2021年-2022年
1 《概率论与数理统计》
第四章 随机变量的数字特征
考点33 离散型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）
1.设X是离散型随机变量,概率分布为
P{X=xi}=pi,i=1,2,…。
则1)(iiipxXE为X的数学期望(或均值)。
2.常用离散型随机变量的数学期望
（1）两点分布：X∼B(1,p),0
（2）二项分布：X∼B(n,p)，其中0
（3）泊松分布:X∼P()，其中>0，则E(X)=。
考点34 连续型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）
1.设X是连续型随机变量，则称dxxfxXE)()(为X的数学期望。
2. 常用连续型随机变量的数学期望
（1）均匀分布若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则； 21)()(badxabxdxxxfXEba
（2）指数分布若X服从参数为λ的指数分布，则
； /1)(0dxexXEx
正态分布若X服从),(2sµN，则.)(XE
考点35 二维随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）
1.二维离散型随机变量的数学期望：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为
pij,i=1,2,，j=1,2,.则：.),()],([11åå¥=¥==ijijjipyxgYXgE
2. 二维连续型随机变量的数学期望：设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:. ),(),()],([dxdyyxfyxgYXgEòò¥¥-¥¥-=
考点36 数学期望的性质（★★★一级考点，选择、填空）
(1).设C是常数，则E(C)=C;E(C)=C×1=C
(2).若k是常数，则E(kX)=kE(X);
(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);
(4).设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);
1 概率论与数理统计教学教案
第四章 随机变量的数字特征
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第四章 第一节 数学期望 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 离散型、连续型随机变量的数学期望的定义及其概率含义；数学期望的性质；随机变量函数的期望公式 教学难点 连续型随机变量及其函数的数学期望；数学期望的性质
参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题
大纲要求 理解 离散型、连续型随机变量的数学期望的定义及其概率含义
熟悉 数学期望的性质
掌握 随机变量函数的期望公式
熟练 常用随机变量的数学期望
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1. 数学期望的定义
（1）设X是离散型的随机变量，其分布律为,1,2,iiPXxpi。如果级数1iiixp绝对收敛，则称
1iiiEXxp
为离散型随机变量X的数学期望，也称作期望或均值。
（2）设X是连续型随机变量，其概率密度为fx。如果广义积分xfxdx绝对收敛，则称
EXxfxdx
为连续型随机变量X的数学期望，也称作期望或均值。
2. 随机变量函数的数学期望
（1）设X是离散型随机变量，其分布律为,1,2,iiPXxpi。如果级数1iiigxp绝对收敛， 2 则X的函数YgX的数学期望为1iiiEgXgxp；
（2）设X为连续型随机变量，其概率密度为fx。如果广义积分gxfxdx绝对收敛，则X的函数YgX的数学期望为EgXgxfxdx。
3. 二维随机变量函数的数学期望
（1）设,XY是二维离散型随机变量，其联合分布律为,,ijijPXxYyp,1,2,ij。如果级数11,ijijijgxyp绝对收敛，则,XY的函数,ZgXY的数学期望为
第四章习题
一、填空
1．某人射击一次，击中的概率是0.8，则5次射击中平均击中次数为
2．用人工织布机所织布批上的平均疵点数为2，则这种布批上疵点数的概率分布为
3．某厂生产的电子元件的平均寿命为1000小时，则该厂生产的这类电子元件寿命的方差为
4．若DXEXXY，则EY=，DY=
二、计算题
1.一批共10件产品，其中6件正品，从中一次任取3件 ，求（1）3件中的次品数的概率分布 （2）3件中的次品数的数学期望 （3）3件中的次品数的方差
2.已知X与Y相互独立，且分布律如下：
X 0 1 2
P 0.2 0.3 0.5
求E(X+Y)和D(X-Y)
Y 0 1
P 0.4 0.6 3.已知连续型随机变量X的概率密度为201()0xxx其它，求X的数学期望及方差。
４.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=2，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X+2Y），D（2X－3Y）
５.设随机变量X，Y的概率密度分别为
fX（x）=;0,0,0,22xxxefY（y）=.0,0,0,44yyye
求（1）E（X+Y）;（2）E（2X－3Y2）
６．设随机变量X和Y的联合概率分布为
Ｙ
Ｘ －１ ０ １
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
求X和Y的相关系数ρ.
一、选择题
1.设二维随机变量（X,Y）满足E(XY)=EXEY,则X与Y
（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立
2.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相
关系数等于
（A）-1（B）0（C）（D）1
3.对于任意二维随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是
（A）EXY=EXEY（B）Cov（X，Y）=0
（C）ＤＸＹ＝DXDY（D）D（X+Y）=DX+DY
4.假设随机变量X在区间【-1，1】上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关函数等
于
（A）-1（B）0（C）0.5（D）1
5.设随机变量X1，X2，…，Xn（n>1）独立同分布，且方差>0，记=，则~与的相关系数为
（A）-1（B）0（C）（D）1
6.设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P||X-EX|3|，则一定有
（A）DX=2（B）P||X-EX|3|
（C）DX2（D）P||X-EX|3|
7.设随机变量，，…，相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且D=1,…,n,则对任意，根据
切比雪夫不等式直接可得
（A）P{||<}（B）P{||<}
（C）P{||<}（D）P{||<}
二、填空题
1.两名射手个向自己的靶射击，直到有一次命中时该射手才（立即）停止射击，如果第i
名射手每次命中概率为(0<,i=1,2)，则两射手均停止射击时脱靶（未命中）总数的数学期望为。
2.将长度为L德邦随机折成两段，则较短段的数学期望为。
3.设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=2X-1，则Y与Z的相关系数为。
4.设随机变量X与Y的相关系数为0.5，EX=EY=0,E=E=2，则E=。
5.设随机变量X与Ｙ相互独立，且Ｘ～Ｂ（５,０．８），Ｙ～Ｎ（１,１），则Ｐ｛０＜Ｘ
＋Ｙ＜１０｝
三、计算题与应用题
1.设某网络服务器首次失效时间服从E（λ），先随机购得4台，求下列事件的概率：
（I）事件A：至少有一台的寿命（首次失效时间）等于此类服务器的平均寿命；
