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二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）123111,,r r r 成等差数列 （D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是 （A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。
精品文档椭圆及其标准方程1。
平面内 ，叫做椭圆。
叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。
2。
根据椭圆的定义可知：集合{}A MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a ,为常数。
当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段；当 时，集合P 为空集。
3。
焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。
其中c b a ,,满足关系为 。
练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a b ==y 轴上；⑶10,a b c +==例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程.1162522=+y x 116914422=+y x 112222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0,,22<=+C B A C By Ax精品文档例2 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。
当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。
轨迹是什么图形？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程..知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=.精品文档椭圆的简单几何性质1.范围方程中x 、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。
微专题09 椭圆的简单的几何性质例1. 在椭圆2214520x y +=上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.变式1-1 若椭圆2214520x y +=上的点P 与两焦点连线的夹角为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是_________.若夹角为锐角呢？变式1-2 在椭圆2214536x y +=上是否存在一点，使它与两焦点的连线互相垂直？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由.变式1-3 已知12,F F 是椭圆2221(0)4x y b b +=>在x 轴上的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则b 的取值范围是________.变式1-4 （2017新课标Ⅰ）设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足AMB ∠ =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞例2 设是12,F F 椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）(A)4(B)6 (C) (D)变式2-1 已知P 是椭圆22154x y +=上一点，12,F F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12PF F ∆的面积为( )(B)4(2 (C)4(2+ (D)4变式2-2 已知P 是椭圆221925x y +=上一点，12,F F 是焦点，当12||||PF PF ⋅取到最大值时点P 的坐标为________.变式2-3 设椭圆22143x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若12PF F ∆是直角三角形，则12PF F ∆的面积为( )A ．3B ．3或32 C.32D ．6或3例3 (2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为( )(A)1 (B)2 1变式3-1 点A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点，O 为椭圆的中心，若椭圆上存在点P ，使0OP AP ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是________.变式3-2 若12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12120F PF ∠=，则椭圆的离心率的取值范围是________.变式3-3 若A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点，P 为椭圆上一点，且120APB ∠=，则椭圆的离心率的取值范围是________.。
典型例题例1椭圆的一个顶点为A（2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置・解：（1）当4（2,0）为长轴端点时，《= 2, b = l,椭圆的标准方程”令+F（2）当A（2,0）为短轴端点时，b = 2, d = 4,椭圆的标准方程为：宁+P说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况•典型例题例2 —个椭圆的焦点将英准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.解：•/ 2c = — X 2 X - /. V" = rc 3说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求求C,再求比.二是列含《和C 的齐次方程，再化含€的方程，解方程即可.典型例题例3已知中心在原点，焦点在兀轴上的椭圆与宜线x+y-1 = 0交于A、B两点,M为A8中点，OM的斜率为，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解：由题意，设椭圆方程为亠+尸=44 月+|CF| = 2|BF,且BF=-. 5 18 yx + y-\ = O由 1牙2 分.W(l + t/)\'-2rt-x = 0,2 a\ + aA —+ y-=l 为所求.4说明:（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法：（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题•典型例题四（Q \=1上不同三点A （・X[, yj, B 4T - , C{x^,儿）与焦点F （4・0）的\ 5丿距离成等差数列.(1)求证X] +x^ =8：（2）若线段AC 的垂直平分线与X 轴的交点为7\求直线的斜率a. 证明：（1）由椭圆方程知a = 5 , h = 3 . c = 4・Ccr a---- 斗cAF 由圆锥曲线的统一泄义知:（2）因为线段AC 的中点为（4,匹尹｝所以它的垂直平分线方程为又T 点r 在X 轴上，设其坐标为（心，0）,代入上式，得33歼一兀 2（X|-X2）又•••点”），B （与 儿）都在椭圆上• -）；=却25-彳）y ；=善（25 一卅）-K _ 衣=一舟（“1 + 兀2 -吃）•将此式代入①，并利用西+勺=8的结论得%0-4 =-—0 25典型例题五例5已知椭圆宁+寸=1,片、&为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，便M 到左准线/的距离MN 是M 斥与MF ；的等比中项若存在，则求出点M 的坐标；若不存在, 请说明理由•a = 2tb = Vs ,c = 1 r e = —2「左准线/的方程是x = r ，R - 5 -5 47。
4ST解：假设M 存在，设M （册，儿），由已知条件得 Ny3 MFi OJ2 ••• M N=4 + X|・又由焦半径公式知:M 斤=a —exj = 2 — — X,,|A/巧 | = « +改j =2 + —X] •/.(X| + 4)' = 2- —2 + —X,.\ 2 八 L )整理得5斤+ 32旳+48=0・12解之得或召=一二 另一方面一2<X] <2-则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在. 说明：（1） 利用焦半径公式解常可简化解题过程・（2） 本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果，再作判断.（3） 本例也可设M （2cos&J5sin&）存在，推出矛盾结论（读者自己完成）.典型例题六X-（ \ 1 A例6已知椭圆—+r =1,求过点P且被P 平分的弦所在的直线方程.2\ 2 2 丿分析一：已知一点求宜线，关键是求斜率，故设斜率为利用条件求k ・ 解法一：设所求宜线的斜率为则宜线方程为y-- = k X-- Z \>整理得(1 + 2&»_(2£2_2心 + ”2_鸟 + | = 0.•代入椭圆方程，并"2 一”由韦达立理得龙严厂丹・•"是弦中点，7+V故得2丐.所以所求直线方程为2x + 4y-3 = 0.分析二：设弦两端坐标为（引yj、（切＞s）'列关于為、y「）3的方程组，从而求斜率：尤1一兀解法二：设过P丄二的宜线与椭圆交于A（冲比）、Bg比），则由题意得\ 2 2 ）X：、,T+心,丫2—+ V； =1,2 …X, + 尼=1,①一②得斗兰_+）f-y；=O. 乙将③、④代入⑤得庶七，即直线的斜率为一丁所求直线方程为2x + 4y - 3 = 0・说明：（1）有关弦中点的问题.主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦：平行弦的中点轨迹：过定点的弦中点轨迹.（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达立理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程.（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2,-6）：（2）在X 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互柑垂宜，且焦距为6.分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由.+与=1求出/=148, a- Ir 宀37,在得方程需+知】后，不能依此写出旷方程存汁由已知d = 2h • 又过点（2,-6）,因此有或卑+養“X /?・ er /?■由①.②，得“2 = 148, b-=37或/=52, /异=13・故所求的方程为面■ +祐"或L 着F（2）设方程为3 +与=1・由已知，c = 3，b = c = 3,所以/=18・故所求方程 cT b-说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，；^^参数=关键在于焦点的位置 是否确;若不能确定，应设方程4+4=1或■+二= h- cc b ・典型例题八例8椭圜器+醫=1的右焦点为F ，过点A （1,J3） 为最小值时，求点M 的坐标.分析：本题的关键是求出离心率Q = * 把2|M 叶转化为M 到右准线的距离，从而得解：⑴设椭圆的标准方程岭+召“或与+匚二Zr，点M 在椭圆上，当\AM\ + 2\MF\724M| + 2|M 叶中的“2”的处理.事实上，如图，e = - 即MF|是M 到右准线的距离的一半，即图中的Me ，问题转化为求椭圆上一点M ,使M到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九例9求椭圜一+ r = 1上的点到宜线x — y + 6 = 0的距离的最小值.分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最 小值•解：椭圆的参数方程为F = dcos&,设椭圆上的点的坐标为(J5cos0sine),则点到I y = sin&・直线的距离为当sin (丁-&J =-1 时，%,卜｛(1=2血说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.说明：本题关键在于未知式dcos0-sin& + 6722sin/ 、+ 6u 丿以 M （2^Ji ）・典型例题十行例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在询上，离心率一2 这个椭圆上的点的最远距离是求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于万 的点的坐标•分析：本题考査椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大 值时，要注意讨论〃的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要 善于应用不等式、平而几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结 合的思想，提髙逻辑推理能力•解法「设所求椭圆的直角坐标方程是尹F 】，其中心 >。
待迄 由，罕= 1-2■可得 a~ a~/I 3 12 = 7177 = ^1-- = -.叽=劝・设椭圆上的点（X, y ）到点P 的距离是d,则宀宀卜一|= 4/r-3y--3>' + - = -3 y + i4 \ 其中一 b < y < b ・如果则当y 时，d-（从而d ）有最大值. 由题设得斗，由此得h = V7-->-.与/?<丄矛盾. \ 2 丿2 2 2因此必有%成立，于是当尸二时— < 从而d ）有最大值. 由题设得衍『=4戸+3,可得b =l, a = 2.•:所求椭圆方程吟+F2)r 已知点 到r 2>x = 2cos& •••所求椭圆的参数方程是＜y =sin &由S 込弓C4牛可得椭圆上的是（"，4f73,-1P （0,|）的距离是“.x = acos& 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是＜ ,幷中a ＞b ＞0,待世,y = /?sin0 O<0<2;r, &为参数./ I 3 1 2=7r7=ji--=-.服亠沏.7严0 +引+4心途，则当sin —I 时，，（从而〃）有最大值. 如果—"即2由题设得（77^ =（/? + -） ＞由此得/7 = 77--＞-.与方＜丄矛盾，因此必有丄＜1\ 2） 2 2 2成立.于碍in —京我（从而2有最大值.由题设知（77^=4/?-+3- AZ? = b « = 2・典型例题十yeR. 2x-+3y- =6x,求x" + y' + 2x 的最大值和最小值.分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2F+3r=6x 与椭圆方程的结构一 致・设F +由y=-l 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点-yf^，-— » 点（V^，-—2丿 \ 2丿到点由宀卓Z纤可得\a宀宀卜|、2bsine--= <?COS'^ +/ 1 2丿2b的距离为M ，则设椭圆上的点（X, y ）到点3'2>r+2x = w,显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得垠值.解:由2,+3),2= 6小得(3)X —_29I 4 .可见它表示一个椭圆，其中心在g，o］点，焦点在X轴上，且过2, 0）点和（3, 0）设妒+ y" + 2x = m,则(x+l)' + y- = P/ +1它表示一个圆，Jt圆心为（一1, 0）半径为（加＞一1）・在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示.观察图形可知，当圆过（0, 0）点时，半径最小，即Vw+T = u此时w = 0：当圆过（3,0）点时，半径最大，即皿门=4,・・・W = 15・/. X- + y- + 2x的最小值为0.最大值为15・典型例题十二例12已知椭圆C ：2 +厶r = l@>b>0). A 、B 是其长轴的两个端点. cr Ir(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦PP •求证：不论d 、b 如何变化.ZAPB^I20\ (2)如果椭圆上存在一个点e ・使ZA2B = 12O\求C 的离心率€的取值范围.分析：本题从已知条件出发，两问都应从ZAPZ?和ZAQB 的正切值出发做出估计，因 此要从点的坐标、斜率入手-本题的第(2〉问中，其关键是根据什么去列出离心率f 满足，2^ 严一屁将疋=/一4),2代入，消去I 用a 、b 、C 表示厂以便利用y<bx' + y--a-Ir“ 列出不等式.这里要求思路晴楚，讣算准确，一气呵成.解：("设 F(con A(-G O), B(aO)・b-x-+ a-=aVZ4PB 是AP 到BP 的角.7> C"tanZAPB<—2故 tan ZAPB H -的不等式，只能是椭圆的固有性质：y<b ・根据008 =120°得到于是bpa(c + a)-umZAPgMc") "(c +後)=_丝「 /JI + J / 0C"(2)设e(x, y).则匕 0-席7 kQB = X7由于对称性，不妨设y>(b 于是ZAgB 是0A 到QB 的角.r ZAeB=120\整理得 J^X + y2-/)+2© = 0/. V? I - >'■ + 2ay = 0b 丿2ab-•••力+4屁2—4/>0, 3?+4£2-4>O •心I 或亠2-4-<1-典型例题十三分析：分两种情况进行讨论.解.当椭圆的焦点在兀轴上时，/=k+8, /,=9,得d-1.由€ =丄.得《 = 4・2当椭圆的焦点在y 轴上时，a-=9, b-=k + 3.得c-=\-k. 由“斗得即"-呀••• UinZAQB= 严=x~ + y~-ar y<h.2ab-2ab < yf3c~, Verier -c-)<3c例13已知椭圆 去+壬“的离心率二*的值.•••满足条件的« = 4或k = --.4说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不企，所以椭 圆的焦点可能在X 轴上，也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四x~ V"例14已知椭圆 —+ ^ = 1上一点P 到右焦点几的距离为b求P 到左准线4/?" b- " 的距离.分析^利用椭圆的两个;^义，或利用第二世义和椭圆两准线的距离求解.解法「由召嶋"得—=皿"¥由椭圆定义• P 片+ P 血=2a = 4〃•得= 4h —b = 3b ・即P 到左准线的距离为2羽b ・=込.3又椭圆两准线的距离为2$ 攀儿 "到左准线的距离为攀-琴“2亦说明：运用椭圆的第二＞1^义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生渓解• 椭圆有两个立义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如.一般地, 如遇到动点到两个泄点的问题，用椭圆第一窪义：如果遇到动点到圧直线的距离问题•则用由椭圆第二圧义，PF\=0, 4为P 到左准线的距离,PF\= 2®,解法二：•••一;"«2e /3〃曲P 到右准线的距离，-rT典型例题十五x = 4cosa,”厂 （a 为参数）上一点P 与X 轴正向所成角ZPOx=— r 求y = 2v3sina ・ 3P 点坐标•分析：利用参数a 与ZPOxZ 间的关系求解.解：设P （4cos<z , 2-73 sin a ）,由P 与x 轴正向所成角为一,:、tan 兰=2屈ma ,即 tana = 2.3 4 cos <7而sina>0, cosa>0.由此得到cosa =— , sina = 2^^5^5「•p 点坐标为（婕，士叵）.^5典型例题十六例16设P （心」b ）是离心率为f 的椭圆.+与=1 （«>/?>0）±的一点，P 到左焦 <r h- 点斤和右焦点尸2的距离分別为斤和求证：Z| = « +» A="-初0・分析：本题考査椭圆的两个崔义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化 为点到相应准线距离•椭圆的第二定义.例15设椭圆<aP0=« + 0Xo，由椭岡第一立义，Q =2" — 斤=«-t*X0.说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问 题时，有着广泛的应用.请写出椭鬪焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17已知椭圆―+ ^ = 1内有一点A （l 、l ）,片、&分别是椭圆的左、右焦点，点95P 是椭圆上一点.{1）求|网+『用的最大值、最小值及对应的点P 坐标:{2）求|PX| + -|P/s|的最小值及对应的点P 的坐标.分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当, 即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解 决：若抓住椭圆的运义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解•P 斤 A P 片 + PF? - AE =2d-A 巧=6-72 ,等号仅当 PA|= PE^-AF,时成立，此时P 、A 、几共线.■由|PA|Sp 可+ |4引…••|PA| + |P 用<|P 斤| + |P 佗| + |A 可= 2a+|A 佗 1 = 6 +75,等号仅当PA = PE+AE 时成立，此时P 、A.人共线•由椭圆第二圧义,PF\ PQ解:⑴如上图，2a = 6 . 7^(24),A 片=近，设P 是椭圆上任一点，由■P 斤 +P 巧=2a = 6PA > PF ； - AF QPA +■ ■ ■建立A 、耳的宜线方程x+y-2 = o ・解方程组。
