名校必备浅谈高考数学之圆锥曲线与方程

卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。

假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。

假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。

比方：①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．B．C．D．〔答：C〕；②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。

如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。

方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。

比方：①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕；②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。

方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。

比方：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕；②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______〔答：〕〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。

高考数学中的圆锥曲线参数方程解析技巧圆锥曲线是高考数学中必须掌握的重要知识点，其中参数方程的解析技巧是必须要掌握的难点。

在大学的数学课程中，圆锥曲线是基础课程，而在高考数学中又是重中之重。

在本文中，我们将深入剖析圆锥曲线参数方程解析技巧，让大家掌握这个关键难点。

一、什么是圆锥曲线圆锥曲线，顾名思义，是由圆锥截割而成。

圆锥是一个由两个面围成的几何体，其中面的交线为圆锥曲线。

圆锥曲线包括直线、椭圆、双曲线和抛物线四种类型，其中椭圆和双曲线是常见的类型。

圆锥曲线有两种表示方法，一种是直角坐标系方程，另一种是参数方程。

直角坐标系方程适用于已知圆锥曲线类型的情况，而参数方程则适用于未知曲线类型的情况，因此在高考数学中，参数方程被广泛使用。

二、参数方程的定义和基本形式圆锥曲线参数方程是一组方程，用参数表示曲线上的每一个点的位置。

具体来说，参数方程是一组形如x=x(t)，y=y(t)的方程，其中t为参数。

例如，椭圆的参数方程可以表示为：x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中a和b分别是椭圆长半轴和短半轴。

在参数方程中，参数t的值通常在一定范围内变化，以确保曲线上的每一个点都被表示出来。

参数方程具有很强的通用性，可以用来描述各种各样的曲线，而不需要提前知道曲线类型。

三、圆锥曲线参数方程解析技巧1. 确定参数范围在解析参数方程时，首先需要确定参数的取值范围。

这通常涉及到选择一个适合的t值范围，以确保曲线上的每一点都能被表示出来。

例如，对于椭圆的参数方程x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，参数范围应选择在0≤t≤2π之间，以确保整个椭圆都能被表示出来。

2. 求出曲线上任意一点通过参数方程求出曲线上任意一点的方法比较简单，只需要依次代入x(t)和y(t)的值即可得到点的坐标。

例如，对于椭圆参数方程x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，求出椭圆上的某一点P，只需要将t代入x(t)和y(t)的式子中即可得到P(x(t),y(t))的坐标。

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。

第八章圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．了解椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．基本方法和数学思想1．求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法。

其中直接法包括：直译法，定义法，待定系数法，公式法等。

间接法包括：转移法，参数法(k参数、t参数，θ参数及多个参数)等。

2．本节解题时用到的主要数学思想方法有：（1）函数方程思想。

求平面曲线的轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程或函数关系（参数法）。

（2）数形结合思想。

解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。

即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。

（3）等价转化思想。

在解决问题的过程中往往需要将一个问题等价转化为另一个较为简单的问题去求解。

3．避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求。

所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算。

所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则。

因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”。

热点分析高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。

高考数学圆锥曲线详解与实例现代数学是应用数学和纯粹数学两大分支的结合，其中纯粹数学又包含了数学的许多分支，例如代数学、几何学、拓扑学等等，而几何学更是涉及到了各种图形的研究。

圆锥曲线作为几何学中的一种非常基础的图形，在高中数学中就已经开始进行系统的学习，而在高考中也是经常出现的考点。

本文将详细讲解圆锥曲线的基本概念及其应用实例，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、圆锥曲线的概念圆锥曲线指的是通过按一定规律割圆锥而得到的曲线，其中包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

以割圆锥的方式命名的原因是因为，圆锥曲线最初是通过圆锥割切而得到的。

圆锥曲线的基本定义为平面上满足二次方程的点集，其中二次方程的形式为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C不全为0。

二、圆的特点圆是一类非常基础的圆锥曲线，通常用来描述一些圆形问题。

圆的特点是，它是由平面上所有到某一点距离相等的所有点组成的。

这一点通常被称作圆心，而到圆心距离的长度则被称作半径。

圆的一些基本性质包括面积公式πr²以及周长公式2πr，其中r为半径长度。

三、椭圆的特点椭圆是圆锥曲线中比圆复杂的一种曲线，它的定义为平面上满足二次方程x²/a² + y²/b² = 1的点的集合，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

椭圆的一些基本性质包括离心率e=sqrt(1-b²/a²)以及面积公式πab。

椭圆还可以被视为一个圆沿着其周长不断拉伸而成的。

四、双曲线的特点双曲线是圆锥曲线中比椭圆更为复杂的一种曲线，它的定义为平面上满足二次方程x²/a² - y²/b² = 1的点的集合（或者换为y²/b² -x²/a² = 1）。

双曲线和椭圆的一个重要区别在于它们的离心率。

2012年全国高考模拟参考部分浅谈高考数学之《圆锥曲线与方程》嘉兴市秀州中学屠新跃一、课程标准中的圆锥曲线与方程1. 圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想2. 曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想二、2009年各地高考（理科）中的圆锥曲线与方程纵观2009年全国十九份各省、市的数学高考试题，对圆锥曲线与方程的考查，题量以一个填空或选择题，再加一个解答题（即1小1大）的有十六份，而2小1大的只有全国卷Ⅰ、Ⅱ和北京卷三份。

考查的内容主要是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、图形及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系（主要是相交和相切），或与向量、三角、函数、不等式等的结合，及求动点轨迹（方程）等。

从解题方法上看，小题（选择题、填空题）侧重于几何法，以形助数；大题（解答题）则重点考查坐标法，用方程来解决，以数助形；两者“相得益彰”，也使得课标中指出的“体会数形结合的思想”得到了很好的体现。

而小题与大题对内容的考查又是相互补充，即大题若是椭圆的问题，则小题必是双曲线或抛物线的问题了。

三、浙江省考试说明（理科）中的圆锥曲线与方程（一）2010年考试说明中的圆锥曲线与方程1. 圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（3）了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质（4）能解决直线与的椭圆、抛物线位置关系等问题（5）理解数形结合的思想（6）了解圆锥曲线的简单应用2. 曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 （二）与2009年考试说明的比较1. 对圆锥曲线与方程的内容，2009、2010这两年考试说明的条目数量没有变化，其中圆锥曲线（1）（2）（5）（6）与曲线与方程的要求完全相同。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第41讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p 的值．例1(1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋2，则该椭圆方程为()A.x 24＋y 22＝1B.x 28＋y 23＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案 D解析 设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段F 1A 为直径的圆上，所以AP ⊥PF 1.又因为F 2B ∥AP ，所以F 2B ⊥BF 1.又因为|F 2B |＝|BF 1|，所以△F 1F 2B 是等腰直角三角形，于是△F 1AP 也是等腰直角三角形，因为|AP |＝2＋2，所以|F 1A |＝2(2＋2)，得a ＋c ＝2(2＋2)，又b ＝c ，所以a ＝2c ，解得a ＝22，c ＝2，得b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1. (2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 右支上的一点(不是顶点)，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |＝________. 答案 4解析 延长F 2M 交PF 1于点Q ，由于PM 是∠F 1PF 2的角平分线，F 2M ⊥PM ，所以△QPF 2是等腰三角形，所以|PQ |＝|PF 2|，且M 是QF 2的中点．根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即|QF 1|＝2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△QF 1F 2的中位线，所以|MO |＝12|QF 1|＝a ＝4. 易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1 答案 D解析 设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)， ∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，m ＝2；当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1. (2)已知A ，B 是抛物线y 2＝8x 上两点，当线段AB 的中点到y 轴的距离为3时，|AB |的最大值为( )A ．5B ．5 2C ．10D ．10 2答案 C解析 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，线段AB 的中点为M .如图，分别过点A ，B ，M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，连接AF ，BF .因为线段AB 的中点到y 轴的距离为3，抛物线y 2＝8x 的准线l ：x ＝－2，所以|MN |＝5.因为|AB |≤|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝10，当且仅当A ，B ，F 三点共线时取等号，所以|AB |max ＝10.考点二 椭圆、双曲线的几何性质 核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向1 椭圆、双曲线的几何性质例2(2022·河南五市联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF 2的中点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±233x D ．y ＝±2x答案 B解析 由题意知，渐近线方程为y ＝±b ax ， 焦点F 2(c ，0)，c 2＝a 2＋b 2，因为以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r 等于圆心到切线的距离，即r ＝⎪⎪⎪⎪±b a ·c 1＋⎝⎛⎭⎫±b a 2＝b ， 又该圆过线段OF 2的中点，故c 2＝r ＝b ， 所以b a ＝b 2a 2＝b 2c 2－b2＝33. 所以渐近线方程为y ＝±33x . 考向2 离心率问题例3(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2＝35，则C 的离心率为( ) A.52B.32 C.132 D.172 答案 AC解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 当两个交点M ，N 在双曲线两支上时，如图1所示，图1设过F 1的直线与圆D 相切于点P ，连接OP ，由题意知|OP |＝a ，又|OF 1|＝c ，所以|F 1P |＝b .过点F 2作F 2Q ⊥F 1N ，交F 1N 于点Q .由中位线的性质，可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35， 所以sin ∠F 1NF 2＝45， 故|NF 2|＝52a ，|QN |＝32a ， 所以|NF 1|＝|F 1Q |＋|QN |＝2b ＋32a . 由双曲线的定义可知|NF 1|－|NF 2|＝2a ，所以2b ＋32a －52a ＝2a ，所以2b ＝3a . 两边平方得4b 2＝9a 2，即4(c 2－a 2)＝9a 2，整理得4c 2＝13a 2，所以c 2a 2＝134， 故c a ＝132，即e ＝132. 当两个交点M ，N 都在双曲线上的左支上时，如图2所示，图2同理可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35， 所以sin ∠F 1NF 2＝45， 可得|NF 2|＝52a ，|NQ |＝32a ， 所以|NF 1|＝|NQ |－|QF 1|＝32a －2b ， 所以|NF 2|＝|NF 1|＋2a ＝72a －2b ， 又|NF 2|＝52a ，所以72a －2b ＝52a ， 即a ＝2b ，故e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选AC.规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或a b的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( ) A.32 B.22 C.12 D.13答案 A解析 设P (m ，n )(n ≠0)，则Q (－m ，n )，易知A (－a ，0)，所以k AP ·k AQ ＝n m ＋a ·n －m ＋a ＝n 2a 2－m 2＝14.(*) 因为点P 在椭圆C 上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14， 所以e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.故选A. (2)(多选)(2022·衡水中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|，则( )A ．∠AF 1B ＝∠F 1ABB ．双曲线的离心率e ＝333C ．双曲线的渐近线方程为y ＝±63x D ．原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上答案 AB解析 设|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|＝2m ，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝3m ，由双曲线的定义知，|AF 1|－|AF 2|＝2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－2m ＝2a ，∴|BF 1|＝3m ＝|AB |，∠AF 1B ＝∠F 1AB ，故选项A 正确；由余弦定理知，在△ABF 1中，cos ∠AF 1B ＝|AF 1|2＋|BF 1|2－|AB |22|AF 1|·|BF 1|＝4m 2＋9m 2－9m 22·2m ·3m ＝13， 在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AB ＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22·|AF 1|·|AF 2|＝4m 2＋m 2－4c 22·2m ·m ＝cos ∠AF 1B ＝13， 化简整理得12c 2＝11m 2＝44a 2，∴离心率e ＝c a ＝4412＝333，故选项B 正确； 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±c 2－a 2a 2x ＝±e 2－1x ＝±263x ， 故选项C 错误；若原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上，则c ＝m ＝2a ，与c a ＝333相矛盾，故选项D 错误． 考点三 抛物线的几何性质核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)当AB ⊥x 轴时，弦AB 的长最短为2p .例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0,2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( )A.18 B ．2 C.14D ．4 答案 B解析 设点M 到抛物线的准线的距离为|MM ′|，抛物线的准线与x 轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM ′|＝|FM |.因为|FM ||MN |＝55， 所以|MM ′||MN |＝55， 即cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝55， 所以cos ∠OF A ＝cos ∠NMM ′＝55， 而cos ∠OF A ＝|OF ||AF |＝p 2⎝⎛⎭⎫p 22＋22＝55，解得p ＝2. (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M (p ，0)．若|AF |＝|AM |，则( )A ．直线AB 的斜率为2 6B ．|OB |＝|OF |C ．|AB |>4|OF |D ．∠OAM ＋∠OBM <180°答案 ACD解析 对于A ，由题意，得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 因为|AF |＝|AM |，且M (p ，0)， 所以x A ＝x F ＋x M 2＝34p ，将其代入抛物线方程y 2＝2px ，得y A ＝62p ， 所以A ⎝⎛⎭⎫34p ，62p ，所以直线AB 的斜率k AB ＝k AF ＝62p －034p －p 2＝26，故A 正确；对于B ，由选项A 的分析，知直线AB 的方程为y ＝26⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ，得12x 2－13px ＋3p 2＝0，解得x ＝34p 或x ＝13p ，所以x B ＝13p ，所以y B ＝－63p ，所以|OB |＝x 2B ＋y 2B ＝73p ≠|OF |，故B不正确；对于C ，由抛物线的定义及选项A ，B 的分析， 得|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝1312p ＋p ＝2512p >2p ，即|AB |>4|OF |，故C 正确； 对于D ，易知|OA |＝334p ，|AM |＝54p ， |OB |＝73p ，|BM |＝103p ， 则cos ∠OAM ＝|OA |2＋|AM |2－|OM |22|OA |·|AM |＝3316p 2＋2516p 2－p 22×334p ·54p＝21533>0，cos ∠OBM ＝|OB |2＋|BM |2－|OM |22|OB |·|BM |＝79p 2＋109p 2－p 22×73p ·103p＝470>0，所以∠OAM <90°，∠OBM <90°，所以∠OAM ＋∠OBM <180°，故D 正确．综上所述，选ACD.规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p 的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________． 答案 x ＝－32解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ， 所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C .若AB →＝2BF →，则线段BC 的中点到准线的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 由抛物线的方程可得焦点F (1,0)，渐近线的方程为x ＝－1，由AB →＝2BF →，可得|AB ||BF |＝2，由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE 垂直准线于点E ， 准线交x 轴于点N ，则|BF |＝|BE | ，故|AB ||BF |＝|AB ||BE |＝2，故∠ABE ＝π4 ， 而BE ∥x 轴，故∠AFN ＝π4，所以直线AB 的倾斜角为π4，所以直线AB 的方程为y ＝x －1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，整理可得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，所以BC 的中点的横坐标为3， 则线段BC 的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.专题强化练一、单项选择题1．(2022·中山模拟)抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝12x D ．y 2＝16x 答案 B解析 因抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则p >0，抛物线准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义得1－⎝⎛⎭⎫－p2＝3，解得p ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±24x B ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 A解析 因为双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，所以由m ＋1＝32，得m ＝8， 所以双曲线方程为x 28－y 2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±24x .3．(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．3 2 答案 B解析 方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝22，故选B. 方法二 由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2， 所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4， 所以AF 的长为通径长的一半， 所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.故选B.4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，F 到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )A.53B.54C.43D.45 答案 B解析 点F (0，c )到渐近线y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0的距离d ＝|±bc |a 2＋b 2＝b ＝12， 又由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝36，a 2＋122＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，c ＝20，所以e ＝c a ＝2016＝54.5．(2022·福州质检)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且满足AF 1⊥AB ，|AF 1||AB |＝43，则该椭圆的离心率是( )A.23B.53C.33D.63 答案 B解析 如图所示，设|AF 1|＝4x ，则|AB |＝3x ，因为AF 1⊥AB ，则|BF 1|＝|AB |2＋|AF 1|2＝5x ， 由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝4a ＝12x ，则x ＝a 3，所以|AF 1|＝4x ＝4a 3， 则|AF 2|＝2a －4a 3＝2a3，由勾股定理可得|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 则⎝⎛⎭⎫4a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 32＝4c 2，则c ＝53a ， 因此该椭圆的离心率为e ＝c a ＝53.6.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，则d 21＋d 22的最大值是( )A ．4B ．5 C.163 D.253答案 C解析 易知椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设P (x 0，y 0)， 因为l 1⊥l 2，则d 21＋d 22＝|PM |2＝x 20＋(y 0－1)2，因为x 204＋y 20＝1，所以d 21＋d 22＝4－4y 20＋(y 0－1)2＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋132＋163， 因为－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－13，即点P ⎝⎛⎭⎫±423，－13时，d 21＋d 22取得最大值163. 二、多项选择题7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F (0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则( )A ．椭圆的长轴长为4 2B ．|AB |的取值范围是[4,2＋22]C ．△ABF 面积的最小值是4D ．△AFG 的周长为4＋4 2 答案 ABD解析 由题意知，椭圆中的几何量b ＝c ＝2， 得a ＝22，则2a ＝42，A 正确； |AB |＝|OB |＋|OA |＝2＋|OA |， 由椭圆性质可知2≤|OA |≤22， 所以4≤|AB |≤2＋22，B 正确； 记∠AOF ＝θ， 则S △ABF ＝S △AOF ＋S △OBF＝12|OA |·|OF |sin θ＋12|OB |·|OF |sin(π－θ) ＝|OA |sin θ＋2sin θ ＝(|OA |＋2)sin θ， 取θ＝π6，则S △ABF ＝1＋12|OA |≤1＋12×22<4，C 错误；由椭圆定义知|AF |＋|AG |＝2a ＝42， 所以△AFG 的周长L ＝|FG |＋42＝4＋42， D 正确．8．(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A ．||P A 1|－|P A 2||＝2aB ．若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5 C ．若双曲线C 为等轴双曲线，则直线P A 1的斜率与直线P A 2的斜率之积为1D ．若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，则∠P A 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ，在△P A 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 可知||P A 1|－|P A 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，设F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎨⎧n m －c ×ba ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n2＝0，得⎩⎨⎧m ＝a 2－b 2c，n ＝2abc ，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意知该点在双曲线上，故(a 2－b 2)2a 2c 2－(2ab )2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2 代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，得e ＝5，故B 正确；对于C ，双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2， 则x 20－a 2＝y 20，故12·PA PA k k ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确； 对于D ，双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2， 设∠P A 1A 2＝θ，∠A 1P A 2＝3θ， 则∠P A 2x ＝4θ，根据C 的结论12·PA PA k k ＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1， ∴sin θcos θ·sin 4θcos 4θ＝1， ∴cos 5θ＝0， ∵θ＋3θ∈(0，π)， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴5θ＝π2，∴∠P A 1A 2＝θ＝π10.三、填空题9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为13.答案x 29＋y 28＝1(答案不唯一)解析 只要椭圆方程形如x 29m ＋y 28m ＝1(m >0)或y 29m ＋x 28m＝1(m >0)即可．10．(2022·淄博模拟)已知P 1，P 2，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，且F (0,1)．若FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝0，则|FP 1--→|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝________.答案 16解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，…，P 8(x 8，y 8),P 1，P 2，P 3，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，点F (0,1)，准线为y ＝－1，则FP i --→＝(x i ，y i －1)(i ＝1,2，…，8)，所以FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝(x 1＋x 2＋…＋x 8，(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1))＝0，所以(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1)＝0，即y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8＝8，∴|FP --→1|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋…＋(y 8＋1)＝y 1＋y 2＋…＋y 8＋8＝16.11．(2022·济南模拟)已知椭圆C 1：x 236＋y 2b 2＝1(b >0)的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，若P 是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为________．答案57解析 依题意，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线l 过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ，则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝cos ∠F 1PQ ＝|PQ ||PF 1|＝57. 12．(2022·福州质检)已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，A 为C 的右顶点，过F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，且与y 轴交于点P .若直线AM 经过OP 的中点，则C 的离心率是________．答案 2解析 由题意可知，F (－c ，0)，A (a ，0)，渐近线不妨设为y ＝－b ax ， 则k FM ＝a b， 直线FM 的方程为y ＝a b(x ＋c )， 令x ＝0，可得y ＝ac b， 则P ⎝⎛⎭⎫0，ac b ， 则OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，ac 2b ， 联立⎩⎨⎧ y ＝－b a x ，y ＝a b (x ＋c )，解得M ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ， 因为直线AM 经过OP 的中点，所以ac 2b －00－a ＝ab c －0－a 2c－a ，则2b 2＝ac ＋c 2,2(c 2－a 2)＝ac ＋c 2， 即c 2－ac －2a 2＝0，则e 2－e －2＝0，解得e ＝－1 (舍)或e ＝2.四、解答题13．(2022·衡水中学模拟)双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，求l 的斜率．解 (1)设A (x A ，y A )．由题意知，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为△F 1AB 是等边三角形， 所以2c ＝3|y A |，即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2⎝⎛⎭⎫b 2＝－23舍去. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .(2)由已知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k (x －2)，得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )． 由(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0， 知F 1M ⊥AB ，故1· 1.F M k k ＝－而x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，1F M k ＝3k 2k 2－3， 所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35， 故l 的斜率为±155.。

高考数学圆锥曲线考点及解题思想圆锥曲线部分对于计算能力不好的同学，是相当不友好的。

高考考察的项目之一就是计算能力。

对于平时懒得动笔，一看就会，一做就错的同学来讲，这部分很难拿到满分。

可以这样讲，高考考的就是学习定力，做一道题会一道题的定力，做一类进行总结归纳会一个模块的能力。

高三二轮复习时，就要打通自己的各个督脉，达到知识体系的融汇贯通。

高考数学考不到140+都很难。

高考数学圆锥曲线的考点直线与圆锥曲线的位置关系：包括直线与圆锥曲线相交、相切、相离等位置关系的判断和求解。

圆锥曲线与圆的位置关系：包括圆与圆锥曲线相交、相切、相离等位置关系的判断和求解。

圆锥曲线的参数方程：包括椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，以及如何利用参数方程进行圆锥曲线的作图和性质求解。

极坐标与参数方程：包括极坐标系的基本概念、极坐标方程的表示方法、极坐标系与直角坐标系之间的转换，以及极坐标方程与参数方程之间的转换。

圆锥曲线中的最值问题：包括在给定条件下求圆锥曲线的最值，如最短弦、最大面积等。

圆锥曲线与其他知识点的综合：包括圆锥曲线与函数、数列、不等式、向量（法向量）、导数等知识点的综合考察是一个大趋势。

这些知识点本身要求逻辑思维较强，正好弥补圆锥曲线逻辑思维弱，计算量大的缺点。

圆锥曲线部分解题思想和思路圆锥曲线解题关键：寻找等量关系，联立方程组求解。

韦达定理法：适用解决直线和曲线的相交问题，对交点设而不求，通过韦达定理实现转化。

设而不求法：常用于解决直线与圆锥曲线的相交问题，通过设直线方程，将问题转化为韦达定理，从而求出中点坐标、弦长等。

设而不求的本质是将点转化成二次方程系数的关系。

点差法：适用解决弦中点问题，对端点设而不求，通过点差法实现转化。

齐次方程法：适用解决离心率、渐近线、夹角等比值问题，通过比值关系建立方程。

距离转化法：适用将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化为直线上的问题。

利用函数关系求最值：通过找出求最大时的形式，化简函数求最值。