《步步高_学案导学设计》2013-2014学年_高中数学北师大版必修二【配套备课资源】两条直线的交点

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1.4
2．直线 l1：( 2－1)x＋y＝2 与直线 l2：x＋( 2＋1)y＝3 的位 置关系是
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( A ) B．相交 C．垂直 D．重合
Hale Waihona Puke A．平行解析2－1 1 2 由于 ＝ ≠ ，所以 l1∥l2. 1 2＋1 3
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1 2 综上所述：a 的值为 2，垂足坐标为2，－3；或 9 2 垂足坐标为－17，17.
a 的值为－3，
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1.4
1．与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程为 Ax＋By＋D＝ 0(D≠C) ． 与 y ＝ kx ＋ b 平 行 的 直 线 系 方 程 为 y ＝ kx ＋
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m(m≠b)． 2．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线 l1：A1x＋B1y＋ C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程是 A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含 l2；一般 形式是 m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)， 是过 l1 与 l2 交点的所有直线方程.
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探究点一 问题 1 直线的交点与方程组的解的关系
1.4
在平面直角坐标系中，画出直线 l1：x＋y＝2，l2：x－y
＝0 的图形，你能说出这两条直线有怎样的位置关系吗？
答 如右图所示，两条直线相交．
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问题 2
从画出的图形中，你能观察出两条直线的交点坐标是什
∴l1：－5x＋3y－3＝0，l2：－3x－5y－1＝0. 9 x＝－ 5x－3y＋3＝0 17 由 ，解得 3x＋5y＋1＝0 y＝ 2 17
.
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1.4
∴l1 与
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9 2 l2 的垂足坐标为－17，17.
一组 无数组 无解
一个 无数个 零个 相交 重合 平行
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例 1 求下列两条直线的交点： l1：x＋2y＋1＝0，l2：－x＋2y＋2＝0.
解
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x＋2y＋1＝0， 解方程组 －x＋2y＋2＝0.
1.4
1 x＝2， 得 y＝－3. 4
相交，那么过两直线的交点的直线(不含 l2)方程可设为 A1x＋ B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)．
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1.4
跟踪训练 3 求经过两直线 3x＋4y－2＝0 与 2x＋y＋2＝0 的 交点且垂直于 5x＋2y－1＝0 的直线方程．
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么吗？ 答 交点坐标是 P(1,1)．
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1.4
问题 3 怎样准确求出问题 1 中的两条直线的交点坐标？
答
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设 l1 与 l2 的交点为 P(x，y)，由于点 P 既在 l1 上，又在 l2
上，应该同时满足这两个方程，其坐标是这两个方程的解． x＋y＝2， x＝1. 联立两个方程 解得 x－y＝0 y＝1. 它对应的就是平面上的点 P(1,1)．
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解
解由
x＝ －1 ， 2＋k 得 3＋k y＝2＋k， －1 3＋k 所以，l1 与 l2 的交点是 P( ， )． 2＋k 2＋k 又因为 l1，l2，l3 交于一点，即 P 点坐标满足直线 l3 的方程， －1 3＋k －(k＋1) －5＝0， 2＋k 2＋k
三角形． ①由(1)得，当 m＝2 时，三线共点，不能构成三角形， 1 ②当 l1∥l2 时，m＝－2，当 l1∥l3 时，m＝2，此时它们不能
构成三角形.
1 综上所述：当 m≠± 且 m≠ 时，三条直线能构成三角形． 2 2
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x－y－1＝0 的交点，求直线 l 的方程． 2x＋3y＋8＝0 解 方法一 由两直线方程组成方程组 ，解 x－y－1＝0
方程组得交点(－1，－2)，
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1.4
例 3 直线 l 经过原点，且经过另外两条直线 2x＋3y＋8＝0，
设经过原点的直线方程为 y＝kx，将(－1，－2)代入方程，得 k＝2，所求方程为 y＝2x. 方法二 设经过两条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0 交点的 直线方程为 2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，又过原点，由(0,0) 代入该直线方程，得 8－λ＝0，即 λ＝8，因此所求的直线方 程为 10x－5y＝0，即 y＝2x. 小结 已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0
因此，①和②可以化成同一个方程， 即①和②表示同一条直线，l1 与 l2 重合．
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探究点二 例 2 直线交点的应用
1.4
设三条直线 l1：x＋y－1＝0，l2：kx－2y＋3＝0，l3：
x＋y－1＝0， l1，l2 的方程组成的方程组 kx－2y＋3＝0，
x－(k＋1)y－5＝0.若这三条直线交于一点，求 k 的值．
1.4
1．已知直线 l1：3x＋4y－5＝0 与 l2：3x＋5y－6＝0 相交，则它们
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的交点是 1 A．(－1， ) 3 1 C．(1， ) 3
解析
( B ) 1 B．( ，1) 3
1 D．(－1，－ ) 3 1 3x＋4y－5＝0， x＝ ， 由 得 3 3x＋5y－6＝0. y＝1.
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问题 5
1.4
设两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0.那么方程组的解的情况和两直线的相交、 重合、平行有怎样的关系？
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答
它们的关系如下表所示： A x＋B y＋C ＝0 1 1 1 方程组 A2x＋B2y＋C2＝0 的解 两条直线 l1，l2 的公共点 直线 l1，l2 的位置关系
解得 k＝－7 或－2(舍去)．所以 k＝－7.
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1.4
小结
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本题的解题思路是选取两条直线对应的方程组成方程
组，求出交点坐标，因三直线交于一点，所以两直线的交点一 定在第三条直线上， 从而交点坐标满足第三条直线的方程． 在 选取直线方程组成方程组时，要注意选取的方程容易求出解， 以减少运算量．
1.4
1.4
[学习要求]
两条直线的交点
1．理解两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对
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应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多 组解； 2．当两条直线相交时，会求交点坐标． [学法指导] 通过把两直线交点坐标的问题转化为两直线对应的二 元一次方程组解的问题，加深对解析法的理解及对数形 结合思想的感悟；通过一般形式的直线方程组解的讨 论，提高对分类讨论思想的掌握.
3x－y＋4＝0 (2)解方程组 6x－2y－1＝0
.
① ， ②
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1.4
①×2－②得 9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共 点，l1∥l2.
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3x＋4y－5＝0 (3)解方程组 6x＋8y－10＝0
① ， ②
①×2 得 6x＋8y－10＝0.
1.4
出交点的坐标： (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
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(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
5 x－y＝0 x＝3 解 (1)解方程组 ，得 3x＋3y－10＝0 y＝5 5 5 3 所以，l1 与 l2 相交，交点是 M( ， )． 3 3
1 3 所以，这两条直线的交点是 M(2，－4)． 小结 判定两条直线的位置关系有两种方法：(1)通过解两直
线对应方程组成的方程组， 若方程组有一解两直线相交， 无解 两直线平行，两方程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用 两直线的斜率及截距的关系．
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跟踪训练 1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求
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1.4
问题 4
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为什么说求两条直线的交点， 就是求这两个直线方程
的公共解？ 答 两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标
是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元 一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点， 必是直线 l1 和 l2 的交点．因此求两条直线的交点，就是求这两 个直线方程的公共解．
3x＋4y－2＝0， 由方程组 2x＋y＋2＝0， x＝－2， 解得 y＝2，
解
即两直线的
交点为(－2,2)． 设所求直线为2x－5y＋m＝0，将点(－2,2)坐标代入，得 2×(－2)－5×2＋m＝0，解得m＝14.故所求直线方程为2x－ 5y＋14＝0.
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3．已知直线 l1：(a－2)x＋3y＋a＝0，l2：ax＋(a－2)y－1＝0.
1.4
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当 l1⊥l2 时，求 a 的值及垂足的坐标． 2 1 解 当 a＝2 时，l1：y＝－ ，l2：x＝ .此时，l1⊥l2 且垂足坐标 3 2 1 2 为2，－3， a－2 a 当 a≠2 时，k1＝－ ，k2＝－ . 3 a－2 a 由 l1⊥l2 知：k1·2＝3＝－1，∴a＝－3. k