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二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
二项式定理教学设计教案第一章：导入1.1 教学目标让学生了解二项式定理的背景和意义。
引导学生通过实际例子发现问题，激发学习兴趣。
1.2 教学内容引入二项式定理的概念，解释其在数学中的重要性。
通过具体的例子，如完全平方公式，引导学生观察和总结一般规律。
1.3 教学活动利用多媒体展示完全平方公式的例子，引导学生观察和总结。
组织小组讨论，让学生分享自己的发现和思考。
1.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理的理解程度。
第二章：二项式定理的表述2.1 教学目标让学生掌握二项式定理的表述和公式。
引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.2 教学内容给出二项式定理的表述和公式，解释各项的系数和指数的含义。
通过示例，引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.3 教学活动通过示例和练习，让学生熟悉二项式定理的表述和公式。
引导学生参与推导过程，加深对二项式定理的理解。
2.4 教学评价通过练习和问题解答，评估学生对二项式定理的掌握程度。
第三章：应用二项式定理3.1 教学目标让学生学会运用二项式定理解决实际问题。
引导学生运用二项式定理进行组合计数和概率计算。
3.2 教学内容解释二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
提供实际问题，引导学生运用二项式定理解决问题。
3.3 教学活动通过示例和练习，让学生掌握二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
组织小组讨论，让学生分享自己的解题方法和经验。
3.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理应用的掌握程度。
第四章：拓展与深化4.1 教学目标让学生了解二项式定理的拓展和深化内容。
引导学生思考二项式定理在数学中的广泛应用和意义。
4.2 教学内容介绍二项式定理的拓展内容，如多项式定理和整数定理。
探讨二项式定理在数学中的广泛应用，如组合数学、概率论等领域。
4.3 教学活动通过示例和练习，让学生了解二项式定理的拓展内容。
组织小组讨论，让学生思考二项式定理在数学中的应用和意义。
二项式定理公式在高中数学中，我们学习了许多数学公式和定理，其中一个非常重要且广泛应用的定理就是二项式定理。
二项式定理是代数中的一个基本定理，描述了二项式的展开式，并提供了一个快速计算幂的方法。
通过使用二项式定理，我们可以轻松计算任意非负整数指数的二项式系数。
本文将详细介绍二项式定理及其应用。
一、二项式定理的定义二项式指的是形如(a + b)^n的表达式，其中a和b是实数，n是一个非负整数。
二项式定理提供了(a + b)^n的展开式。
根据二项式定理，展开式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n其中C(n,k)表示n个元素中取出k个元素的组合数，也被称为二项式系数。
组合数的计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)二、二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
这里我们以简化的二项式(a + b)^2为例进行证明。
首先，展开(a + b)^2，我们有：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b去掉括号并简化：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2从这个简化的二项式可以看出，二项式定理在幂为2时成立。
接下来，我们需要使用数学归纳法证明对于任意非负整数n，二项式定理都成立。
假设对于一个非负整数n，二项式定理在幂为n时成立，即：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n我们需要证明在幂为n+1时，二项式定理仍然成立：(a + b)^(n+1) = C(n+1,0)a^(n+1)·b^0 + C(n+1,1)a^n·b^1 +C(n+1,2)a^(n-1)·b^2 + ... + C(n+1,n)a^1·b^n + C(n+1,n+1)a^0·b^(n+1)通过展开(a + b)^(n+1)，我们发现可以将其拆分为两部分：(a + b)^(n+1) = (a + b)·(a + b)^n根据归纳假设，我们知道(a + b)^n可以展开为二项式系数的形式。
第十章 排列、组合、二项式定理二 二项式定理【考点阐述】二项式定理．二项展开式的性质． 【考试要求】（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 【考题分类】（一）选择题（共11题）1．（安徽卷理6文7）设88018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5解：由题知)8,2,1,0(8 ==i C a i i ，逐个验证知18808==C C ，其它为偶数，选A 。
2．（湖北卷文2）31021(2)2x x -的展开式中常数项是（ ） A.210 B.1052 C.14 D.-105解：31010320211010211(2)()2()22r r r r r r r r r T C x C x x ---++=-=-，令32020r r -+=得4r = 所以常数项为4410451011052()22T C -=-=3．（江西卷理8）610(1(1++展开式中的常数项为 （ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246解：D . 常数项为346861061014246C C C C ++=4．（江西卷文8）10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为 （ ）A ．1B ．1210()C C ．120C D ．1020C 解：D 201010101(1)(1)(1)x x x x+++==1020C 5．（全国Ⅰ卷文3）512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．52D ．1222225x x 5x C )=10=x ,C242⨯解析:本题主要考查了利用待定系数法或生成法求二项式中指定项。
∴含项为（∴答案为：6．（全国Ⅱ卷理7）64(1(1的展开式中x 的系数是（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】B【解析】324156141604262406-=-+=-+C C C C C C 【易错提醒】容易漏掉1416C C 项或该项的负号7．（全国Ⅱ卷文9）44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．4【答案】A【解析】41666141404242404-=-+=-+C C C C C C 【易错提醒】容易漏掉1414C C 项或该项的负号8．（山东卷理9）（X -31x）12展开式中的常数项为（ ）（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)220解：4121212331121212((1)(1),r r r rr r r r r r r T C xC x x C x ----+==-⋅=-令41203r -=得9r =993101212121110(1)220.321T C C ⨯⨯=-=-=-=-⨯⨯∴常数项9．（浙江卷理4文6）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。
本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。
故含4x 的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)1-+-+-+-+-=- 10．（重庆卷文10）若(x +12x)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为（ ） (A)6(B)7(C)8(D)9【答案】B【解析】本小题主要考查二项式定理的基础知识。
因为1()2nx x+的展开式中前三项的系数0nC 、112n C 、214n C 成等差数列，所以02114n n n C C C +=，即2980n n -+=，解得：8n =或1n =（舍）。
88218811()()22r r rr r r r T C x C x x --+==。
令824r -=可得，2r =，所以4x 的系数为2281()72C =，故选B 。
11．(四川延考理3文3)41(1)(1)x x++的展开式中含2x 的项的系数为（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）12解：41223344411(1)(1)(1)(1)x C x C x C x x x++=+++++ 展开式中含2x 项的系数为234410C C +=（二）填空题（共12题）1．（北京卷理）若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【标准答案】: 5 10【试题分析】: 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C 25＝10.【高考考点】: 二项式【易错提醒】: 课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误 【备考提示】: 二项式的考题难度相对较小，注意三基训练。
2．（北京卷文12）5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答） 【答案】10 32【解析】2510515531()(),r rr r r r T C x C x x--+⇒==由1050r -=得2,r =故展开式中常数项为2510;C =取1x =即得各项系数之和为5(11)32.+=3．（福建卷理13）若(x -2)5=a 3x 5+a 5x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________.(用数字作答)解：令54321011x a a a a a a =+++++=-得，令0x =得0032x a ==-得 所以 5432131a a a a a ++++=4．（福建卷文13）（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） 解：992991rr rr rC xC x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭,令9233r r -==得,3984C ∴= 5．（广东卷理10）已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【解析】26(1)kx +按二项式定理展开的通项为22166()r r r r r r T C kx C k x +==， 我们知道8x 的系数为444615C k k =，即415120k <，也即48k <，而k 是正整数，故k 只能取1。
6．（湖南卷文13）记nxx )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________.【答案】5【解析】由211(2)()2,r n r r n r r n r r n n T C x C x x---+=⋅=⋅⋅得2233222,n n n n C C --⋅=⨯⋅所以解得 5.n =7．（辽宁卷理15）已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______． 答案：5解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。
依题31()nx x+对*,28n N n ∈剟中，只有5n =时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x 、2x 乘积为常数的项。
8．（辽宁卷文15）6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．答案：35解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。
考查621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式,66316621(),r rr r r r T C x C x x--+==所以展开式中的常数项共有两种来源: ①630,2,r r -=⇒=2615;C =②633,3,r r -=-⇒=3620;C =相加得15+20=35.9．（陕西卷文14）72(1)x -的展开式中21x的系数为 ．(用数字作答) 解：77177721()(2)r r r rr rT C C xx --+-=-=-，令725r r -=⇒=，因此展开式中21x的系数为7557(2)84C --= 10．（四川卷理13文13）()()34121x x +-展开式中2x 的系数为_______________。
【解】：∵()()34121x x +-展开式中2x 项为()()()()()()02112032212132204343434*********C x C x C x C x C x C x ⋅-+⋅-+⋅-∴所求系数为()021122043434342121624126C C C C C C ⋅+⋅⋅-+⋅⋅=-+=- 故填6-【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想； 【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；11．（天津卷理11）52⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数是 （用数字作答）.解析：3552155((2)r rrr r r r T C xC x --+==-，所以2r =，系数为225(2)40C -=.12．（天津卷文12）52x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为 （用数字作答）．解析：5521552()2r r r r r rr T C x C x x--+=⋅=，1r =，所以系数为10．。
