数学归纳法证明不等式的问题教案.pdf

课题：4.2用数学归纳法证明不等式举例一、教材分析： 数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。

数学归纳法的证明过程中展现的推理与逻辑能让学生体会数学的严谨与规范，学习数学归纳法后学生对数列和不等式证明等问题会有新的解决思路和方法。

二、教学目标：1、知识与技能：（1）使学生初步了解数学归纳法，理解数学归纳法的基本原理。

（2）掌握数学归纳法证明题目的步骤和适用范围，能够使用数学归纳法证明与正整数有关的命题。

2、过程与方法：（1）通过类比多米诺骨牌游戏，使学生进一步理解数学归纳法，并培养在观察，归纳，猜想中逐步解决问题的能力。

（2）让学生经历发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的过程，形成能力并应用于今后的学习中。

3、情感、态度与价值观：（1）通过对数学归纳法的探究培养学生严谨的，实事求是的科学态度和积极思考，大胆质疑的学习氛围。

（2）通过有限到无限的这种跨越，体会数学证明的美感与用途。

三、教学重点：了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤四、教学难点：（1）认识数学归纳法的证明思路。

（2）运用数学归纳法时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系。

五、教学准备1、课时安排：2课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。

3、教具选择：多媒体六、教学方法：讲练结合 合作探究法七、教学过程1、自主导学：一.复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。

<师>（2）思考：通过计算下面式子，你能猜想出1357(1)(21)n n -+-++⋅⋅⋅+-⋅-的结果吗？证明你的结论。

数学归纳法证明不等式的问题一、 知识梳理数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，其证明步骤是：奠基假设与递推二、 典例讲解（一）瞄准目标，有目的地进行合理放缩、分析例1设，是曲线22+1n y x+=在点处的切线与x 轴交点的横坐标. （I）求数列的通项公式；（II ）记2221321n n T x x x -=L ，证明. 【思路分析】该题第（II ）题对于不等式的证明我们可以通过对通项2212112n n n x n n ---⎛⎫=>⎪⎝⎭进行放缩，并保留第一项，从而达到证明的目的.但是对放缩有困难的同学来说，数学归纳法就为我们提供了一条切实可操作的途径.本题证明的关键步骤是用上归纳假设得到22222222+1132+113212+112+1()()()()()2422+242+2k k k k k T x x x k k k k -==≥⋅L L 之后，为了得到目标式子()141k +，可采用分析法、综合法、作差（作商）比较法、放缩法等证明.解：（I ）()22211=22n n y xn x ++'=++（）曲线221n y x +=+在点（1,2）处的切线斜率为22n +，从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-. 令0y =，解得切线与x 轴交点的和坐标1111n nx n n =-=++. （II ）由题设和（I ）中的计算结果知*n N ∈n x (12)，{}n x 14n T n≥22222213211321()()()242n n n T x x x n --==L L . （1） 当1n =时，11144T =≥，不等式成立.（2） 假设当n k =时，不等式成立，即222222132113211()()().2424k k k T x x x k k--==≥L L 当+1n k =时，()()()()()2222222+1132+1222213212+1()()()()2422+212+1()42+221141411441=41441.41k k k k T x x x k k k k k k k k k k k k k k k -==≥⋅+=⋅++++⋅++≥+L L所以当+1n k =时不等式也成立.由（1）（2）可知，对*n N ∈，均有14n T n≥.【解后归纳】用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由n k =时命题成立推出+1n k =时命题成立这一步.为完成这步证明.不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题的其他条件及相关知识，操作时宜先比较n k =与+1n k =这两个不等式间的差异，以决定+1n k =时不等式做出何种变形.一般地要先用归纳假设的条件，然后再利用比较、分析、放缩等方法及不等式的传递性来完成由n k =成立推出+1n k =不等式成立的证明. （二）活用起点的位置例2已知数列满足=且()2*1n n n a a a n N+=-∈.（I ）证明：1()*n N ∈； （II ）设数列的前n 项和为，证明()*n N ∈. 【思路分析】在证明不等式的过程中，我们先用累加法得到11n n S a a +=-，然后通过分析{}n a 1a 1212nn a a +≤≤{}2n a n S 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++法将所需要证明的不等式转化成只需证 ()*1112(1)2n a n N n n +≤≤∈++，即证()*11221n a n n N n n ≤≤≥∈+，.进而用数学归纳法证明不等式()*112,21n a n n N n n ≤≤≥∈+，这里在归纳奠基的时候是从2n =开始. 解：（I ）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--->L ， 由102n a <≤得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤. （II ）由题意得21n n n a a a +=-，所以11n n S a a +=-. 要证只需证112(2)2(1)n n na a n n +≤-≤++ 只需证1112(1)2n a n n +≤≤++即证()11221n a n n n ≤≤≥+. 下面用数学归纳法来证明不等式()11221n a n n n ≤≤≥+. （1） 当2n =时，2111443a ≤=≤，不等式成立.（2） 假设n k =时，不等式成立，即1121k a k k ≤≤+. 当+1n k =时，由函数211()24f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的单调性可得22211111111122424124k k a a k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+≤=--+≤--+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1222141k k ka k k +-≤≤+. 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++112(2)2(1)n S n n n ≤≤++因为()()()221102121k k k k k -=>++++，()()221211021441k kk k k k ---=<++， 所以()111212k a k k +≤≤++. 所以当+1n k =时不等式也成立. 综上，对*n N ∈，均有.例3已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[≥∈x f x 时 （I ）求a 的值； （II ）设.11.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明 【思路分析】本题在证明过程中，由n k =证明+1n k =时需要用到函数23()2f x x x =-的单调性，因为1(),3f x ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭在上单调递增，为使11k a k <+在单调区间内，需1113k ≤+，因此第（1）步时需要验证12n n ==和均成立. 解：（I ）由于223)(x ax x f -=的最大值不大于,61所以 .1,616)3(22≤≤=a a a f 即 又,81)(]21,41[≥∈x f x 时所以1.813234,81832,81)41(,81)21(≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥a a a f f 解得即. 所以.1=a（II ）（1）当1n =时，1102a <<，不等式成立. 当2n =时，122211331111223663a a a a ⎛⎫=-=--+≤< ⎪⎝⎭，不等式成立.（2）假设当()2n k k =≥时，不等式成立，即1113k a k <≤+. 当+1n k =时，112(2)2(1)n S n n n ≤≤++()()()()+122113111=1122211+41.22212k k a f a f k k k k k k k k k k ⎛⎫<=-⋅+- ⎪++++⎝⎭+=-<++++所以当+1n k =时不等式也成立. 由（1）（2）可知，对*n N ∈，均有11n a n <+. 【解后归纳】在用数学归纳法证明问题的过程中，归纳奠基是比较重要的一步，我们要注意到不等式成立的起始项.在归纳递推的过程中，为了能够顺利地从n k =成立，推导得到+1n k =成立，需要增加奠基步骤，缩小k 的范围，以达到证明的目的.（三）合理引入过渡不等式 例4设()*111,n a a b n N +==+∈.（I ）若1b=，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；（II ）若1b=-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论.【思路分析】本题先用不动点求得c 的值，再用数学归纳法证明该不等式，属于比较难的问题.特别是在归纳递推的过程中，根据归纳假设n k =时结论成立，即22114k k a a +<<推导得到当+1n k =时，需要用到函数设()1f x =的单调性进行放缩，但是这里单纯根据22114k k a a +<<的范围并不能推导2+21k a 的范围，因此在分析的过程中发现，需要对需证明的不等式进行加强，证明即221114k k a a +<<<，从而达到放缩的目的，完成不等式的证明. 解：（I ）232,1a a ==.再由题设条件知()()221111n n a a +-=-+， 从而(){}21n a -是首项为0公差为1的等差数列，故()21n a -=1n-，即()*1,n a n N =∈.（II ）设()1f x =，则()1n n a f a +=，令()c f c =，即1c =，解得14c =.下用数学归纳法证明加强命题：221114n n a a +<<<.（1）当1n =时，()()2310,01a f a f ====，所以23114a a <<<，结论成立. （2）假设n k =时结论成立，即221114k k a a +<<<. 当+1n k =时，易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而2+21114k a <=，且()2221k a f a +>=.即22214k a a +<<. 所以()()22232311=144k k f f a a f a a ++⎛⎫=<<=< ⎪⎝⎭. 故23114k a +<<，因此2(1)2(1)1114k k a a +++<<<，所以当1n k =+时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.【解后归纳】当“假设不等式”直接向“目标不等式”证明有困难时，可以先寻求一个“中途不等式”，实现由“假设不等式”到“目标不等式”的平稳过渡.本题的关键是通过分析主动增强命题，以对命题的证明过程进行优化，从而达到证明目标不等式的目的.提高解题效率. 三、本讲小结数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的一种重要方法，主要有两个步骤、一个结论：（1） 证明当n 取第一个值0n n =时结论正确； （2） 假设()*0,n k k n k N=≥∈且时结论正确，证明1n k =+时结论也正确；由（1）、（2）得出结论正确. 思想上：数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题.本讲用到了化归思想，函数与方程思想.。

选修4－5不等式选讲第1课时 不等式的基本性质[探索研究]1、实数的运算性质与大小顺序的关系：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质（6个）：第2课时 基本不等式[探索研究]1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）2、定理2：如果是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 3、已知x, y 都是正数。

则（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值；（2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值214s第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式[探索研究]1、引理：若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）2、定理3：若+∈R c b a ,,，则33abc c b a ≥++。

（当且仅当c b a ==时取“=”）3、推论：n 个正数的算术—几何平均不等式：na a a n +++ 21≥n n a a a 21 4、已知x,y,z 都是正数。

则（1）如果积xyz 是定值p ，那么当x=y=z 时，和x+y+z 有最小值；（2）如果和x+y+z 是定值s ，那么当x=y=z 时，积xyz 有最大值3127s第4课时 绝对值三角不等式[探索研究]1、|a|、|a-b|的几何意义；理解a a ≥，a a ≥-及等号成立条件。

2、定理1 若,a b R ∈，则||||||a b a b +≤+，当且仅当ab≥0时，等号成立。

3、定理2 若,,a b c R ∈，则||||||a c a b b c -≤-+-，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

4、拓展：若,a b R ∈，则||||||||||||a b a b a b -≤±≤+及等号成立条件。

章节：课时：备课人；二次备课人课题名称第四讲用数学归纳法证明不等式举例（1）三维目标学习目标：1、会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式；2、在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系；3、培养学生特殊化、一般化和转化的数学思想。

重点目标会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式难点目标会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式导入示标目标三导学做思一：自学探究问题1.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是A2k－1B2k－1C2k D2k+1解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为;由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k答案：C学做思二问题2.用数学归纳法证明（1+1）（1+）·…·（１＋）＞当n=1时，不等式①成立假设n=k时，不等式①成立，即（1＋1）（1＋）·…·（１＋）＞那么n=k+1时，（１＋１）（１＋）·…·（１＋）（１＋）＞（１＋）＝又［］2－（）2＝＞０，∴＞=∴当n=k+1时①成立综上所述，n∈N*时①成立．学做思三技能提炼例1、在数列中，a n>0,且S n=1/2(a n+)(1)求a1、a2、a3；(2)猜测出a n的关系式并用数学归纳法证明。

例2、用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是A2k－1B2k－1C2k D2k+1例3、设数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+（n=1，2，…）（1）证明a n＞对一切正整数n都成立；（2）令b n=（n=1，2，…），判定b n与b n+1的大小，并说明理由达标检测变式反馈1、用数学归纳法证明第一步应验证（）2、已知不等式左边增加的部分是（）3、证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有a n+c n＞2b n.反思总结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验课后练习同步练习金考卷。

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一数学归纳法1．数学归纳法的概念先证明当n取第一个值n0(例如可取n0＝1）时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．3．数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤(1)证明当n取第一个值n0(如取n0＝1或2等）时命题成立；(2)假设当n＝k（k∈N＋，k≥n0）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n,命题都成立．利用数学归纳法证明等式[例1] 用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋（－1)n－1·n2＝（－1）n－1错误!。

[思路点拨］首先判断第1步是否满足，然后考虑由n＝k到n＝k＋1时增加了哪些项，进行分析变形,从而证明等式．［证明］（1）当n＝1时,左边＝12＝1，右边＝(－1)0·错误!＝1，所以等式成立．(2）假设n＝k（k∈N＋，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋（－1)k－1·k2＝（－1）k－1错误!。

4.1 数学归纳法课堂探究1．数学归纳法及其证明思路剖析：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法．它包括不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法．比如在学习数列的知识时，我们可以通过观察数列的前几项来写数列的通项公式，这个过程用的就是不完全归纳法，我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的．例如，一个数列的通项公式是a n＝(n2－5n＋5)2，容易验证a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.但如果由此作出结论——对任何n∈N＋，a n＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，那就是错误的，事实上，a5＝25≠1.完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法．数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用，用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．2．应用数学归纳法证明问题的条件和n0值的确定剖析：数学归纳法一般用来证明某些涉及正整数n的命题，n可取无限多值，但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明(1＋1)n(n∈N＋)的单调性就难以实现，一般说来，从k＝n到k＝n＋1时，如果问题中存在可利n用的递推关系，则使用数学归纳法较容易，否则使用数学归纳法就有困难．在运用数学归纳法时，要注意起点n并非一定取1，也可能取0,2等，要看清题目，比如证明凸n边形的内角和f(n)＝(n－2)×180°，这里面的n应不小于3，即n≥3，第一个值n0＝3.归纳假设的使用是数学归纳法证明的关键，这也是能否由“n＝k”递推到“n＝k＋1”的关键，在证明过程中，需根据命题的变化或者在步骤的变化中，从数学式子的结构特点上，利用拼凑的方法，凑假设，凑结论，从而使“递推关系”得以顺利进行，命题得以证明．题型一用数学归纳法证明整除问题【例1】用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．分析：证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n))整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋a·f2(k)，就可证得命题成立．证明：(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k ＋1)＋7]·7k －1＝[(3k ＋1)＋(18k ＋27)]·7k －1＝[(3k ＋1)·7k －1]＋9(2k ＋3)·7k .∵[(3k ＋1)·7k －1]和9(2k ＋3)·7k 都能被9整除，∴[(3k ＋1)·7k －1]＋9(2k ＋3)·7k 能被9整除，即[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1能被9整除，即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋，命题都成立，即(3n ＋1)·7n－1能被9整除(n ∈N ＋)． 反思 利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n ＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．题型二 用数学归纳法证明恒等式【例2】已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，….(1)求a 3；(2)证明：a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，….分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题关键是第二步，要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．解：(1)由题设，当n ＝3时，得a 3a 4＝10.因为a 3，a 4均为非负整数，所以a 3 的可能值为1,2,5,10.当a 3＝1，则a 4＝10，a 5＝32，与题设矛盾； 当a 3＝5，则a 4＝2，a 5＝352，与题设矛盾； 若a 3＝10，则a 4＝1，a 5＝60，a 6＝35，与题设矛盾． 所以a 3＝2.(2)用数学归纳法证明：当n ＝3时，a 3＝a 1＋2，等式成立．假设当n ＝k (k ≥3)时，等式成立，即a k ＝a k －2＋2，因为a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2)， a k ＝a k －2＋2≠0.所以a k＋1＝a k－1＋2.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．综上，可知对所有n≥3，n∈N＋，有a n＝a n－2＋2，即a n＝a n－2＋2，n＝3,4,5，….反思利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设.题型三用数学归纳法解决几何中的有关问题【例3】平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n.有了上述关系，数学归纳法的第二步证明就很容易解决．证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立，即这几个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．反思对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎样变化的，然后再去证明，也可以用“递推”的办法，比如本题，n＝k＋1时的结果已经知道：f(k＋1)＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，用f(k＋1)－f(k)就可得到增加的部分，然后从有限的情况来理解如何增加的，也就容易理解了．。

用数学归纳法证明不等式说课稿教案教学设计用数学归纳法证明不等式举例一、教学目标1．会用数学归纳法证明简单的不等式．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．二、课时安排 1课时三、教学重点会用数学归纳法证明简单的不等式．四、教学难点会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．五、教学过程（一）导入新课复习数学归纳法的基本思想。

（二）讲授新课教材整理用数学归纳法证明不等式 1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x 是实数，且x >－1，x ≠0，n 为大于1的自然数，那么有(1＋x )n > .2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n ＝k 成立，推导n ＝k ＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．（三）重难点精讲题型一、数学归纳法证明不等式例1已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N ＋).【精彩点拨】先求S n 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n 表示前n 项的和(n >1)，首先验证n ＝2；然后证明归纳递推．【自主解答】(1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2.当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12.故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立．规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为12k ＋1，实际上应为12k ＋1；二是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共有多少项之和，实际上 2k ＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .[再练一题]1．若在本例中，条件变为“设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，由f (1)＝1>12， f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…” .试问：f (2n －1)与n2大小关系如何？试猜想并加以证明．【解】数列1,3,7,15，…，通项公式为a n ＝2n －1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n2，∴猜想：f (2n －1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立，即f (2k －1)>k2，当n ＝k ＋1时，f (2k ＋1－1)＝f (2k－1)＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k －1)＋∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．据①②知对任何n ∈N ＋原不等式均成立．例2 证明：2n ＋2>n 2(n ∈N ＋)．【精彩点拨】验证n ＝1，2，3时不等式成立?假设n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1?n ＝k ＋1成立，结论得证【自主解答】(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n ＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右；当n ＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．因此当n ＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2＞k 2(k ∈N ＋)．当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2 ＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3 ＝(k ＋1)2＋(k ＋1)(k －3)，∵k ≥3，∴(k ＋1)(k －3)≥0，∴(k ＋1)2＋(k ＋1)(k －3)≥(k ＋1)2，所以2k ＋1＋2>(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n ∈N ＋都成立．规律总结：1．本例中，针对目标k 2＋2k ＋1，由于k 的取值范围(k ≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n ＝1扩大到验证n ＝1,2,3)的方法，使假设中k 的取值范围适当缩小到k ≥3，促使放缩成功，达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．[再练一题]2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15…1＋12n －1＞2n ＋12均成立．【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边＞右边，∴不等式成立；(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋131＋15…1＋12k －1＞2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，1＋131＋15…1＋12k －1112(1)1k ??++-??＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(1)1k ++.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立. 题型二、不等式中的探索、猜想、证明例3 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．【精彩点拨】先通过n 取值计算，求出a 的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．【自主解答】当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a 24，则2624>a 24，∴a <26.又a ∈N ＋，∴取a ＝25.下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.(1)n ＝1时，已证．(2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N ＋)，1k ＋1＋1k ＋2＋ (13)＋1>2524，∴当n ＝k ＋1时，1(1)1k ++＋1(1)2k ++＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(1)1k ++＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋?13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋11232343(1)k k k ??+-??+++?，∵13k ＋2＋13k ＋4＝6k ＋19k 2＋18k ＋8>23(1)k +，∴13k ＋2＋13k ＋4－23(1)k +>0，∴1(1)1k ++＋1(1)2k ++＋…＋13(1)1k ++>2524也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋ (13)＋1>2524，∴a 的最大值为25. 规律总结：1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．2．本题中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边添加项是13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1.这一点必须清楚．[再练一题]3．设a n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，是否存在n 的整式g (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)对大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论．【解】假设g (n )存在，那么当n ＝2时，由a 1＝g (2)(a 2－1)，即1＝g (2)1＋12－1，∴g (2)＝2；当n ＝3时，由a 1＋a 2＝g (3)(a 3－1)，即1＋1＋12＝g (3)1＋12＋13－1，∴g (3)＝3，当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝g (4)(a 4－1)，即1＋1＋12＋1＋12＋13 ＝g (4)1＋12＋13＋14－1，∴g (4)＝4，由此猜想g (n )＝n (n ≥2，n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立． (1)当n ＝2时，a 1＝1， g (2)(a 2－1)＝2×1＋12－1＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k (a k －1)成立，那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k ＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k ＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＋1＝(k ＋1)a k ＋1k ＋1－1＝(k ＋1)(a k ＋1－1)，说明当n ＝k ＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n ，存在g (n )＝n 使等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)成立．（四）归纳小结归纳法证明不等式——证明不等式—探索、猜想、证明问题—贝努利不等式。

4.2 用数学归纳法证明不等式课前导引情景导入观察下列式子：1+23212<,1+,35312122<+47413121222<++,…,则可以猜想的结论为：__________考注意到所给出的不等式的左右两边分子、分母与项数n 的关系，则容易得出结论：1+++223121…+112)1(12++<+n n n . 这个不等式成立吗？如何证明呢？知识网络证明不等式是数学归纳法的重要应用之一，在利用数学归纳法证明不等式时，要注意利用不等式的传递性.证明不等式的其他常用方法,如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等也是证明P(k+1)成立的基本方法.〔这里的P(k+1)是n=k+1时不等式成立〕使用数学归纳法证明不等式时除了以上方法外，还要注意发现或设法创设归纳假设与n=k+1时命题之间的联系，充分利用这样的联系来证明n=k+1时命题成立.课堂导学三点剖析一、利用数学归纳法证明不等式的技巧（一）【例1】 对于n ∈N ,证明1312111++++++n n n >1. 证明：当n=1时，左边=1213>1=右边；设n=k 时，有1312111++++++k k k >1; 当n=k+1时，左边1313121++++++k k k ++++=+++++=2111)431331231(k k k k k 3324312311)11431331231(131+-++++>--++++++++k k k k k k k k )43)(33)(23(21++++=k k k >1=右边.所以对一切自然数n 不等式均成立. 温馨提示解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从n=k 到n=k+1增减的项. 各个击破 类题演练1对于n ∈N ，试比较2n 与n 2的大小. 解析：先验算n=1时，2n >n 2，n=2和n=4时，2n =n 2,n=3时,2n <n 2. 而当n=5时，有2n >n 2,猜测对n≥5有2n >n 2. 用数学归纳法证明如下： （1）当n=5时，已证.（2）设当n=k(k≥5)时，2k >k 2且k 2>2k+1. 当n=k+1时，2k+1=2·2k >2k 2>k 2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时成立. 由（1）、（2），知猜测正确. 变式提升1 求证：1+21213121n n >-+++ . 证明：用数学归纳法.当n=1时，显然不等式成立.根据归纳假设，当n=k 时，命题成立，即 1+21213121k k >-+++ .① 要证明n=k+1时，命题也成立，即1+211211212112131211+>-+++++-++++k k k k k .② 要用①来证明②,事实上，对不等式①两边加上（121121211-+++++k k k ）,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证121121211-+++++k k k ≥21.③ ③式左边共有2k项，且1211-+k 最小，故212212212112121111=>->-+++++++k k k k k kk ,这就证明了③式成立.综上，知不等式成立.二、利用数学归纳法证明不等式的技巧（二） 【例2】 已知n 是大于1的自然数，求证： (1+31)(1+51)(1+71)…(1+121-n )>1221+n . 证明：假设n=k(k≥2)时，原不等式成立，即（1+31）(1+51)(1+71)…(1+121-k )>1221+k . 则当n=k+1时，左边=（1+31）（1+51）（1+71）…（1+121-k ）·(121+k )>1221+k ·(1+121+k )=21(12112+++k k ).现在关键证21(12112+++k k )>1)1(221++k ,直接证较繁,下面用分析法证之.欲证21（12112+++k k ）>1)1(221++k ,即证3212112+>+++k k k ,只需证2k+1+121+k +2>2k+3,即121+k >0.这显然是成立的，故当n=k+1时，原不等式成立. 综上，当n 为大于1的自然数时，原不等式成立.温馨提示用数学归纳法证明不等式时，从P(k)到P(k+1)的过渡往往用到不等式的传递性，即要证n=k+1时不等式成立〔不妨用A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需n=k 时，A （k ）≥B(k)成立,然后有A （k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 类题演练2在数列{a n }中，|a n |<2,且a n+1a n -2a n+1+2a n <0, 求证：a n >n2-(n ∈N ). 证明：∵|a n |<2, ∴-2<a n <2.∴2-a n >0. 由题设a n+1(2-a n )>2a n ,则a n+1>nna a -22.1°当n=1时，由|a n |<2,得a 1>-2=12-成立. 2°假设当n=k 时，有a k >k 2-成立.（下证a k +1>12+-k 成立） 设f(x)=x x -22,易知f(x)在(-2,2)内是单调递增的，又a k +1>f(a k ),由归纳假设,可知a k >k2-, ∴a k+1>f(a k )>f(k 2-)=1222)2(2+-=+-•k kk ,即当n=k+1时，a k+1>12+-k 成立.故对任意n ∈N ，a n >n2-成立.变式提升2设a,b ∈R *,n ∈N *,求证：2n n b a +≥(2b a +)n.证明：①n=1时，左边=右边=2ba +,原不等式成立. ②设n=k 时,原不等式成立，即2k kb a +≥(2b a +)k成立.∵a,b ∈R +,∴2ba +·2k kb a +≥2)(1++k b a 成立.∴要证明n=k+1时原不等式成立，即证明)2(211b a b a k k +≥+++k+1成立. 只需证明:22211kk k k b a b a b a +•+≥+++成立.只需证明:a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立.下面证明:a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立.不妨设a≥b>0,则a k+1+b k+1-ab k -a k b=(a k -b k )(a-b)≥0. ∴a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立. 故n=k+1时原不等式成立.由①②,可知对于任何n ∈N *，原不等式成立. 三、数学归纳法证明不等式的点问题【例3】 证明n 为一切自然数时，（1+2+…+n ）·（1+21+…+n1）≥n 2. 证明：先看下面的证明（1）n=1时，左边=右边=1,命题正确.（2）假设n=k(k ∈N 且k≥1)命题正确，即(1+2+…+k)·(1+21+…+k1)≥k 2，则n=k+1时， 左边=［1+2+…+k+(k+1)］［1+21+…+111++k k ］=(1+2+…+k)·(1+21+…+k1)+121+++k k +(k+1)·（1+21+…+k 1）+1≥k 2+21k+(k+1)(1+21+…+k 1)+1，∵1+21+…+k 1≥1+21,∴左边≥k 2+21k+(k+1)(1+21)+1=k 2+2k+1+23≥k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时命题正确. 综合（1）、（2）,知n 为一切自然数时命题正确. 初看“证明”天衣无缝，仔细推敲便会发现“证明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.归纳步的证明用了结论“1+21+…+k 1≥1+21”,此结论成立的前提条件是k≥2,即归纳步建立的自动递推机制只能在n≥2(n ∈N )的范围内行使递推职能，其得以起动的初始条件是n=2时命题正确.因此数学归纳法的奠基应是n=2时命题正确的验证，n=1时的验证只是对命题的补充证明，并非为奠基.该命题严格的证明过程应该是： （1）n=1,2时命题正确，（2）n≥2时，用数学归纳法证明假设n=k(k ∈N 且k≥2)时命题正确，证明n=k+1时命题也正确. 综合（1）、（2）,知n 为一切自然数时命题正确. 温馨提示对于一个n≥n 0(n ∈N )的真命题，如果用数学归纳法证明，第一步总是n=n 0时命题正确的验证.这种想法是不对的，到底“奠基”步中从哪个数字开始，要看问题的条件. 类题演练3若a i >0(i=1,2,…,n),且a 1+a 2+…+a n =1, 求证：a 12+a 22+…+a n 2≥n1(n ∈N 且n≥2). 证明：(1)n=2时，∵a 1+a 2=1,∴a 12+a 22=a 12+(1-a 1)2=2(a 1-21)2+21≥21. ∴n=2时命题正确.（2）假设n=k(k≥2)时命题正确，即如果a 1+a 2+…+a k =1且a i >0(i=1,2,…,k), 那么a 12+a 22+…+a k 2≥k1,则n=k+1时， ∵a 1+a 2+…+a k +a k+1=1, ∴a 1+a 2+…+a k =1-a k+1. ∵0<a k+1<1,∴0<1-a k+1<1. ∴k 个正数的和11211111+++-++-+-k k k k a a a a a a =1,从而由归纳假设得ka a a a a a k k k k 1)1()1()1(21212211≥-++-+-+++ ,即a 12+a 22+…+a k 2≥k 1(1-a k+1)2,从而有a 12+a 22+…+a k 2+a k+12≥k 1(1-a k+1)2+a k+12. 下面只要证明k 1(1-a k+1)2+a k+12≥11+k ,即证(k+1)2a k+12-2(k+1)a k+1+1≥0，即证［(k+1)a k+1-1］2≥0,∴上式成立. 故n=k+1时命题正确. 变式提升3设x>0，x≠1,求证：（1+x n ）(1+x)n >2n+1x n (n ∈N ). 证明：（1）n=1时，左边=(1+x)2,右边=4x, ∵(1+x)2-4x=(1-x)2>0,∴(1+x)2>4x.∴n=1时命题正确.（2）假设n=k(k ∈N 且k ≥1)时命题正确，即(1+x k )(1+x)k >2k+1x k ,则n=k+1时，（1+x k+1）(1+x)k+1-2k +2x k+1=(1+x k+1)(1+x)k+1-2x·2k+1x k >(1+x k+1)(1+x)k+1-2x(1+x k )(1+x)k =(1+x)k ［(1+x)(1+x k+1)-2x(1+x k )］ =(1+x)k (1+x+x k+1+x k+2-2x-2x k+1) =(1+x)k (1-x)(1-x k+1), ∵x>0且x≠1,∴1-x 与1-x k+1同号. ∴（1+x ）k ·(1-x)(1-x k+1)>0.∴（1+x k+1）(1+x)k+1>2(k+1)+1x k+1. ∴n=k+1时命题正确.。

用数学归纳法证明不等式·教案教学目标1．牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程．2．通过事例，学生掌握运用数学归纳法证明不等式的思想方法．3．培养学生的逻辑思维能力，运算能力，和分析问题、解决问题的能力．教学重点与难点重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路．难点：应用数学归纳法证明的不同方法的选择及解题技巧．教学过程设计（一）复习回顾师：上次课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们联想“多米诺骨牌”游戏，说出数学归纳法的步骤？生：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．师：演示小黑板或运用投影仪讲评作业．（讲评作业的目的是从错误中进一步强调恰当地运用归纳假设是数学归纳法的关键）作业中用数学归纳法证明：2+4+6+8+…+2n=n（n+1）．如采用下面的证法，对吗？证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立．（2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即2+4+6+…+2k=k（k+1）．当n=k+1时，2+4+6+…+2k+（k+1）所以n=k+1时，等式也成立．根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立．生甲：证明过程正确．生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）（二）讲授新课师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．（板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx．师：首先验证n=2时的情况．（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x ≠0获得，为下面证明做铺垫）（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx．师：现在要证的目标是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，请同学考虑．生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k （1+x），因为x＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）．师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．提问：证明不等式的基本方法有哪些？生甲：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）生乙：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x]=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx2＞0（因x≠0，则x2＞0）．所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．生丙：也可采用综合法的放缩技巧．（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2．因为kx2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．生丁：……（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．（板书）将例1的格式完整规范．当n=k+1时，因为x＞-1，所以1+x＞0，于是左边=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+x）（1+lx）=1+（k+1）x+kx2；右边=1+（k+1）x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即（1+x）k+1＞1+（k+1）x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据（1）和（2），原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．（通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的）师：下面再举例子，来说明合理放缩的重要性．（板书）例2证明：2n+2＞n2，n∈N+．师：（1）当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．（2）假设n=k时（k≥1且k∈N）时，不等式成立，即2k+2＞k2．现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2＞（k+1）2成立．生：利用归纳假设2k+1+2=2．2k+2=2（2k+2）-2＞2·k2-2．师：将不等式2k2-2＞（k+1）2，右边展开后得：k2+2k+1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2+2k+1方向进行转化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3．由此不难看出，只需证明k2-2k-3≥0，不等式2k2-2＞k2+2k+1即成立．生：因为k2-2k-3=（k-3）（k+1），而k∈N，故k+1＞0，但k-3≥0成立的条件是k≥3，所以当k∈N时，k-3≥0未必成立．师：不成立的条件是什么？生：当k=1，2时，不等式k-3≥0不成立．师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？生：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础，而第二步中对于k是大于或等于3才成立，故在验证时，应验证n=3时，命题成立．师：（补充板书）当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．（以下请学生板书）（2）假设当n=k（k≥3且k∈N）时，不等式成立．即2k+2＞k2．因为2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=（k2+2k+1）+（k+1）（k-3）（因k≥3，则k-3≥0，k+1＞0）≥k2+2k+1=（k+1）2．所以2k+1+2＞（k+1）2．故当n=k+1时，原不等式也成立．根据（1）和（2），原不等式对于任何n∈N都成立．师：通过例2可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤（把验证n=1．扩大到验证n=1，2，3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．（板书）例3求证：当n≥2时，（由学生自行完成第一步的验证；第二步中的假设，教师应重点讲解n=k 到n=k+1命题的转化过程）师：当n=k+1时，不等式的左边表达式是怎样的？生：当n=k+1时，k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k在3k后面还有3k+1、3k+2．最后才为3k+3即3（k+1），所以正确（在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．）运算，应针对问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：（板书略）师：设S（n）表示原式左边，f（n）表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命题的转化途径是：要注意：这里 S′（k）不一定是一项，应根据题目情况确定．（三）课堂小结1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．3．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题．错误解法：（2）假设n=k时，不等式成立，即当n=k+1时，则n=k+1时，不等式也成立．根据（1）（2），原不等式对n∈N+都成立．（四）课后作业1．课本P121：5，P122：6．2．证明不等式：（提示：（1）当n=1时，不等式成立．（2）假设n=k时，不等式成立，即那么，这就是说，n=k+1时，不等式也成立．根据（1）（2）可知不等式对n∈N+都成立．）3．对于任意大于1的自然数n，求证：（提示：（2）假设n=k时，不等式成立，即这就是说，n=k+1时，原不等式成立．根据（1），（2）可知，对任意大于1的自然数n，原不等式都成立．）用数学归纳法证明①式：（1）当n=3时，①式成立．（2）假设 n=k（k≥3，k∈N）时，①式成立，即2k＞2k+1．那么2k+1=2k·2＞2（2k+1）=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1（因k≥3，则2k-1≥5＞0）．这就是说，当n=k+1时，①式也成立．根据（1）（2）可知，对一切n∈N，n≥3①式都成立，即f课堂教学设计说明1．数归法是以皮亚诺的归纳公理作为依据，把归纳法与演绎法结合起来的一种完全归纳法．数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想．在教学中应使学生明确这两个步骤的关系：第一步是递推的基础；第二步是递推的依据，缺一不可，否则就会导致错误．为了取得良好的教学效果，不妨利用“多米诺骨牌”游戏来加深这两步骤之间的关系的理解，在演示时，应分三种情况：（1）推倒第一张，接着依次倒下直至最后一张；（2）推倒第一张，中途某处停止，最后一张不倒；（3）第一张不倒，后面不管能否推倒，都不会全部倒下．通过具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质．2．用数学归纳法证明不等式，宜先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形，一般地只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明．3．要注意：在证明的第二步中，必须利用“n=k时命题成立”这一归纳假设，并且由f（k）到 f（k+1），并不总是仅增加一项，如例2，4．要教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的，因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答者解答问题的整个过程上，培养学生构作问题解答过程的框图，因为用文字、符号或图表简明地表达解答过程或结果的能力，叙述表达自己解题思路的能力，这也是问题解答所必需的．。