2014高考数学一轮复习5.2等差数列课件(精)

(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝
30，则S30＝________．
(2)(2013·广州质检 ) 已知等差数列 {an} 的公差为 2 ，项数 是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这 个数列的项数为( A．10 ) B．20 C．30 D．40
【思路点拨】 (1)由S2＝ a3求{an}的公差 d，进而代入求 a2与Sn；
(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根据方程Sk＝
－35，求k值．
(1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3， 1 ∴d＝a3－a2＝a1＝ ， 2 n2 n 因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝ ＋ . 4 4 n2 n 【答案】 1 ＋ 4 4 (2)① 设等差数列{an}的公差为 d，由a1＝ 1， a3＝－3， 得 1＋ 2d＝－3，∴d＝－ 2. 从而 an＝ 1＋ (n－ 1)× (－ 2)＝ 3－ 2n. n[1＋（ 3－ 2n）] ②由① 知 an＝ 3－ 2n，∴ Sn＝ ＝ 2n－ n2， 2 由 Sk＝－ 35得 2k－k2＝－35，即 k2－ 2k－ 35＝ 0， 解得 k＝ 7或k＝－ 5， 又 k∈ N*，故k＝ 7.
(2012·山东高考)已知等差数列{an}的前5项和为105，且
a10＝2a5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记 为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.
【解】 (1)设数列 {an}的公差为 d，前 n项和为 Tn， 由 T5＝ 105， a10＝ 2a5， 5×（ 5－1） 5a1＋ d＝105， 2 得 a1＋ 9d＝ 2（ a1＋ 4d）， 解得 a1＝ 7， d＝ 7. 因此 an＝ a1＋ (n－ 1)d＝ 7＋ 7(n－1)＝ 7n(n∈N*)． － (2)对 m∈ N*，若 an＝ 7n≤ 72m，则n≤ 72m 1. 因此 bm＝ 72m－1. 所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列， b1（1－ qm） 7×（ 1－ 49m） 72m＋ 1－ 7 故 Sm＝ ＝ ＝ . 48 1－ q 1－ 49
列的判定．
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2Sn·Sn－1＝ 1 0(n≥2)，a1＝ . 2 1 (1)求证：{ }是等差数列； Sn (2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明 ∵ an＝ Sn－Sn－1(n≥2)， 且 an＝－ 2Sn· Sn－1， 1 ∴ Sn－1－ Sn＝ 2Sn· Sn－ 1，Sn≠ 0，∴ － Sn 2(n≥ 2)． 1 1 又 ＝ ＝2， S1 a1
1．(人教A版教材习题改编)设{an}为等差数列，公差d＝ －2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝( A．18 B．20 C．22 ) D．24
【解析】 由S10＝S11 10×9 11×10 得10a1＋ ×(－2)＝11a1＋ ×(－2) 2 2 解得a1＝20.
【答案】 B
2．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，a4＋a8＝16，则 a2＋a10＝( A．12 ) B．16 C．20 D．24
13 7 67 解之得 a1＝ ， d＝ ，故 a5＝ a1＋4d＝ . 22 66 66
【答案】
67 66
3 1 已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ (n≥2，n∈N*)， 5 an－1 1 数列{bn}满足 bn＝ (n∈N*)． an－1 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)(2012· 北京高考)已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 1 项和．若 a1＝ ，S2＝a3，则 a2＝________，Sn＝________． 2 (2)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. ①求数列{an}的通项公式； ②若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
【解析】
(1)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，
∴S30－30＝10＋2×10＝30，
∴S30＝60. (2) 设这个数列有 2n 项，则由等差数列的性质可知： 25 －15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10. 【答案】 (1)60 (2)A
【解析】
【答案】
∵{an}是等差数列，∴a2＋a10＝a4＋a8＝16.
B
3 ．等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 am － 1 ＋ am ＋ 1 － a ＝ 0，S2m－1＝38，则m＝________．
【解析】 ∵am－1＋am＋1＝2am， ∴2am－a2 m＝ 0，则 am＝ 2， am＝ 0(舍)， （2m－1）（a1＋a2m－1） 又S2m－1＝ ＝(2m－1)am＝2(2m 2 －1)＝38.解之得m＝10.
(1)(2012· 辽宁高考 ) 在等差数列 {an} 中，已知 a4 ＋ a8
＝16，则该数列前11项和S11＝(
A．58 B．88
)
D．176
C．143
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36， 最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 88.
a＋b 1． A＝ 是 a， A， b 成等差数列的什么条件？ 2 a＋b 【提示】 充要条件．若A＝ ⇔2A＝a＋b⇔A－a 2 ＝b－A⇔a，A，b成等差数列．
2．三个数成等差数列且知其和时，一般设为a－d，a，
a＋d，四个数成等差数列且知其和时，怎样设好呢？
【提示】 可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
2．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，
ap＋aq ＝____ 2ak ． 则am＋an＝________ (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，„仍是等差数列，公差为 ___ kd ． (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„，也是等差数列． (4)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an， S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．
【尝试解答】
1．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用． 2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代
换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已
知和未知是常用方法，称为基本量法． 3．等差数列的通项公式形如an＝ an＋ b(a， b为常数)， 前 n 项和公式形如 Sn ＝ An2 ＋ Bn(A ， B 为常数 ) ，结合函数性 质研究等差数列常常可以事半功倍．
求等差数列前n项和的最值常用的方法
an≥ 0 an≤ 0 (1)先求an，再利用 或 求出其正负转折 an＋1≤ 0 an＋1≥ 0
项，最后利用单调性确定最值． (2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的 最值．②利用等差数列的前n项和Sn＝ An2＋ Bn(A，B为常数) 为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
【尝试解答】 1 bn＝ ， an－1
(1)∵an＝2－
1
an－1
(n≥2，n∈N*)，
1 1 ∴ bn ＋ 1 － bn ＝ － ＝ an＋1－1 an－1 1 an－1 an 1 ＝ － ＝1. an－1 an－1
1 － 1 （2－ ）－1 an
1 5 又 b1 ＝ ＝－ . 2 a1 － 1 5 ∴数列{bn}是以－ 为首项，以 1 为公差的等差数列． 2 7 1 2 (2)由(1)知 bn＝n－ ，则 an＝1＋ ＝1＋ . 2 bn 2n－7 2 7 7 设 f(x)＝1＋ ，则 f(x)在区间(－∞， )和( ，＋∞) 2 2 2x－7 上为减函数． ∴当 n＝3 时，an 取得最小值－1，当 n＝4 时，an 取得最 大值 3.
第 (2) 小题，通过 {bn} 是等差数列，求得 {an} 的通项，然 后利用函数的单调性求数列的最大(小)项． 2．证明数列{an}为等差数列有两种方法： (1)证明an＋1－an＝d(常数)． (2)证明2an＝an＋1＋an－1(n≥2)． 对于通项公式和前 n项和公式在客观题中常用于等差数
5 5 65 ∴ an＝20＋(n－1)× (－ )＝－ n＋ . 3 3 3 令 an≥0得n≤ 13， 即当 n≤ 12时， an＞ 0； n≥ 14时，an＜ 0. ∴当 n＝ 12或 13时，Sn取得最大值，且最大值为 12× 11 5 S12＝S13＝12×20＋ ×(－ )＝130. 2 3 5 法二 同法一得d＝－ . 3 又由 S10＝ S15，得a11＋a12＋ a13＋a14＋ a15＝ 0. ∴ 5a13＝ 0，即a13＝ 0. ∴当 n＝ 12或 13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
11（ a1＋ a11） 11（ a4＋ a8） (1)S11＝ ＝ ＝ 2 2
(2)由题意知 a1＋ a2＋„＋a6＝36， ① an＋ an－ 1＋ an－ 2＋„＋ an－5＝ 180， ② ①＋② 得 (a1＋ an)＋ (a2＋an－ 1)＋„ ＋(a6＋ an－ 5)＝ 6(a1＋ an)＝ 216， ∴ a1＋ an＝ 36， n（ a1＋ an） 又 Sn＝ ＝ 324，∴18n＝ 324，∴ n＝ 18. 2 ∴ a1＋ a18＝ 36，从而a9＋a10＝ a1＋ a18＝ 36.
在等差数列 {an} 中，已知 a1 ＝ 20 ，前 n 项和为 Sn ，且
S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大
值． 【思路点拨】 由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得
通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用等差数列的 性质，判断出数列从第几项开始变号．