二项式定理2

二项式定理与性质•二项式定理：，它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项.•二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。

•二项式定理的特别提醒：①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。

③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。

二项式定理常见的利用：方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。

二项式定理1．二项式定理(1)定理：公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．(2)通项：T k＋1＝C k n a n－k b k为展开式的第k＋1项．2．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C k n(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．3．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k＞n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n；当n是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和第n＋12＋1)项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为12C－nn或12C＋nn4．各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.1．二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k＋1项．2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0,1，…，n )．[试一试]1．(2014·黄冈模拟)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋iD ．1＋i解析：选C x ＝2i 1－i ＝－1＋i ，C 12 013x ＋C 22 013x 2＋…＋C 2 0132 013x2 013＝(1＋x )2 013－1＝i 2 013－1＝i －1，选C.2．(2014·深圳调研)若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3＝________.解析：根据已知条件得，T 3＋1＝C 35(2x )3＝80x 3，∴a 3＝80. 答案：803．设二项式(x －a x )6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝________.解析：T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－a x k ＝(－a )k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝2，得k ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2k ＝0，得k ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3，代入B ＝4A 得a ＝－3.答案：－31．赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．2．利用二项式定理解决整除问题的思路要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开．3．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1 )项的二项式系数相等并最大． 4．二项展开式系数最大项的求法：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． [练一练]1．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．122．若x ∈(0，＋∞)，则(1＋2x )15的二项展开式中系数最大的项为( ) A ．第8项 B ．第9项 C ．第8项和第9项 D ．第11项考点一二项式中的特定项或特定项的系数1．(2013·江西高考)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40D ．－402．(2014·浙江五校联考)在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40.3．(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.[类题通法]。

二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k k n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ，1(1)k k n k kk n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ①1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012nn n n n C C C +++=L ，即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n nn C C C C -++=++=L L ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴a 0+a 1+a 2+a 3......+a n =f(1) ⑵a 0-a 1+a 2-a 3......+(-1)n a n =f(-1) ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f ⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f 经典例题1、“n b a )(+展开式： 例1．求4)13(xx +的展开式； 【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项 例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)n x x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是； 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是； （2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。

第十一讲 二项式定理一、知识要点（1）二项式定理的基本形式：0()nnk k n knk x y C x y -=+=∑，此公式实际上是关于x,y 的一个展开公式，应用非常广泛，其证明过程需要借助数学归纳法以及组合恒等式111k k k n n n C C C ---=+．（2）二项式定理的展开式的结构以及相关结论 下面我们从几个方面来认识二项式定理：① 二项式定理是关于x,y 的一个恒等式，也就是说可以对x,y 赋特殊值．② 其展开式中有1n +项，第1(0)r r n +≤≤项是1r n r rr n T C x y -+=，这个常用来求展开始特定的项．③ 展开中的012,,,nn n n nC C C C 称为二项式的系数(要与项的系数区分开)； 二项式系数的性质: (1)r n r n n C C -=,(2) 11r rn n n r C C r +-=+,(3)n 为偶数，则第12n T +的二项式系数2nnC 最大；（4）n 为奇数，则第12n T +、32n T +的二项式系数1122,n n nnCC-+相等且最大；（3）二项式定理的应用常见的简单题型①求展开式中某项的系数或常数项; ②求展开式二项式系数的最大值;③求展开式中指数为有理数或者无理数项的项数； ④求具有特殊结构的组合数的和； （4）二项式定理在数学竞赛中的应用①证明不等式，可以利用展开式放缩；②解决部分数论问题，利用展开式求余数或解决整数整除问题等；③求具有特殊结构的组合数的和或者证明组合恒等式； ④解决部分高斯函数背景下的整数问题； ⑤解决部分多项式问题; (5)二项式定理常用技巧．①拆项放缩； ②赋值构造； 二、典例分析例1．多项式()3231001x x x x +++++的展开式在合并同类项后，150x 的系数是多少？例2.已知：261(1)()x ax a++展开式中含有4x 项的系数为30，则正实数的值为多少？ 例3.)nx +展开式中系数为有理数的项数是多少?例4.设n a是(2n-的展开式中x 项的系数(2,3,4,)n =，则22lim knn k ka →+∞=∑为多少？例5.求12391010101010242C C C C ++++．例6.求0110k k k mn m n m n C C C C C C -+++例7.利用二项式定理：证明对一切2()n n N +>∈，22n n >+．例8.利用二项式定理证明：对一切n N +∈，都有12(1)3n n≤+<．例9.求199919991999(19991999共有个）末六位数字所组成的六位数．例10.设198215)(15x =++的个位数．例11.88191N =-的所有形如23(,)a b d a b N =∈的因子之和．例12.数列{}n a 的通项为(2(2n nn a ⎤=+--⎦，若n a 为正整数，且3n a 的n 为多少？例13.求证：对于任意的正整数n, (1n +s N +∈例14.试证明：大于(21n+的最小正整数能被12n +整除，例15.已知数列 ,,,,3210a a a a （00≠a ）满足：),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任意正整数n ，nn n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-=----)1()1()1()(11111100 是一次多项式或零次多项式．三、习题演练1．求29899(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++中3x 项的系数．2．求10211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式里的常数项是多少？3．设1990=n ，求)333331(211990995198899463422n n n n n n C C C C C -++-+- 的值．4．求证：21212-⋅>+++n n nnnn C C C ．5．设2≥n ，N n ∈，0>+b a ，b a ≠．求证：n n n n b a b a )()(21+>+-． 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <≤<.(1) 证明：i i i im nn A m A <; (2) 证明：(1)(1)n m m n +>+．6．求正整数94191x =-的所有具有235(0)m n l m n l ++≠形式约数的个数．7．把6--的形式，N 为自然数，则N 等于多少？8．当n N *∈时，(3n +的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论？9．整系数多项式()f x 满足：6(2),6(3)f f ，证明： 6(5)f .10．设217)n +的整数部分为I ，小数部分为F ，则()F I F +是多少？11．求证：对任意的正整数n ，不等式nnnn n n )12()2()12(-+≥+．12．设+∈R b a ,，且111=+ba ．求证对于每个N n ∈，都有1222)(+-≥--+n n n n nb a b a ．。