X2的分布律分别为：

X1 8 9

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1

第4章 随机变量的数字特征

数学期望

方差

1

第1节

随机变量的数学期望

2

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2

数学期望E(X)

1122()

kkkk

kEXpxpxpxpx {} 1,2,

kkPXxpkMathematical Expectation

定义 设离散型随机变量的概率分布为 离散型随机变量的数学期望

kk

kpx

若级数绝对收敛， 则称此级数为

随机变量X的数学期望，记作E(X)，即 3

X

P 4

1/4 5

1/2 6

1/4 离散型随机变量的数学期望的计算

已知随机变量X的分布律

：

112233 ) (EXpxpxpx例

求数学期望E（X）

解 111

()4565

424EX

4

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连续型随机变量的数学期望E(X)

() ()EXxfxdx

连续型随机变量

定义 设连续型随机变量X的密度函数为 f (x), 则

() 若广义积分绝对收敛,则称此积分为

的数学期望xfxdx

X



即

5

连续型随机变量的数学期望的计算

已知随机变量X的密度函数为 例

21

1

()

1

01x

fx

x

x

















()()EXxfxdx

求数学期望E(X)。

解

11

2111

00

1

0xdxxdxxdx

x







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数学期望的意义

试验次数较大时，X的观测值的算术平均值

在E(X)附近摆动 x()xEX

数学期望又可以称为期望(Expectation)，均值(Mean) E(X)反映了随机变量X的取值的“概率平均”，

是X的可能值与相应概率的加权平均。

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随机变量的函数的数学期望

定理 1： ()YgX设 是随机变量 X的函数,

()[()]()

kk

kEYEgXgxp{}, 1,2,

kkPXxpk离散型

连续型

()[()]()()EYEgXgxfxdx

MATLAB6.0

数学手册

134第4章概率统计

本章介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于

MatlabR12\Toolbox\Stats中。

4.1随机数的产生

4.1.1二项分布的随机数据的产生

命令参数为N，P的二项随机数据

函数binornd

格式R=binornd(N,P)%N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二

项分布的随机数，N、P大小相同。

R=binornd(N,P,m)%m指定随机数的个数，与R同维数。

R=binornd(N,P,m,n)%m,n分别表示R的行数和列数

例4-1>>R=binornd(10,0.5)R=3>>R=binornd(10,0.5,1,6)R=813764>>R=binornd(10,0.5,[1,10])R=6846753562>>R=binornd(10,0.5,[2,3])R=758656>>n=10:10:60;>>r1=binornd(n,1./n)r1=210112>>r2=binornd(n,1./n,[16])r2=012131

4.1.2正态分布的随机数据的产生

命令参数为μ、σ的正态分布的随机数据

函数normrnd

格式R=normrnd(MU,SIGMA)%返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的第4章概率统计

135随机数据，R可以是向量或矩阵。

R=normrnd(MU,SIGMA,m)%m指定随机数的个数，与R同维数。

R=normrnd(MU,SIGMA,m,n)%m,n分别表示R的行数和列数

例4-2>>n1=normrnd(1:6,1./(1:6))n1=2.16502.31343.02504.08794.86076.2827>>n2=normrnd(0,1,[15])n2=0.05911.79710.26410.8717-1.4462>>n3=normrnd([123;456],0.1,2,3)%mu为均值矩阵n3=0.92991.93612.96404.12465.05775.9864>>R=normrnd(10,0.5,[2,3])%mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数R=9.783710.06279.42689.167210.143810.5955