第四章 随机变量的数学期望

第四章 数字特征

前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。

第一节 数学期望

一、离散型随机变量的数学期望

数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题

例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：

年龄 18

19 20 21 ∑

人数 1 15 15 9

40

该班同学的平均年龄为：

4092115201519118a

8.194092140152040151940118

若令X表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X的分布律为

x 18 19 20 21

p 401

409

于是，X取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为 2 4092140152040151940118)(aXE

8.19iiipx

定义1：设X为离散型随机变量，其分布律为

iipxXP}{，,2,1i

如果级数 绝对收敛，则此级数为X的数学期望（或均值），记为 E(X)，

即 iiipxXE)(

意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值。

如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。

例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知

X1和X2的分布律分别为：

X1 8 9

日照实验高中2007级导学案——概率

2．3．1离散型随机变量的数学期望

学习目标：

1：了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．

2：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

学习重点、难点：离散型随机变量的均值或期望的概念；根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望

自主学习：

一、知识再现：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，„，x3，„，

ξ取每一个值xi（i=1，2，„）的概率为()iiPxp，则称表

ξ x1 x2 „ xi „

P P1 P2 „ Pi „

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

4. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，„； ⑵P1+P2+„=1．

5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,„，n，pq1）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ 0 1 „ k „ n

P nnqpC00 111nnqpC „ knkknqpC „ 0qpCnnn

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．

6. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为kA、事件A不发生记为kA，P(kA)=p，P(kA)=q(q=1-p)，那么 教师备课

* *

第9讲 随机变量的数学期望与方差

教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。

2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。

教学重点：

1．随机变量的数学期望

For personal use only in study and research; not for commercial use

2．随机变量函数的数学期望

3．数学期望的性质

4．方差的定义

For personal use only in study and research; not for commercial use

5．方差的性质

教学难点：数学期望与方差的统计意义。

教学学时：2学时。

For personal use only in study and research; not for commercial use

教学过程：

第三章 随机变量的数字特征

§3.1 数学期望

For personal use only in study and research; not for commercial use * *

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1．离散随机变量的数学期望

我们来看一个问题：

某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量，如何定义X取值的平均值呢？

若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为

27.1100213100172100301100320

学案序号： 课型:新授课 执笔教师:贾现荣 授课时间：2016年 月 号 济南高新区实验中学 高二年级 班 姓名

1 2.3.1离散型随机变量的数学期望

教学目标

1. 使学生理解和掌握离散型随机变量的数学期望的定义，理解其实际含义；

2. 掌握和应用数学期望的性质，解决一些实际问题.

重点：离散型随机变量的数学期望的概念及其实际含义.

难点：离散型随机变量的数学期望的实际应用.

预习导航

研学本节教材，独立思考并尝试回答下列问题：

1. 离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）：

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.

2. 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则期望公式为:

3. 若离散型随机变量X服从参数为nMN,,的超几何分布，则期望公式为：

课堂探究

※ 探究活动一：

例1. 甲，乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下，比较甲，乙两射手射击水平的高低.

※ 探究活动二：

例2. 一袋里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中取出4个，求其中所含白球个数的期望.

※ 探究活动三：

例3. 根据天气预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。方案1：运走设备，此时需花费3800元;方案2：建一保护墙，需花费2000元，但围墙无法防治大洪水，当大洪水来临，设备损失，损失费为60000元;方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。问哪种方案好？

当堂训练

1.设离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 4 5

P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1