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第13章不等式【专题要点】（1）不等关系与不等式的性质是不等式的理论基础，是证明不等式和求解不等式的主要依据，也是高考的重要内容，在高考中一般不单独命题，而是以其他知识（如函数、集合、充要条件等）为载体进行考查，主要体现它的基础性和工具性。
若直接考查，则常以选择题和填空题形式出现(2)不等式的解法①要理解“三个二次”之间的关系，熟练掌握一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法，这是解其它不等式的基础。
会解含参数的一元二次不等式②会解绝对值不等式,能将分式不等式转化为整式不等式（组）求解。
(3)简单的线性规划能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。
理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。
能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。
(4)均值定理理解均值不等式的概念，掌握均值不等式的证明过程。
能够利用均值不等式求函数的最值问题。
能利用均值不等式解答实际问题。
(5)不等式的综合应用能够运用不等式的性质、定理，不等式的解法及不等式的证明有关的数学问题和实际问题。
【考纲要求】(1)了解日常生活中的不等关系，了解不等式的有关概念及其分类；(2)掌握不等式的性质及其应用；明确各个性质中结论成立的前提条件。
(3)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
(4)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。
(5)掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用。
(6)掌握用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式。
【知识纵横】【教法指引】1.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；在复习复习时应高度重视，对每一条性质，要弄清楚条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记住了不等式运算法则的结论形式，还要掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力,在解不等式时,可结合函数的定义域,值域和单调性.2.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用X围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高,利用均值不等式解决问题的关键是要注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”.3.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。
高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。
2. 掌握不等式的解法和解集表示法。
3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。
2. 能够利用不等式解决实际问题。
教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。
2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。
二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。
2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。
2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。
四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。
五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。
2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。
教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。
2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
3. 特性：加减法、乘除法性质。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。
下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。
《§基本不等式》的教学设计一、教材解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等关系与不等式”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。
在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
二、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，但是在利用基本不等式求最值方面暴露对“一正”，“二定”，“三相等”不理解。
三、教学目标知识目标： 1探索并了解基本不等式的证明过程；2了解基本不等式的代数及几何意义；3会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题能力目标： 1通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2通过了解基本不等式的证明，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
情感目标： 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、合作探究、严谨论证的良好的学习习惯和勇于探索精神重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并掌握基本不等式的证明过程； 2a b ab +求最值 四、教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的AD C H F GE 自主探究与合作交流为前提，通过设置的不同问题，引导学生层层递进，逐步加深对基本不等式的理解。
在探究的过程中为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力五、教学过程：（一）创设情境、体会感知：第24届国际数学家大会于2021年8月在北京举行，大会会标看上去像一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。
3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
高 三 数 学（第14讲）一、本讲进度《不等式》复习 二、本讲主要内容 1、不等式的概念及性质； 2、不等式的证明； 3、不等式的解法； 4、不等式的应用。
三、学习指导1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有： （1）对称性或反身性：a>b ⇔b<a ； （2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；（3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； （4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （4）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；（5）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
掌握不等式的性质，应注意：（1）条件与结论间的对应关系，如是“⇒”符号还是“⇔”符号； （2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。
2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.在具体条件下选择适当的形式。
3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； （2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4、 不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
不等关系与不等式（第一课时）【学习目标】：1、了解不等式的概念；2、掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系；3、学会比较两个代数式的大小4、掌握不等式的基本性质【学习重点】：实数的大小比较的基本方法：作差法不等式性质的应用【学习难点】：作差后代数式的变形不等式性质的灵活使用【学习过程】：教学过程师生活动设计意图一、创设情境，引入课题这个图标是在我国人民法院的标志，其中这里有一个像天平的标志，就说明法律面前人人平等，但是由于一些人在天平的两侧多添加了一些东西，造成了不平衡，产生了不平等关系，实际上在我们的生活中也存在着很多不等的关系，那我们在数学中如何表示呢？由实际生活引入基础题1、设R b a ∈,，若0>-b a ，则下列不等式中正确的是（ ）A 0>-a bB 033<+b aC 0>+a bD 022<-b a2、已知y x y x M 2422+-+=，5-=N ，若2≠x 或1≠y ，则（ ）>N <N =N D 不能确定3、若0<<b a ，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．b a 11> B ab a 11>- C b a > D 22b a > 4、已知三个不等式：0,0,0>->->bda c ad bc ab （其中a,b,c,d,均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 （ ）5、已知c b a >>，且0=++c b a ，则下列不等式恒成立的是（ ）A 222c b a >> B b c b a > C bc ac > D ac ab >6、若0,0,0<<<>>e d c b a ，求证：22)()(d b ec a e ->-能力提升： 1、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0,2,0πβπα，则32βα-的取值范围是（ ）A ⎪⎭⎫ ⎝⎛π65,0B ⎪⎭⎫⎝⎛-ππ65,6 C ()π,0 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ,6 2、下列不等式中，正确的有（ ）①若cc b a 22⋅>⋅，则b a > ②若0,>>c b a ，则c b c a lg lg > ③c b c a >，则b a >个 个 个 个 3、已知c b a >>，则ac c b b a -+-+-111的值（ ） A 为正数 B 为非正数 C 为非负数 D 不确定4、若规定bc ad d c b a -=，则a b b a -与bb aa -的大小 5、已知a ，b 为正实数，试比较ab ba +与b a +的大小6、已知,221<+<-b a 43<-<b a ，求b a +5的取值范围。
（新课标）高中数学第三章不等式（一）教学设计新人教A版必修5从容说课通过投影仪展示实际情景，让学生感受现实世界中存在的大量不等关系，理性成立不等观念.温习本章所研究的三种不等式模型：一元二次不等式、二元一次不等式组、大体不等式2ba ab +≤，回忆不等式的大体性质，一元二次不等式及其解法中的一些大体概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.肯定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探讨精神和严肃认真的科学态度.利用几何背景分析大体不等式2ba ab +≤的应用条件，一正、二定、三等.回忆从三种角度对大体不等式的证明及对大体不等式展开的一些简单应用，用数形结合的思想理解大体不等式.本节课对具体例题的分析和求解进程中，设置思考项，让学生探讨，层层铺设，以便让学生深刻理解不等式的大体性质，一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，进一步深刻理解利用大体不等式证明一些简单不等式的方式与思路，巩固强化大体不等式2ba ab +≤的应用.以便更好地培育学生学习数学的兴趣与解决问题的能力.通过类比、直觉、发散等探索性思维的培育，激发学生学习数学的兴趣，进一步培育学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神.就学生的学习状况，知识结构与能力水平而言，抽象的推理、归纳是难点，而以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各类思想方式的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养是高中教学的一项长期任务.按照本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探讨、引导学生踊跃参与，进行启发、探讨式教学并利用投影仪辅助.教学重点1.经历实际情景，温习本章所研究的三种不等式模型，一元二次不等式、二元一次不等式组、大体不等式；2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；3.进行一些简单不等式的证明.教学难点1.证明一些简单的不等式；2.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系并能够灵活应用.教具准备实物投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技术1.通过实际情景，温习本章所研究的三种不等式模型，一元二次不等式、二元一次不等式组、大体不等式2ba ab +≤；2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；3.进行一些简单不等式的证明.二、进程与方式1.采用探讨法，依照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方式进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索进程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去踊跃思考，从而培育他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培育学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习进程中，通过对问题的探讨思考，普遍参与，培育学生严谨的思维习惯，主动、踊跃的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探讨精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简练美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的世界观.教学进程导入新课师前面咱们已经系统地研究了第三章不等式的内容.从本节课开始，咱们的将对第三章不等式所研究的知识与思想方式进行回忆和温习，并展开一些应用.(此时，老师用投影仪给出同窗们已研究过的一个具体问题)二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：x-1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6师请同窗们由图说出函数值y与自变量x的对应关系.生当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0；当x＜0或x＞5时，y＞0，即x 2-5x＞0.师结合此实例，请同窗们描述一下二次函数、一元二次方程与一元二次不等式有什么关系呢？生抛物线y=x2-x-6与x轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x 2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5},一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.［教师精讲］师由一元二次不等式的一般形式，知任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c ＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式.一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以肯定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.师如何讨论一元二次不等式的解集呢？(此时，老师用投影仪给出下列草图)生对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4a c，它的解依照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如上图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集咱们也分这三种情况进行讨论.师 这位同窗回答得超级好.下面请你具体得描述一下.生 (1)若Δ＞0，此时抛物线y =ax 2+bx +c(a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax2+bx +c=0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式ax 2+bx +c ＞0（a ＞0）的解集是{x |x ＜x 1或x ＞x 2}；不等式ax 2+bx +c ＜0（a ＞0）的解集是{x |x 1＜x ＜x 2}. (2)若Δ=0，此时抛物线y =ax 2+bx +c(a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图(2)〕，即方程ax2+bx +c=0(a ＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=-ab 2,则不等式ax 2+bx +c ＞0（a ＞0）的解集是{x |x ≠-ab 2}；不等式ax 2+bx +c ＜0（a ＞0）的解集是. (3)若Δ＜0，此时抛物线y =ax 2+bx +c(a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax 2+bx +c=0(a ＞0)无实根，则不等式ax 2+bx +c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式ax 2+bx +c ＜0（a ＞0）的解集是.(此时，老师用投影仪给出下列草图，并让学生填空)Δ=b 2-4a c Δ＞0 Δ=0 Δ＜0二次函数y =ax 2+bx +c(a ＞0)的图象ax 2+bx +c=0的根x 1,2=ab 2∆±-ab x x 221-== ∅ax 2+bx +c ＞0的解集 ax 2+bx +c ＜0的解集师 对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，咱们又如何求解呢？生 对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. 师 咱们还可以归纳出解一元二次不等式的程序.归纳如下：（此时，老师用投影仪给出，让学生回忆）（１）将二次项系数化为“+”：A =ax 2+bx +c ＞0(或＜0)(a ＞0). （２）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况： ①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，⎩⎨⎧.,0;,02121x x x A x x x x A ＜＜则＜若＞或＜则＞若②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，⎪⎩⎪⎨⎧==∅∈≠.,0;,0;,000x x A x A x x A 则若则＜若的一切实数则＞若③Δ＜0时，方程无解，⎩⎨⎧∅∈≤∈.0,;,0x A R x A 则若则＞若.（３）写出解集.用一个程序框图把求解一元二次不等式的进程表示出来. (学生自己完成)师 同窗们对前面所研究的内容掌握得超级好.下面咱们就来看几个具体应用 (此时，老师用投影仪给出下列例题) ［合作探讨］【例1】已知集合A ={x ｜x 2+2x -8＜0},B =｛x ｜｜ x +2｜＞3｝,C=｛x ｜x 2-2m x +m 2-1＜0,m∈R｝.若（1）A ∩C=,(2)A ∩B C,别离求出m 的取值范围. （让两位同窗上黑板板演，教师作点评）解：(１)∵A ={x |－4＜x ＜2}，B ={x |x ＞1或x ＜－5}，C={x |m －1＜x ＜m ＋1}， 欲使A ∩C=，只需m-1≥2或m+1≤-4. ∴m≥3或m≤－5.(2)欲使A ∩B C,∵A ∩B ={x ｜1＜x ＜2}， 只需⎩⎨⎧≥+≤-,21,11m m 即⎩⎨⎧≥≤,1,2m m 即1≤m≤2.师 这两位同窗完成得很好.请同窗继续思考下面的例2. ［例题剖析］师 此例中不等式是一元二次不等式吗？生 不是一元二次不等式，应转化为一元二次不等式来考虑. （让两位同窗上黑板板演，教师作作评）【例2】 不等式1-x ax＜1的解集为｛x ｜x ＜1或x ＞2｝,求a . 解法一：将,011)1(11＜化为＜-+--x x a x ax 即［（a -1）x +1］(x -1)＜0, 由已知，解集为{x |x ＜1或x ＞2}可知a －1＜0， ∴ [(1－a )x －1](x －1)＞0.∴(1-a )x -1＜0,x ＞11-a ,于是有211=-a .解得21=a . 解法二：原不等式转化为 [(a －1)x ＋1](x －1)＜0, 即（a -1）x 2+(2-a )x +1＞0.依题意,方程（1-a ）x 2+(a -2)x +1=0的两根为1和2,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-.312,211a a a解得21=a .师 这两位同窗完成得超级好.请下面的同窗仔细观察这两位同窗的解法，和自己的解法作比较，可以彼此交流.（留三分钟的时间让学生合作交流）师 前面咱们还利用实际背景分析得出大体不等式2ba ab +≤,对它的应用咱们要注意些什么？如何应用？生 应历时要注意“一正、二定、三等”，对它的应用要注意创设和它类似的结构特征. 师 回答得超级好，都能说出应用的要点.下面咱们就来看几个以不等式的大体性质及大体不等式2ba ab +≤为基础的证明问题. (此时，老师用投影仪给出下列例题)【例3】已知a ,b ,c,d∈R,求证:a c+b d≤))(2222d c b a ++（. ［方式引导］师 请同窗们思考，要证明的不等式是不是能用大体不等式来证明？生 可以.(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=(a 2c 2+2ab cd+b 2d 2)+(b 2c 2-2ab cd+a 2d 2) =(a c+b d) 2+(b c-a d)2≥(a c+b d)2.∴))(2222d c b a ++（≥|a c+b d|≥a c+b d.故命题得证.师 这位同窗回答得很好.证明进程很详细.同窗们是不是还有其他的证明思路？ 生 可以由条件到结论来证明.对两边平方. 师 能直接平方吗？生 由不等式的性质知，需要讨论.(1)当a c+b d≤0时,显然成立.(2)当a c+b d ＞0时,欲证原不等式成立,只需证(a c+b d)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)，即证a 2c 2+2ab c d +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2， 即证2ab cd≤b 2c 2+a 2d 2，即证0≤(b c-a d)2.因为a ,b ,c,d∈R,所以上式恒成立.综合(1)(2)可知原不等式成立.师 这位同窗回答得很好.证明进程也很详细.同窗们是不是还有其他的证明思路？ 生可以用作差的思路证明.∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(a c+b d)2=(b c-a d)2≥0,∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(a c+b d)2.∴))(2222d c b a ++（≥|a c+b d|≥a c+b d,即a c+b d≤))(2222d c b a ++（.师 同窗们用三种方式证明此不等式，这说明同窗们对不等式的证明掌握得很好，思维很灵活.希望同窗们在课后研究问题时也要注意一题多解，一题多思，这样能够训练思维的深度和广度.课堂小结师 本节课咱们温习了哪些知识、方式？同窗们用这些知识、方式解决了什么问题？通过本节课的温习，同窗们又有什么收获呢？生 咱们通过本节课的温习，对本章三种不等式模型：一元二次不等式、二元一次不等式组、大体不等式2ba ab +≤有了更深刻的熟悉，而且以不等式的大体性质为基础，能熟练地解一元二次不等式.对给定的一元二次不等式，能够尝试设计求解的程序框图.能够进行一些简单不等式的证明.师 同窗们总结得很好.通过本节课的温习，咱们还应当掌握证明一些简单的不等式的大体思路.应深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系而且能够灵活应用.同时去体会数形结合思想对解题的指导作用.布置作业讲义第116页温习参考题，Ａ组二、3,Ｂ组４.板书设计 本章复习（一）一元二次不等式： 题组二元一次不等式组： 例 方法归纳 基本不等式： 方法引导 小结2ba ab +≤. 实例剖析（知识方法应用）示范解题 习题详解一、备用公式、定理 1.重要不等式：若是a ,b ∈R,那么a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”). 2.定理：若是a ,b 是正数，那么2ba +≥ab (当且仅当a =b 时取“=”). 3.公式的等价变形：ab ≤222b a +,ab ≤（2b a +）2.4.baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”. 5.定理：若是a ,b ,c∈R +，那么a 3+b 3+c 3≥3ab c （当且仅当a =b =c 时取“=”）. 6.推论：若是a ,b ,c∈R +，那么33abc c b a ≥++（当且仅当a =b =c 时取“=”）.二、阅读材料初等数学中的不等式证明方式集锦1.配方式把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的. 2.判别式法通过对所证不等式的观察、分析、构造出二次方程，然后利用二次方程的判别式，从而使不等式得证. 3.比较法为了证明A ＞B ，可转化为证明 A -B ＞0或当B ＞0时转化为证明1＞BA. 4.分析法分析要证明的结论的特征，对其进行等价转化，使之与已知条件的联系加倍密切. 5.综合法利用一些现成的结论（比如重要不等式），从已知条件直接入手，慢慢取得要证明的结论. 在实际证明进程中，分析法和综合法常结合利用. 6.放缩法为了证明A ＜B ，可设法证明A ＜C ，且B ＜A .有时也可考虑证明增强命题.7.数学归纳法常常利用来证明与正整数有关的命题. 8.构造法构造适当的图形，使要证的命题比较直观地反映出来. 9.辅助函数法函数是数学中的一个重要内容，它与不等式有密切的联系.通过构造辅助函数，然后利用函数的有关性质去证明该不等式.通常咱们可以利用以下一些函数的性质：（1）函数y =ax 2+bx +c ，若a ＞0，则y ≥0⇔Δ≤0；（2）三角函数的有界性；（3）函数的单调性；（4）函数的凸性；（5）函数的导数. 10.换元法通过添设辅助元素，使原来不等式变成与新的变量有关的不等式.应用换元法，可把字母多化成字母少，可把紊乱的不等式化成简单的、层次清楚的不等式. 常常利用的换元方式有三角换元和均值换元. （1）三角换元x 2+y 2=r 2(r ＞0)⇔⎩⎨⎧==ααsin ,cos r y r x (0≤α＜2π);x 2+y 2≤a 2⇔⎩⎨⎧==ααsin ,cos r y r x (0≤α＜２π,0≤r≤｜a ｜);x 2-y 2=r 2(r ＞0)⇔⎩⎨⎧==ααtan ,sec r y r x (0≤α＜2π).（2）均值换元x +y =a ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=;2,2εεa y a x x +y +z=a ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=r a z a y a x 3,3,3βα (α+β+γ=0).另外，在证明的进程中还常常利用整体换元，即用一个变量代替一个整式. 11.慢慢伐整法在证明不等式的进程中，对某一个函数式的某些变元进行调整（变大或变小），观察函数值的转变，从中发现函数式的最值.。
要证②，只要证2√ab−a−b≤0. ③要证③，只要证−(√a−√b)2≤0 ④要证④，只要证(√a−√b)2≥0 ⑤显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.我们可以看到，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.追问（1）：请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么？教师引导由②⟹①，由③⟹②,由④⟹③，由⑤⟹④的依据.教师总结：②⟹①（根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向）③⟹②（根据不等式性质，两边同时加上正数（a+b），所得不等式与原不等式同向）④⟹③（运用完全平方差公式打开计算）⑤⟹④（根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向）显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.追问（2）：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.追问（3）:根据我们的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……”“只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然……成立。
下面我们一起来看问题3.5分钟几何解释同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢?下面我们一起来探究一下?问题3：在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD.你能在这个图形中尝试找出2a b和ab所对应的是哪条线段吗?进而得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：教师引导学生思考后回答，可证∆ACD∼∆DCB,因而CD=√ab。
高中数学 《不等式》教案（高考回归课本系列）新人教A 版不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd;（7）a>b>0, n∈N +⇒a n>b n; （8）a>b>0, n∈N +⇒nn b a >;（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;（12）x, y, z∈R +，则x+y≥2xy , x+y+z .33xyz ≥前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nn b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a≤b，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以nn b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca )=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc，即x+y+z≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
二、方法与例题1．不等式证明的基本方法。
（1）比较法，在证明A>B 或A<B 时利用A-B 与0比较大小，或把BA（A ，B>0）与1比较大小，最后得出结论。
例 1 设a, b, c∈R +，试证：对任意实数x, y, z, 有x 2+y 2+z 2.))()((2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++≥xz b a c yz a c b xy c b a a c c b b a abc 【证明】 左边-右边= x 2+y 2+z 2yz a c b a bcxy a c c b ab ))((2))((2++-++--++++++-+=++-222))((2))((2y ac cy a c a xy a c c b ab x c b b xz c b b a ca=++++-++++++222))((2))((2x cb cxz c b b a ca z b a a z b a b yz a c b a bc.0222≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x c b c z b a a z b a b y a c c y a c a x c b b 所以左边≥右边，不等式成立。
例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|. 【解】 因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
例3 已知a, b, c∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab -【证明】 要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+， 因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+，所以原不等式成立。
例4 已知实数a, b, c 满足0<a≤b≤c≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤- 【证明】 因为0<a≤b≤c≤21，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)， 所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-，所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-，所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-，也就是证)1)(1()1)(1(b a b ba b a a b a ---≤---，只需证b(a-b) ≤a(a -b)，即(a-b)2≥0，显然成立。
所以命题成立。
（3）数学归纳法。
例5 对任意正整数n(≥3)，求证：n n+1>(n+1)n.【证明】 1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。
2）设n=k 时有k k+1>(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即12)2()1(++++k k k k >1. 因为1)1(1>++k k k k ，所以只需证12)2()1(++++k k k k kk k k )1(1+>+，即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k 2+2k+1>k 2+2k. 显然成立。
所以由数学归纳法，命题成立。
（4）反证法。
例6 设实数a 0, a 1,…,a n 满足a 0=a n =0，且a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0，求证a k ≤0(k=1, 2,…, n -1).【证明】 假设a k (k=1, 2,…,n -1) 中至少有一个正数，不妨设a r 是a 1, a 2,…, a n-1中第一个出现的正数，则a 1≤0, a 2≤0,…, a r-1≤0, a r >0. 于是a r -a r-1>0，依题设a k+1-a k ≥a k -a k-1(k=1, 2, …, n -1)。
所以从k=r 起有a n -a k-1≥a n-1-a n-2 ≥…≥a r -a r-1>0.因为a n ≥a k-1≥…≥a r+1≥a r >0与a n =0矛盾。
故命题获证。
（5）分类讨论法。
例7 已知x, y, z∈R +，求证：.0222222≥+-++-++-yx x z x z z y z y y x 【证明】 不妨设x≥y, x≥z. ⅰ）x≥y≥z，则zy z x y x +≤+≤+111，x 2≥y 2≥z 2，由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222，原不等式成立。
ⅱ）x≥z≥y，则zy y x z x +≤+≤+111，x 2≥z 2≥y 2，由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222，原不等式成立。
（6）放缩法，即要证A>B ，可证A>C 1, C 1≥C 2,…,C n-1≥C n , C n >B(n∈N +). 例8 求证：).2(12131211≥<-++++n n n 【证明】12212121414121112131211-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++>-++++n n n n n22121121n n n n >--+=-，得证。
例9 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长，m>0，求证：.mc cm b b m a a +>+++ 【证明】 mb a mm b a b a m b a b m b a a m b b m a a ++-=+++=+++++>+++1 mc cm c m +=+->1（因为a+b>c ），得证。
（7）引入参变量法。
例10 已知x, y∈R +, l, a, b 为待定正数，求f(x, y)=2323yb x a +的最小值。
【解】 设k x y =，则k kly k l x +=+=1,1，f(x,y)==⎪⎪⎭⎫⎝⎛++23322)1(k b a l k 22333233333211111l k a k b k b k b k a k a b a l ≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅+⋅++++ (a 3+b 3+3a 2b+3ab 2)= 23)(l b a +，等号当且仅当y bx a =时成立。
所以f(x, y)min =.)(23lb a + 例11 设x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1，求证：(x 1+x 2+x 3+x 4)2≤4x 1x 2x 3x 4. 【证明】 设x 1=k(x 2+x 3+x 4)，依题设有31≤k≤1, x 3x 4≥4，原不等式等价于(1+k)2(x 2+x 3+x 4)2≤4kx 2x 3x 4(x 2+x 3+x 4)，即k k 4)1(2+(x 2+x 3+x 4) ≤x 2x 3x 4，因为f(k)=k+k 1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31上递减， 所以k k 4)1(2+(x 2+x 3+x 4)=)21(41++kk (x 2+x 3+x 4)≤42313++·3x 2=4x 2≤x 2x 3x 4. 所以原不等式成立。
（8）局部不等式。
