新人家A版高考数学一轮复习：圆锥曲线的综合问题

第二课时 圆锥曲线的综合应用考点一 最值范围问题|(2015·高考浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.(1)最值问题的求解方法：①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值． ②建立不等式模型，利用基本不等式求最值． ③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值． (2)求参数范围的常用方法：①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． ②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． ③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． ④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点在y 轴上，抛物线上的点(x 0,1)到焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过直线l ：y ＝x －2上的动点P (除(2,0))作抛物线C 的两条切线，切抛物线于A ，B 两点．①求证：直线AB 过定点Q ，并求出点Q 的坐标；②若直线OA ，OB 分别交直线l 于M ，N 两点，求△QMN 的面积S 的取值范围． 解：(1)由已知条件得1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1＋p2＝2， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ′＝x2，A 处切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，又∵4y 1＝x 21，∴y ＝x 12x －x 214，a同理B 处切线方程为y ＝x 22x －x 224，bab 联立可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.直线AB 的斜率显然存在，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4m ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，即P (2k ，－m )， ∵P 在直线l ：y ＝x －2上， ∴m ＝－2k ＋2，即AB 直线为y ＝k (x －2)＋2， ∴直线AB 过定点Q (2,2)． ②∵O 不会与A ，B 重合．定点Q (2,2)到直线l ：y ＝x －2的距离h ＝ 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，⇒x M ＝2x 1x 1－y 1＝84－x 1，同理得x N ＝2x 2x 2－y 2＝84－x 2.∴|MN |＝2|x M －x N |＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－x 1－14－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2(4－x 1)(4－x 2)＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 2＋16m －4m －16k ＋16. ∵m ＝－2k ＋2，∴|MN |＝42·(k －1)2＋1|k －1|＝4 21＋1(k －1)2.∴S △QMN ＝12|MN |·h ＝41＋1(k －1)2∈(4，＋∞)． 考点二 定点最值问题|已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y Bx B＝－12， 即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系．(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时， 可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时， 此时|AB |＝3，|CD |＝4； 或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712. 考点三 探索存在性与证明问题|(2015·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．解决存在性问题注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．3．(2015·高考安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是线段AC 的中点知， 点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b2， 可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .A 组 考点能力演练1.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 2．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知|MN |＝8，且|PM |＝2|MF |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A ，B ，求证：∠AFM ＝∠BFN ； (3)求三角形ABF 面积的最大值． 解：(1)∵|MN |＝8，∴a ＝4，又∵|PM |＝2|MF |得a 2c －a ＝2(a －c )，即2e 2－3e ＋1＝0⇒e ＝12或e ＝1(舍去)．∴c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)当AB 的斜率为0时，显然∠AFM ＝∠BFN ＝0.满足题意． 当AB 的斜率不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 方程为x ＝my －8，代入椭圆方程整理得： (3m 2＋4)y 2－48my ＋144＝0，则Δ＝(48m )2－4×144(3m 2＋4)，y 1＋y 2＝48m 3m 2＋4，y 1·y 2＝1443m 2＋4. ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1－6＋y 2my 2－6＝2my 1y 2－6(y 1＋y 2)(my 1－6)(my 2－6)＝0，∴k AF ＋k BF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN . 综上可知：恒有∠AFM ＝∠BFN .(3)S△ABF ＝S△PBF －S△P AF＝12|PF |·|y 2－y 1|＝72m 2－43m 2＋4＝72m 2－43(m 2－4)＋16＝723m 2－4＋16m 2－4≤7223·16＝3 3. 当且仅当3m 2－4＝16m 2－4即m 2＝283(此时适合Δ>0的条件)取得等号．三角形ABF 面积的最大值是3 3.3．已知点A ，B ，C 是抛物线L ：y 2＝2px (p >0)上的不同的三点，O 为坐标原点，直线OA ∥BC ，且抛物线L 的准线方程为x ＝－1.(1)求抛物线L 的方程；(2)若三角形ABC 的重心在直线x ＝2上，求三角形ABC 的面积的取值范围．解：(1)抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)设直线OA ，BC 的方程分别为y ＝kx 和y ＝kx ＋b (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x联立消去y 得k 2x 2＝4x ， 解得点A 的坐标为A ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k . 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0.Δ＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝16－16kb >0，即kb <1. 又由韦达定理可得x 1＋x 2＝4－2kb k 2，∴三角形ABC 的重心的横坐标为4k 2＋4－2kb k 23＝8－2kb 3k 2＝2，化简得b ＝4－3k 2k ，代入kb <1可得k 2>1.又三角形ABC 的面积为 S ＝12×k 2＋1×16－16kbk 2×|b |1＋k 2＝|2b |1－kb k 2＝2|4－3k 2|k 2|k |×3k 2－3＝2⎪⎪⎪⎪4k 2－3 3－3k2. 令t ＝1k2，则S ＝23×(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)．考虑函数f (t )＝(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)， 则易得函数f (t )在⎝⎛⎭⎫0，34和⎝⎛⎭⎫1112，1上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫34，1112上单调递增，且f (0)＝9，f ⎝⎛⎭⎫34＝0，f ⎝⎛⎭⎫1112＝127， ∴△ABC 的面积的取值范围是(0,63)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k， 即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .a ．求|OQ ||OP |的值；b ．求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1， 又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. a ．设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. b ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0<t≤1，因此S＝2(4－t)t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时，S取得最大值23，由a知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。

时间：45分钟 满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·襄樊一模)若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则|P A |＋|PF |取得最小值时，点P 的坐标是( )A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(2,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：如图，点A 在抛物线内部．由抛物线定义知：|PF |等于P 到准线x ＝－12的距离．根据几何关系易知|P A |＋|PF |的最小值是由A 点向抛物线的准线x ＝－12作垂线(B 为垂足)时垂线段AB 的长度．从而求得AB 与抛物线的交点为(2,2)．故选C.答案：C2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)． ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：D3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1) C ．(12，23)D ．(0，12)解析：由题意，B (c ，b 2a )， ∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －ca ＝1－e ，∴13＜1－e ＜12，∴12＜e ＜23. 答案：C4．已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线(斜率存在)交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3，0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56.答案：B5．已知椭圆C的方程为x216＋y2m2＝1(m＞0)，如果直线y＝22x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为() A．2 B．2 2C．8 D．2 3解析：根据已知条件c＝16－m2，则(16－m2，2216－m2)在椭圆x216＋y2m2＝1(m＞0)上，∴16－m216＋16－m22m2＝1，可得m＝2 2.答案：B6．(2014·衡水模拟)下列说法正确的是()A．在△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x ＝2B．方程y＝x2(x≥0)的曲线是抛物线C．已知平面上两定点A、B，动点P满足|P A|－|PB|＝12|AB|，则P点的轨迹是双曲线D．第一、三象限角平分线的方程是y＝x解析：选项A符合曲线与方程的概念(1)曲线上所有点的坐标均是这个方程的解，不符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点．选项B符合(2)但不符合(1)．选项C符合(2)但不符合(1)．选项D符合(1)、(2)．故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，令x＝c，则|y|＝b2a，由题意得|PF2|＝b 2a ，又∵|F 1F 2|＝|PF 2|，∴2c ＝b 2a .∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋2ac －c 2＝0， ∴e 2＋2e －1＝0，解之得e ＝－1±2， 又∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1. 答案：2－18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析：设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)、F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1).P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4(x －18)2－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案：－29．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 为该抛物线上两点，若F A →＋2FB →＝0，则|F A →|＋2|PB →|＝________.解析：过A ，B 两点分别作准线的垂线， 再过B 作AC 的垂线，垂足为E ， 设BF ＝m ，则BD ＝m ， ∵F A →＋2FB →＝0， ∴AC ＝AF ＝2m ，如图，在直角三角形ABE 中， AE ＝AC －BD ＝2m －m ＝m ， AB ＝3m ，∴cos ∠BAE ＝AE AB ＝13，∴直线AB 的斜率为：k ＝tan ∠BAE ＝22， ∴直线AB 的方程为：y ＝22(x －1)，将其代入抛物线的方程化简得：2x 2－5x ＋2＝0， ∴x 1＝2，x 2＝12，∴A (2,22)，B (12，－2)，又F (1,0)， 则|F A →|＋2|FB →|＝1＋8＋2(12)2＋2＝6.答案：610．(2013·浙江)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．解析：设直线l 的斜率等于k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则有x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝4k 2－2，因此可得Q (2k 2－1，2k )，因F (1,0)，由|FQ |＝2，则有(2k 2－2)2＋(2k )2＝4，∴k 2＝1，k ＝±1.答案：±1三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1.解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知c a＝2 2，2a＋2c＝4(2＋1)，所以a＝22，c＝2，又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x2m2－y2m2＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2.因此双曲线的标准方程为x24－y24＝1.(2)证明：设P(x0，y0)，则k1＝y0x0＋2，k2＝y0x0－2.因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x20－y20＝4.因此k1k2＝y0x0＋2·y0x0－2＝y20x20－4＝1，即k1k2＝1.12．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(Ⅰ)求M 的方程；(Ⅱ)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3. 因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533＜n ＜3)， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2. 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.13．(2014·威海市模拟)已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过A (－2,0)、B (1，32)两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若椭圆E 的左、右焦点分别是F 、H ，过点H 的直线l ：x ＝my ＋1与椭圆E 交于M 、N 两点，则△FMN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵椭圆E 经过A (－2,0)、B (1，32)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝11a 2＋94b 2＝1，∴a 2＝4，b 2＝3∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＜0， 如图，设△FMN 的内切圆的半径为R ，则S △FMN ＝12(|MN |＋|MF |＋|NF |)R ＝12[(|MF |＋|MH |)＋(|NF |＋|NH |)]R ＝4R 当S △FMN 最大时，R 也最大，△FMN 的内切圆的面积也最大， 又S △FMN ＝12|FH ||y 1|＋12|FH ||y 2|，|FH |＝2c ＝2∴S △FMN ＝|y 1|＋|y 2|＝y 1－y 2 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则Δ＝(6m )2＋4×9(3m 2＋4)＞0恒成立，y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4∴y 1－y 2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－6m 3m 2＋4)2－4×－93m 2＋4＝12m 2＋13m 2＋4∴S △FMN ＝12m 2＋13m 2＋4设m 2＋1＝t ，则t ≥1，且m 2＝t －1， ∴S △FMN ＝12t 3(t －1)2＋4＝12t3t 2＋1，设f (t )＝12t3t 2＋1，则f ′(t )＝12－36t 2(3t 2＋1)2，∵t ≥1，∴f ′(t )＜0，∴函数f (t )在[1，＋∞)上是单调减函数， ∴f max (t )＝f (1)＝3，即S △FMN 的最大值是3 ∴4R ≤3，R ≤34，即R 的最大值是34，∴△FMN 的内切圆的面积的最大值是9π16，此时，m ＝0，直线l 的方程是x ＝1.。

8.7 圆锥曲线的综合问题●知识梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带,它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识。

反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的。

具体来说,有以下三方面：（1)确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口。

（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化,即从一知识转化为另一知识.(3）解析几何与其他学科或实际问题的综合,主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题。

在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量"，不仅有大小还有符号.●点击双基1。

设abc ≠0，“ac 〉0”是“曲线ax 2+by 2=c 为椭圆”的A 。

充分不必要条件B 。

必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：ac 〉0曲线ax 2+by 2=c 为椭圆.反之成立。

答案：B2.到两定点A （0，0),B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是A.椭圆 B 。

AB 所在直线C.线段ABD.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB ：y =34x ，其中0≤x ≤3.答案：C3.若点(x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y 的最小值为 A 。

1 B 。

－1C 。

－323 D 。

以上都不对 解析：2-x y的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率。

第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12， 设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ， 则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。

9.5 圆锥曲线的综合问题一、选择题1.(2021浙江,9,4分)已知a,b ∈R,ab>0,函数f(x)=ax 2+b(x ∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是( ) A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线 答案 C 由题意知f(s)=as 2+b,f(s-t)=a(s-t)2+b=(as 2+b)+at(t-2s),f(s+t)=a(s+t)2+b=(as 2+b)+at(t+2s), ∵f(s -t),f(s),f(s+t)成等比数列,∴f(s -t)·f(s+t)=f 2(s)⇒[(as 2+b)+at(t-2s)][(as 2+b)+at(t+2s)]=(as 2+b)2⇒at(as 2+b)(t-2s+t+2s)+a 2t 2(t 2-4s 2)=0⇒2at 2(as 2+b)+a 2t 2(t 2-4s 2)=0,(*) ①当t=0时,s ∈R,故(s,t)的轨迹为一条直线; ②当t ≠0时,(*)式可化为2as 2+2b+at 2-4as 2=0, 即2as 2-at 2=2b,因为ab>0,所以s 2-t22=b a>0,故(s,t)的轨迹为双曲线,故选C.二、解答题2.(2022届广西开学考,22)设双曲线x 23-y 2=1的右焦点为F,过F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点.(1)若直线AB 与x 轴不垂直,求直线的斜率的取值范围; (2)求AB 中点的轨迹方程.解析 (1)由题知F(2,0),设直线AB 的方程为y=k(x-2),代入方程x 23-y 2=1,得(3k 2-1)x 2-12k 2x+12k 2+3=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{x 1+x 2=12k 23k 2-1>0,x 1x 2=12k 2+33k 2-1>0,Δ=144k 4-4(3k 2-1)(12k 2+3)=12k 2+12>0, 所以k ∈(-∞,-√33)∪(√33,+∞).(2)设AB 中点坐标为(x 0,y 0),若直线AB 的斜率存在,x 0=x 1+x 22=6k 23k 2-1,y 0=y 1+y 22=k(x 0-2)=2k 3k 2-1,消去k 得,(x 0-1)2-3y 02=1,此时x 0=6k 2-2+23k 2-1=2+23k 2-1>2,所以AB 中点的轨迹方程为(x-1)2-3y 2=1(x>2);若直线AB 的斜率不存在,则x 0=2,y 0=0,满足(x-1)2-3y 2=1.综上,AB 中点的轨迹方程为(x-1)2-3y 2=1(x ≥2).3.(2022届山西怀仁一中期中,21)已知点A(-2,0),B(2,0),设动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为-34,记动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的方程;(2)若动直线l 经过点(1,0),且与曲线E 交于C,D(不同于A,B)两点,问:直线AC 与BD 的斜率之比是不是定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解析 (1)设P(x,y),由题意可得k PA ·k PB =-34,所以y x+2·y x -2=-34(x ≠±2),所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2). (2)由题意知,可设直线l:x=my+1,C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由{x =my +1,x 24+y 23=1(x ≠±2),可得(3m 2+4)y 2+6my-9=0,则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,因为直线AC 的斜率k 1=y 1x 1+2,直线BD 的斜率k 2=y 2x 2-2,且my 1y 2=32(y 1+y 2),所以k 1k 2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(my 2-1)y 2(my 1+3)=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32(y 1+y 2)-y 132(y 1+y 2)+3y2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13,所以直线AC 和BD 的斜率之比为定值13. 4.(2021四省八校调研,20)已知圆锥曲线E:√(x -1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=4,经过点Q(-4,4)的直线l 与E 有唯一公共点P,定点R(-1,0). (1)求曲线E 的标准方程;(2)设直线PR,QR 的斜率分别为k 1,k 2,求k 1k 2的值.解析 (1)由√(x -1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=4可得,点(x,y)到定点(-1,0),(1,0)的距离的和为4.由椭圆的定义可知动点(x,y)的轨迹即圆锥曲线E 是以(-1,0),(1,0)为左、右焦点,2a=4为长轴长的椭圆(此处必须由定义说明圆锥曲线的类型),则其长半轴长a=2,则短半轴长b=√22-12=√3,故曲线E 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)由题意得过点Q(-4,4)的直线l 的斜率存在,设为k,则直线l 的方程为y-4=k(x+4),即y=kx+4+4k, 代入x 24+y 23=1,整理,得(3+4k 2)x 2+32(k+1)kx+64k 2+128k+52=0(※).∵l 与E 仅有一个公共点,∴Δ=1024(k+1)2k 2-4(3+4k 2)(64k 2+128k+52)=0,即12k 2+32k+13=0.解得k=-12或k=-136.(k 的值有两个,需分两种情况求解)设P(x 0,y 0),当k=-12时,方程(※)为x 2-2x+1=0,得x 0=1,∴y 0=32,∴k 1=34,又k 2=-43,∴k 1k 2=-1.当k=-136时,方程(※)为49x 2+182x+169=0,得x 0=-137,∴y 0=-914,∴k 1=34,又k 2=-43,∴k 1k 2=-1.综上所述,k 1k 2的值为-1.5.(2022届甘肃名校月考,21)已知F 1,F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,|F 1F 2|=6,当P 在E 上且PF 1垂直于x 轴时,|PF 2|=7|PF 1|. (1)求E 的标准方程;(2)A 为E 的左顶点,B 为E 的上顶点,M 是E 上第四象限内一点,AM 与y 轴交于点C,BM 与x 轴交于点D.求证:四边形ABDC 的面积是定值.解析 (1)由题意知|PF 1|=b2a ,|PF 2|+|PF 1|=2a,|PF 2|=7|PF 1|,则8|PF 1|=2a,所以a=2b,又c=3,a 2=b 2+c 2,∴a=2√3,b=√3, ∴E 的标准方程是x 212+y 23=1.(2)证明:由题意知A(-2√3,0),B(0,√3),设M(m,n),C(0,t),D(s,0),因为A,C,M 三点共线,所以设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得t=2√3n m+2√3,又B,D,M 三点共线,所以设BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得s=-√3m n -√3. 易知,|AD|=s+2√3,|BC|=√3-t,m 212+n 23=1,所以|AD|·|BC|=√3s-2√3t-st+6=-n -√3-m+2√3+(n -√3)(m+2√3)+6=-√3m √3n+36(m+2√3)(n -√3)+(n -√3)(m+2√3)+6=√3)(n √3)(n -√3)(m+2√3)+6=12.所以四边形ABDC 的面积为12|AD|·|BC|=6.故四边形ABDC 的面积是定值.6.(2022届长春外国语学校期中,21)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+√2=0与以原点为圆心,以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)设M 是椭圆的上顶点,过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A,B 两点,设两直线的斜率分别为k 1,k 2,且k 1+k 2=4,证明:直线AB 过定点,并求出该定点.解析 (1)易知,等轴双曲线的离心率为√2,故椭圆C 的离心率e=√22.∵e 2=c 2a 2=a 2-b 2a2=12,∴a 2=2b 2.由x-y+√2=0与圆x 2+y 2=b 2相切,得√2√2=b,故b=1,∴a 2=2.∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)已知M(0,1).当直线AB 的斜率不存在时,设方程为x=x 0(x 0≠0),A(x 0,y 0),B(x 0,-y 0).由k 1+k 2=4,得y 0-1x 0+-y 0-1x 0=4,即x 0=-12.此时直线AB 的方程为x=-12.当直线AB 的斜率存在时,设AB 的方程为y=kx+m,依题意知m ≠±1.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{y =kx +m,x 22+y 2=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0.则x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-21+2k 2.由k 1+k 2=4,得y 1-1x 1+y 2-1x 2=4,∴kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=4,即2k+(m-1)x 1+x2x 1x 2=4, ∴k -km m+1=2,∴k=2(m+1),∴m=k 2-1.故直线AB 的方程为y=kx+k 2-1,即y=k (x +12)-1.∴直线AB 过定点(-12,-1).综上,直线AB 过定点(-12,-1).7.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴长与短轴长之比为2,过点P(0,2√5)且斜率为1的直线与椭圆E 相切. (1)求椭圆E 的方程;(2)过点T(2,0)的直线l 与椭圆E 交于A,B 两点,与直线x=8交于H 点,若HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BT ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:λ1+λ2为定值.解析 (1)由题意知,a b =2,a=2b,切线方程为y=x+2√5.设椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1,联立得{y =x +2√5,x 24b 2+y 2b 2=1,整理得5x 2+16√5x+80-4b 2=0,则Δ=0,即(16√5)2-20(80-4b 2)=0,则b 2=4,∴椭圆方程为x 216+y 24=1.(2)由题意知,直线l 的斜率一定存在.当直线l 的斜率为零时,易得λ1+λ2=0;当直线l 的斜率不为零时,设直线l:x=ty+2(t ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x =ty +2,x 2+4y 2=16,得(t 2+4)y 2+4ty-12=0,则y 1+y 2=-4t t 2+4,y 1y 2=-12t 2+4,直线l:x=ty+2,令x=8,则y=6t ,即H 8,6t .∵HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-8,y 1-6t ),AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x 1,-y 1),HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x 1-8=λ1(2-x 1),y 1-6t =-λ1y 1,∴1-6ty 1=-λ1,同理可得,1-6ty 2=-λ2,∴-λ1-λ2=1-6ty 1+1-6ty 2=2-6(y 1+y 2)ty 1y 2=2--24t t 2+4·t 2+4-12t=0.综上,λ1+λ2=0.8.(2021皖南八校第三次联考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆交于A,B两点,当直线l ⊥x 轴时,|AB|=√2,tan ∠AOB=2√2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l'⊥l,直线l'与直线l 、x 轴、y 轴分别交于M 、P 、Q,当点M 为线段AB 中点时,求PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.解析 (1)由题意可知F(-c,0).当直线l ⊥x 轴时,|AB|=2b 2a =√2,tan ∠AOB=2tan ∠AOF1-tan 2∠AOF =2√2,解得tan ∠AOF=√22或-√2,∵∠AOF ∈(0,π2),∴tan∠AOF=√22=|AF||FO|=b 2a c,得b=c=1,a=√2,故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),依题意直线l 的斜率一定存在且不为零,设l:y=k(x+1),由{y =k(x +1),x 22+y 2=1,消去y 得(2k 2+1)x 2+4k 2x+2k 2-2=0,则x 1+x 2=-4k 22k 2+1,则y 1+y 2=k(x 1+x 2+2)=2k 2k 2+1.故M (-2k 22k 2+1,k2k 2+1),直线l':y-k 2k 2+1=-1k (x +2k 22k 2+1),令y=0,则P (-k22k 2+1,0),∵PM⊥MF,OQ ⊥PO,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2|PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-k 22k 2+1--2k 22k 2+1)2+(0-k 2k 2+1)2(-k 22k 2+1)2=k 2+1k 2=1+1k 2,∵k 2∈(0,+∞),∴1+1k2∈(1,+∞), ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(1,+∞). 9.(2022届四川内江六中月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于A,B 两点,△AOB 的面积为2√2,点P 为椭圆C 的下顶点,|PF 2|=√2|OP|. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交椭圆C 于M,N 两点,求|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围.解析 (1)因为△OPF 2为直角三角形,所以b 2+c 2=|PF 2|2=(√2b)2,故b=c,又S △AOB =12·2b 2a ·c=b 2c a=2√2,所以b 2c=2√2a,又a 2=b 2+c 2,所以b 3=2√2·√b 2+c 2=4b,故b 2=4,所以a 2=b 2+c 2=4+4=8,故椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1. (2)由题意得F(1,0),M,N,F 三点共线,所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=||FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosπ|=|FM|·|FN|.若直线l 斜率为零,则|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|=(a-1)(a+1)=7;若直线l 斜率不为零,设直线l 的方程为x=my+1,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则{x =my +1,x 28+y 24=1,消去x 得(m 2+2)y 2+2my-7=0,所以y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-7m 2+2,则|FM|=√(x 1-1)2+y 12=√(my 1+1-1)2+y 12=√m 2+1|y 1|,同理|FN|=√m 2+1·|y 2|,所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|=(m 2+1)|y 1y 2|=(m 2+1)·7m 2+2=7(m 2+2)-7m 2+2=7-7m 2+2,因为m 2+2≥2,所以0<7m 2+2≤72,所以72≤7-7m 2+2<7.综上,|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|∈[72,7]. 10.(2022届黑龙江大庆月考,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,其离心率为12.椭圆E 的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4. (1)求椭圆E 的方程;(2)过F 1的直线与椭圆相交于C,D(不与顶点重合),过右顶点B 分别作直线BC,BD 与直线x=-4相交于N,M 两点,以MN 为直径的圆是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.解析 (1)由题意得,c a =12,|AB|=2a=4,∴a=2,c=1,b=√a 2-c 2=√3,∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)恒过定点(-7,0)和(-1,0).由(1)知F 1(-1,0),B(2,0),由题意得,直线CD 的斜率不为0,设直线CD 的方程为x=my-1,代入椭圆E 的方程x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2-6my-9=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则y 1+y 2=6m 3m 2+4①,y 1y 2=-93m 2+4②.直线BC:y=y 1my 1-3(x-2),令x=-4,可得N -4,-6y 1my 1-3,同理M (-4,-6y 2my 2-3),∴以MN 为直径的圆的方程为(x+4)(x+4)+y+6y 1my 1-3(y +6y 2my 2-3)=0,即x 2+8x+16+y 2+6y 1my 1-3+6y 2my 2-3y+36y 1y 2(my 1-3)(my 2-3)=0③,由①②得y 1+y 2=-23my 1y 2,代入③得圆的方程为x 2+8x+7+y 2-6my=0.若圆过定点,则{y =0,x 2+8x +7=0,解得{x =-1,y =0或{x =-7,y =0,∴以MN 为直径的圆恒过点(-7,0)和(-1,0).12.(2022届湘豫名校联盟11月联考,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63,其左,右焦点为F 1,F 2,P为椭圆E 上任意一点,P 点到原点O 的距离的最小值为1. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l:y=kx+m 与椭圆E 交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且x 12+x 22=3,是否存在这样的直线l 与圆x 2+y 2=1相切?如果存在,直线l 有几条?如果不存在,请说明理由. 解析 (1)由题意知,e=√63,所以b 2a2=1-e 2=13,即a 2=3b 2,易知|PO|2∈[b 2,a 2],所以b 2=1,故椭圆E 的标准方程为x 23+y 2=1. (2)联立{y =kx +m,x 2+3y 2=3,整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2-3=0.所以x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1·x 2=3m 2-33k 2+1. 因为x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=3,所以化简得12k 2m 2-2(m 2-1)·(3k 2+1)=(3k 2+1)2,即2m 2·(3k 2-1)=(3k 2+1)·(3k 2-1),所以3k 2-1=0或3k 2+1=2m 2,又直线l:y=kx+m 与圆x 2+y 2=1相切,所以√1+k2=1,即k 2+1=m 2.当3k 2-1=0时,解得k 2=13,m 2=43,直线l 的方程为y=±√33x±2√33;当3k 2+1=2m 2时,解得k 2=1,m 2=2,直线l 的方程为y=±x±√2.综上所述,存在满足题设条件的直线,且直线l 有八条.13.(2022届江西月考,21)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为θ(θ≠π2)的直线,交抛物线于A,B 两点,当θ=π3时,以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T(0,√3).(1)求抛物线的方程;(2)试问在x 轴上是否存在异于F 点的定点P,使得|FA|·|PB|=|FB|·|PA|成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)取FA 的中点C,过C 作CE ⊥x 轴于E,连接CT.因为以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T(0,√3),所以CT ⊥y 轴于T,故|CE|=|OT|=√3,因为θ=π3,即∠CFE=π3,所以|CF|=2,|EF|=1,所以C 1+p 2,√3,所以A (2+p 2,2√3),故(2√3)2=2p ·(2+p 2),又p>0,所以p=2,故抛物线的方程为y 2=4x.(2)设P(x 0,0)(x 0≠1),且F(1,0),由题意可知直线FA 的斜率不为0,故设直线FA:x=my+1,联立{x =my +1,y 2=4x,整理得y 2-4my-4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1y 2=-4.易知|FA||FB|=|y 1||y 2|,|PA||PB|=√10212√20222,因为|FA|·|PB|=|FB|·|PA|,即|FA||FB|=|PA||PB|,所以|y 1||y 2|=√(x 1-x 0)2+(y 1-0)2(x 2-x 0)2+(y 2-0)2,两边同时平方可得y 12y 22=y 12+(x 1-x 0)2y 22+(x 2-x 0)2,又因为y 12=4x 1,y 22=4x 2,所以y 12y 22=y 12+(y 124-x 0)2y 22+(y 224-x 0)2,化简整理可得(y 12-y 22)x 02=y 12y 22(y 12-y 22)16,所以x 02=y 12y 2216=(y 1y 2)216=1,所以x 0=±1,因为点P 异于点F,所以x 0=-1,故点P(-1,0).14.(2021山西太原二模,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,直线l:x=23与椭圆C 相交于D,E 两个不同点,直线DA 与直线DB 的斜率之积为-14,△ABD 的面积为4√23.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点P 是直线l:x=23的一个动点(不在x 轴上),直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q,过P 作BQ 的垂线,垂足为M,在x 轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设D (23,y 0),由题意得{k DA ·k DB =y 023+a ·y 023-a =-14,12×2a ×|y 0|=4√23,49a 2+y 02b 2=1,∴{b 2=1,a 2=4, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)假设存在这样的点N,设直线PM 与x 轴相交于点T(x 0,0),由题意得TP ⊥BQ,由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P (23,t),t ≠0,Q(x 1,y 1),由题意可设直线AP 的方程为x=my-2,由{x =my -2,x 24+y 2=1得(m 2+4)y 2-4my=0,∴y 1=4m m 2+4或y 1=0(舍去),x 1=2m 2-8m 2+4,∵23=mt-2,∴t=83m ,∵TP⊥BQ,∴TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23-x 0)(x 1-2)+ty 1=0,∴x 0=23+ty 1x 1-2=23+83m ·4m m 2+4·m 2+4-16=0, ∴直线PM 过定点T(0,0), ∴存在定点N(1,0),使得|MN|=1.。

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二弦长问题设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2 由中点弦解决对称问题例4 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)， 所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞) 答案 B 解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a|>3，所以e ＝ 1＋b 2a2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ， 消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)， 所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝－1＋42－ 3(1－1m2)， 由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y＝ 3. 因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2).当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)231 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。

第9节圆锥曲线的综合问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2•了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.I基础摻斷回归教材，夯丈基础知识梳理1 •直线与圆锥曲线的位置关系判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线I的方程Ax+ By+ C = 0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x, y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，消去y, 得ax2+ bx+ c—0.Ax+ By+ C—0,F (x, y)—0(1) 当a^ 0时，设一元二次方程ax2+ bx+ c—0的判别式为△,贝U A> 0?直线与圆锥曲线C相交;A—0?直线与圆锥曲线C相切;Av0?直线与圆锥曲线C相离.⑵当a—0, b M0时，即得到一个一次方程，则直线I与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线I与双曲线的渐近线的位置关系是平—行；若C为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2 •圆锥曲线的弦长设斜率为k(k M 0)的直线I与圆锥曲线C相交于A, B两点，A(x i, y i), B(X2, y2), 则|AB|—,1+ k2x i —X2|—.1 + k2• (x i+ x2)2—4x1x2—j+1 y—y2i —1+k2 - (y1 + y2)2—4y1y2.［常用结论与微点提醒］判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1) 直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2) 直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.诊断自测1. 思考辨析(在括号内打“V”或“X”)(1) 直线I与椭圆C相切的充要条件是：直线I与椭圆C只有一个公共点.()(2) 直线I与双曲线C相切的充要条件是：直线I与双曲线C只有一个公共点.()(3) 直线I与抛物线C相切的充要条件是：直线I与抛物线C只有一个公共点.()(4) 如果直线x= ty+ a与圆锥曲线相交于A(x i，y i)，B(x2, y2)两点，则弦长AB|=一1 +t2|y i—y2|.()(5) 若抛物线C上存在关于直线I对称的两点，则需满足直线I与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式△> 0.()解析(2)因为直线I与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3) 因为直线I与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.(5)应是以I为垂直平分线的线段AB所在的直线I 与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式△> 0.答案(1)2 (2) X (3)X ⑷V (5) X2 22. 直线y= kx—k+ 1与椭圆倉+ 4 = 1的位置关系为()A .相交B .相切C.相离 D .不确定解析直线y= kx—k+1 = k(x—1)+ 1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.答案A3. 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2= 4x仅有一个公共点，这样的直线有()A. 1条B. 2条C. 3条D . 4条解析过(0,1)与抛物线y2= 4x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.答案C2 24 .若直线y= kx与双曲线鲁—y4 = 1相交，则k的取值范围是()A. 0, 3B. -3 0C. —3, 3D. —8,—3 U 3，+®2 2 3解析双曲线9—4 = 1的渐近线方程为y^^x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k€ —3, 3.答案C5.已知F1, F2是椭圆16x2+ 25y2= 1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1丄PF2，则△ F1PF2的面积为_____________ .解析由题意可得|PF11+ |PF2|= 2a = 20,|PF『+ |PF2|2= |F1F2|2= 4c2= 144 = (|PF1| + |PF2|)2—2|PF1| |PF2| = 202—2|PF1| |PF2|,解得|PF1| |PF2|= 128,1 1所以△ F1PF2 的面积为2|PF1| |PF2|= 128= 64.答案642 2x y 一6. (2018宁波检测)椭圆4 + 3 = 1的左焦点为F,直线x= m与椭圆相交于点A,B,当m= _________ 时，△ FAB的周长最大，此时△ FAB的面积是 _______ .2 2解析设椭圆4+ y3 = 1的右焦点为F',贝U F(—1, 0), F' ,10).由椭圆的定义和性质易知，当直线x= m过F，,10)时厶FAB的周长最大，此时1,把x= 1y= ±2，S^FAB = 2 |F1F2| AB | = |x 2X 3 = 3.1 得y2= 4,答案 1 3第1课时直线与圆锥曲线I考点突破I考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(2018温州模拟)已知A , B , C 是抛物线y 2 = 2px(p >0)上三个不同的点, 且AB 丄AC.(1) 若 A(1, 2), B(4,— 4),求点 C 的坐标；(2) 若抛物线上存在点D ，使得线段AD 总被直线BC 平分，求点A 的坐标. 解 (1)： A(1, 2)在抛物线上，二p = 2.设 C 4, t ，则由 k AB k Ac =— 1,得 t = 6,即 C(9, 6).(2)设 A(x o , y o ), B 2P , y 1 , c2p , y 2 , 则直线BC 的方程为(y 1 + y 2)y = 2px + y 〔y 2, 由 k AB k A 尸 一2 32 — 1,y 1 y O y 2 y O2p — 2p 2p — 2p得 y o (y 1 + y 2) + y 1y 2 + y o = — 4p 2,代入直线 BC 的方程，得(y 1 + y 2)(y + y o )= 2p(x — 2p — x o ), 故直线BC 恒过点E(x o + 2p ,— y o ),因此直线AE 的方程为y = — "(x — x o )+ y o , p代入抛物线的方程y 2= 2px(p > o),們一比’2p (x o + p )2p (x o + p )) I y o ' y o J因为线段AD 总被直线BC 平分, 2p (x o + p ) y o解得 x o = p , y o =±,2 (x o + 2p ) =x o + 2p (x0+p ) y o所以—2y o = y o —即点A的坐标为i p, =tp .规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆 锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含 X 2项的系数是否为 零的情况，以及判别式的应用•但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数 形结合的方法求解.2 2【训练1】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C i :£ + b ^= i (a > b > 0)的左焦 点为F i ( — 1，0)，且点P(0，1)在C i 上. (1) 求椭圆C i 的方程； (2) 设直线I 同时与椭圆C 1和抛物线C 2: y 2= 4x 相切，求直线I 的方程. 解 ⑴椭圆C 1的左焦点为F 1( — 1，0),二c = 1， 又点P(0，1)在曲线C 1 上, 0 1 2 2 2 二孑 + 孑二 1,得 b = 1,贝U a = b + c = 2， 2 所以椭圆C 1的方程为号+ y 2= 1. (2)由题意可知，直线I 的斜率显然存在且不等于0,设直线I 的方程为y = kx + m ， 消去 y ,得(1 + 2k 2)x 2 + 4kmx + 2m 2— 2 = 0.因为直线I 与椭圆C 1相切，所以△= 16k 2m 2 — 4(1 + 2k 2)(2m 2— 2) = 0.整理得2k 2— m 2+ 1= 0.①y = 4x , -- -由' 消去 y ,得 k x + (2km —4)x + m = 0.y= kx + m因为直线I 与抛物线C 2相切，所以 &= (2km — 4)2 — 4k 2m 2 = 0,整理得 km = 1.②.工「k =_综合①②，解得 2，或 2，m = . 2 m =— . 2.所以直线I 的方程为 y=fx +V 2或 y = — fx —V 2.考点二弦长问题-2X -+ y 2= 1 由 2+y 1,y = kx + m2【例2】(2017全国I 卷)设A , B 为曲线C : y = X ［上两点，A 与B 的横坐标之和 为4.(1)求直线AB 的斜率；⑵设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线 AB 平行，且AM 丄BM ，求直 线AB 的方程.解(1)设 A(x i ，y i )，B(X 2，y 2)，2X 2 , y 2= 4, X i + X 2= 4, 于是直线AB 的斜率k = yr » = X1-^= 1.X 1 — X 2 42(2) 由 y =X 4，得 y -2设M (X 3，y 3)，由题设知号=1，解得X 3 = 2，于是M(2，1).设直线AB 的方程为y =X + m ，故线段 AB 的中点为 N(2, 2+ m), |MN|=|m + 1|.2 X Q将 y =X + m 代入 y —才得 X 2 — 4X — 4m = 0.当△= 16(m + 1)>0，即 m>— 1 时，X 1, 2= 2i2,m + 1.从而 |AB|= 2|X 1 — X 2| = 4 2 ( m + 1).由题设知 AB| = 2|MN|,即卩 4 2 ( m + 1)= 2(m + 1),解得 m = 7.所以直线AB 的方程为x — y + 7 = 0.规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂 直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.2 2 1 【训练2】 已知椭圆字+ *= 1(a > b > 0)经过点(0 , 3),离心率为2左、右焦 点分别为 F 1( — c , 0), F 2(c , 0).则 X l MX , 2X1-43 . • AB|= . 1+ — 2 [l¥]m 2-4 (m 2— 3)]由辭字得 二直线I 的方程为 、:—2=i '解得 m = y =-仝+宁或 y =- 2x —±f,满足(*) •(1) 求椭圆的方程；i(2) 若直线I : y = — 2X + m 与椭圆交于A , B 两点，与以F i F 2为直径的圆交于C , D 两点，且满足jCD = ^^3 了「b = ■3,c i 解(i)由题设知-=2,a 2b 2 = a 2— c-,2 2•••椭圆的方程为x +卷=i.⑵由⑴知，以F i F 2为直径的圆的方程为x 2 + y 2= i ,•圆心到直线I 的距离d = 2叟，由d v 1,得 |m|< 申(*)••• |CD| = 2 i — d 2= 2 i — ：m 2 =设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2), f 1y = — 2x + m ,厶 /口 2 22 2 得 x — mx + m —3 = 0,|x +y = i4 十 3 ',由根与系数关系可得x i + X 2= m , x i x 2= m 2— 3.,求直线I 的方程.解得 a = 2, b = 3, c = 1,由」 5— 4m 2.2 —m .考点三中点弦问题【例3】设抛物线过定点A(- 1, 0),且以直线x= 1为准线.(1) 求抛物线顶点的轨迹C的方程；1(2) 若直线I与轨迹C交于不同的两点M , N,且线段MN恰被直线x=—㊁平分, 设弦MN的垂直平分线的方程为y= kx+ m,试求m的取值范围.解⑴设抛物线顶点为P(x, y),贝U焦点F(2x—1, y).再根据抛物线的定义得|AF| = 2,即(2x)2+ y2= 4,所以轨迹C的方程为x2+卷=1仪工1).[1 、⑵设弦MN的中点"4X M+ y M = 4,为P —2, y o ,M(X M , y M), N(X N, y N)，则由点M , N为椭圆C上的点，可知'9 2 ’.4X N + y N= 4.两式相减，得4(X M —X N)(X M + X N) + (y M —y N)(y M + y N) = 0, 将X M+X N = 2 X —1 =一1, y M + y N= 2y o,又点P—2, y o在弦MN的垂直平分线上,1所以y o= —2k+ m.所以m= y o + 2k= 4y o.「1 、 1由点P —2, y o在线段BB上(B‘，B为直线x= —2与椭圆的交点，如图所示), 所以y B’v y o v y B,也即一〔3v y o v 一3.21, ②规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式 中含有X 1 + X 2, y i + y 2,底2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率, 借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次 方程后，由根与系数的关系求解. 2 2E :予+器=1(a >b >0)的右焦点为F(3, 0),过点F 的 若AB 的中点坐标为(1,- 1),贝U E 的方程为()2 2 r x y / B — + —= 1 36 + 27 2 2x y / D — + 匚=1 D.18十 9 | 【训练3】⑴已知椭圆 直线交E 于A ，B 两点. 2 2 宀 + V-二 1A.45+36 2 2 CX 2+ y_ 二 1 C.27+18— 1 22—y_ x 3 点在抛物线y 2= 18x 上，则实数m 的值为 ⑵已知双曲线 1上存在两点M ，N 关于直线y =x + m 对称，且MN 的中解析(1)因为直线AB 过点F(3, 0)和点(1,- 1), 1 所以直线AB 的方程为y =3(x — 3), 2 2代入椭圆方程拿+治=1消去y , 2a 2 2 3 2 9 2 Z 2 得 4 +b x — 2a x +4a — a b = 0, 所以AB 的中点的横坐标为 3 22a莎匚1, 即 a 2= 2b 2，又 a 2= b 2 + c 2，所以 b = c = 3，a = 3.2，选 D. ⑵设 M(x 1, y 1), N(X 2,y 2), MN 的中点 P(x 0, y 0), x 2 — 2y 1= 3 = 1,由②一①得(X 2—x i )(x 2+x i )= 3(y 2—y i )(y 2+y i ),T M , N 关于直线y = X + m 对称，二k MN =— i ,…y o = 一 3x o .P …丄 -D rm 3m又• y o = x o + m , •• P 一a ，才,代入抛物线方程得i^m 2^ i8 •—乎, 解得m = 0或一 8,经检验都符合. 答案(i)D (2)0 或一8I 课乍业另层训练、提升能力基础巩固题组一、选择题1 .过抛物线y 2二2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A , B 两点，它们的横坐标 之和等于2,则这样的直线() A .有且只有一条 B .有且只有两条 C .有且只有三条D .有且只有四条解析•••通径2p = 2,又|AB 匸x i + X 2 + p ,二|AB|= 3>2p ,故这样的直线有且只 有两条. 答案 Bb x 22 2 .直线y =ax + 3与双曲线器=i(a > 0, b > 0)的交点个数是( )A . iB . 2C . i 或 2D . 0解析 因为直线y = b x + 3与双曲线的渐近线y =b x 平行，所以它与双曲线只有1a a 个交占I 八、、・ 答案 A 3.抛物线y = x 2到直线x — y —2= 0的最短距离为()显然 X l M X 2.二y 2 — y i y 2 + y iX 2 — X i X 2 +X =3,即 k MN $ = 3,A. 2B.7^C. 2 2 。

专练48高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1．[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3.2．[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为 5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．3.[2023·全国乙卷(理)]已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率为53，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．4．[2022·全国甲卷(理)，20]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3.(1)求C 的方程；(2)设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB 的方程．5.[2023·全国甲卷(理)]已知直线x －2y ＋1＝0与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝415.(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且FM →·FN →＝0，求△MFN 面积的最小值．6．[2022·新高考Ⅱ卷，21]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求C 的方程．(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为－3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |＝|MB |.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．7.[2022·全国乙卷(理)，20]已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT →＝TH →.证明：直线HN 过定点．8．[2022·新高考Ⅰ卷，21]已知点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率；(2)若tan ∠PAQ ＝22，求△PAQ 的面积．专练48高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用1．解析：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，依题意得|y |＝x 2＋（y －12）2，化简得x 2＝y －14，所以W 的方程为x 2＝y －14.(2)设矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 在W 上，则AB ⊥BC ，矩形ABCD 的周长为2(|AB |＋|BC |).设B (t ，t 2＋14)，依题意知直线AB 不与两坐标轴平行，故可设直线AB 的方程为y －(t 2＋14)＝k (x －t )，不妨设k >0，与x 2＝y －14联立，得x 2－kx ＋kt －t 2＝0，则Δ＝k 2－4(kt －t 2)＝(k －2t )2>0，所以k ≠2t .设A (x 1，y 1)，所以t ＋x 1＝k ，所以x 1＝k －t ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－t |＝1＋k 2|k －2t |＝1＋k 2|2t －k |，|BC |＝1＋（1－1k ）2|－1k －2t |＝1＋k 2k |1k ＋2t |＝1＋k 2k 2|2kt ＋1|，且2kt ＋1≠0，所以2(|AB |＋|BC |)＝21＋k 2k2(|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|).因为|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|k 2－2k ）t ＋k 3－1，t ≤－12kk －2k 2）t ＋k 3＋1，－12k ＜t ≤k 2k 2＋2k ）t －k 3＋1，t >k 2，当2k －2k 2≤0，即k ≥1时，函数y ＝(－2k 2－2k )t ＋k 3－1在(－∞，－12k]上单调递减，函数y ＝(2k －2k 2)t ＋k 3＋1在(－12k ，k2]上单调递减或是常函数(当k ＝1时是常函数)，函数y＝(2k 2＋2k )t －k 3＋1在(k2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝k2时，|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|取得最小值，且最小值为k 2＋1，又k ≠2t ，所以2(|AB |＋|BC |)＞21＋k 2k 2(k 2＋1)＝2（1＋k 2）32k 2.令f (k )＝2（1＋k 2）32k 2，k ≥1，则f ′(k )＝2（1＋k 2）12（k ＋2）（k －2）k3，当1≤k ＜2时，f ′(k )＜0，当k ＞2时，f ′(k )＞0，所以函数f (k )在[1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (k )≥f (2)＝33，所以2(|AB |＋|BC |)＞2（1＋k 2）32k 2≥3 3.当2k －2k 2＞0，即0＜k ＜1时，函数y ＝(－2k 2－2k )t ＋k 3－1在(－∞，－12k]上单调递减，函数y ＝(2k －2k 2)t ＋k 3＋1在(－12k ，k 2]上单调递增，函数y ＝(2k 2＋2k )t －k 3＋1在(k2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝－12k时，|2k 2t －k 3|＋|2kt ＋1|取得最小值，且最小值为k 3＋k ＝k (1＋k 2)，又2kt ＋1≠0，所以2(|AB |＋|BC |)＞21＋k 2k 2k (k 2＋1)＝2（1＋k 2）32k .令g (k )＝2（1＋k 2）32k ，0<k <1，则g ′(k )＝2（1＋k 2）12（2k 2－1）k2，当0<k <22时，g ′(k )<0，当22<k <1时，g ′(k )>0，所以函数g (k )在(0，22)上单调递减，在(22，1)上单调递增，所以g (k )≥g (22)＝33，所以2(|AB |＋|BC |)>2（1＋k 2）32k≥3 3.综上，矩形ABCD 的周长大于3 3.2．解析：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，c 为双曲线C 的半焦距，＝25＝5＝a 2＋b 2＝25＝2＝4.所以双曲线C 的方程为x 24－y 216＝1.(2)方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 1＝my 1－4，x 2＝my 2－4.my －4－y 216＝1，得(4m 2－1)y 2－32my ＋48＝0.因为直线MN 与双曲线C 的左支交于M ，N 两点，所以4m 2－1≠0，且Δ>0.1＋y 2＝32m4m 2－11y 2＝484m 2－1，所以y 1＋y 2＝2m3y 1y 2.因为A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，所以A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程为y 1x 1＋2＝y x ＋2，直线NA 2的方程为y 2x 2－2＝yx －2，所以y 1x 1＋2y 2x 2－2＝yx ＋2y x －2，得（x 2－2）y 1（x 1＋2）y 2＝x －2x ＋2，（my 2－6）y 1（my 1－2）y 2＝my 1y 2－6y 1my 1y 2－2y 2＝x －2x ＋2.因为my 1y 2－6y 1my 1y 2－2y 2＝my 1y 2－6（y 1＋y 2）＋6y 2my 1y 2－2y 2＝my 1y 2－6·2m3y 1y 2＋6y 2my 1y 2－2y 2＝－3my 1y 2＋6y 2my 1y 2－2y 2＝－3，所以x －2x ＋2＝－3，解得x ＝－1，所以点P 在定直线x ＝－1上．方法二由题意得A 1(－2，0)，A 2(2，0).设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，则x 214－y 21164x 21－y 21＝16.如图，连接MA 2，kMA 1·kMA 2＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝4x 21－16x 21－4＝4①.由x 24－y 216＝1，得4x 2－y 2＝16，4[(x －2)＋2]2－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)＋16－y 2＝16，4(x －2)2＋16(x －2)－y 2＝0.由x ＝my －4，得x －2＝my －6，my －(x －2)＝6，16[my －(x －2)]＝1.4(x －2)2＋16(x －2)·16[my －(x －2)]－y 2＝0，4(x －2)2＋83(x －2)my －83(x －2)2－y 2＝0，两边同时除以(x －2)2，得43＋8m 3·yx －2－＝0，－8m 3·y x －2－43＝0.kMA 2＝y 1x 1－2，kNA 2＝y 2x 2－2，由根与系数的关系得kMA 2·kNA 2＝－43②.由①②可得kMA 1＝－3kNA 2.：y ＝kMA 1(x ＋2)＝－3kNA 2(x ＋2)，lNA 2：y ＝kNA 2(x －2).＝－3kNA 2（x ＋2）＝kNA 2（x －2），解得x ＝－1.所以点P 在定直线x ＝－1上．3．解析：(1)因为点A (－2，0)在C 上，所以4b2＝1，得b 2＝4.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝53，所以c 2＝59a 2，又a 2＝b 2＋c 2＝4＋59a 2，所以a 2＝9，c 2＝5，故椭圆C 的方程为y 29＋x 24＝1.(2)由题意知，直线PQ 的斜率存在且不为0，设l PQ ：y －3＝k (x ＋2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，k （x ＋2），＋x 24＝1，得(4k 2＋9)x 2＋(16k 2＋24k )x ＋16k 2＋48k ＝0，则Δ＝(16k 2＋24k )2－4(4k 2＋9)(16k 2＋48k )＝－36×48k >0，故x 1＋x 2＝－16k 2＋24k 4k 2＋9，x 1x 2＝16k 2＋48k4k 2＋9.直线AP ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝0，解得y M ＝2y 1x 1＋2，同理得y N ＝2y 2x 2＋2，则y M ＋y N ＝2y 1（x 2＋2）＋y 2（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝2（kx 1＋2k ＋3）（x 2＋2）＋（kx 2＋2k ＋3）（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝22kx 1x 2＋（4k ＋3）（x 1＋x 2）＋8k ＋12x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝22k （16k 2＋48k ）＋（4k ＋3）（－16k 2－24k ）＋（8k ＋12）（4k 2＋9）16k 2＋48k ＋2（－16k 2－24k ）＋4（4k 2＋9）＝2×10836＝6.所以MN 的中点的纵坐标为y M ＋y N2＝3，所以MN 的中点为定点(0，3).4．解析：(1)方法一由题意可知，当x ＝p 时，y 2＝2p 2.设M 点位于第一象限，则点M 的纵坐标为2p ，|MD |＝2p ，|FD |＝p2.在Rt△MFD 中，|FD |2＋|MD |2＝|FM |2＋(2p )2＝9，解得p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .方法二抛物线的准线方程为x ＝－p2.当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p .此时|MF |＝p ＋p2＝3，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1＝tan α，k 2＝tan β.由题意可得k 1≠0，k 2≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＜0，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，y 3＜0，y 4＞0.设直线AB 的方程为y ＝k 2(x －m )，m 为直线AB 与x 轴交点的横坐标，直线MN 的方程为y ＝k 1(xMD 的方程为y ＝k 3(x －2)，直线ND 的方程为y ＝k 4(x －2).＝k 1（x －1），2＝4x ，所以k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，则x 1x 2＝1.＝k2（x－m），2＝4x，所以k22x2－(2mk22＋4)x＋k22m2＝0，则x3x4＝m2.＝k3（x－2），2＝4x，所以k23x2－(42＋4)x＋4k23＝0，则x1x3＝4.＝k4（x－2），2＝4x，所以k24x2－(4k24＋4)x＋4k24＝0，则x2x4＝4.所以M(x1，2x1)，N(1x1，－2x1)，A(4x1，－4x1)，B(4x1，4x1).所以k1＝2x1x1－1，k2＝x1x1－1，k1＝2k2，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝k1－k21＋k1k2＝k21＋2k22＝11k2＋2k2.因为k1＝2k2，所以k1与k2同号，所以α与β同为锐角或钝角．当α－β取最大值时，tan(α－β)取得最大值．所以k2＞0，且当1k2＝2k2，即k2＝22时，α－β取得最大值．易得x3x4＝16x1x2＝m2，又易知m＞0，所以m＝4.所以直线AB的方程为x－2y－4＝0.5．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，由Δ1＝16p2－8p>0，得p>12.y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，所以|AB·（y1＋y2）2－4y1y2＝5·16p2－8p＝415，解得p＝2或p＝－32(舍去)，故p＝2.(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0).因为FM→·FN→＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝12|MF||NF|＝12(x3＋1)(x4＋1)＝12(x3x4＋x3＋x4＋1)(*).当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，＝x－1，2＝4x，得x2－6x＋1＝0，3＝3－22，4＝3－223＝3＋22，4＝3＋22．代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－22时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－22).当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.＝kx ＋m ，2＝4x ，得k 2x 2－(4－2km )x ＋m 2＝0，Δ2＝(4－2km )2－4m 2k 2>0，3＋x 4＝4－2kmk 2，3x 4＝m 2k2，y 3y 4＝(kx 3＋m )(kx 4＋m )＝k 2x 3x 4＋mk (x 3＋x 4)＋m 2＝4mk.又FM →·FN →＝(x 3－1，y 3)·(x 4－1，y 4)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋y 3y 4＝0，所以m 2k 2－4－2km k 2＋1＋4m k＝0，化简得m 2＋k 2＋6km ＝4.所以S △MFN ＝12(x 3x 4＋x 3＋x 4＋1)＝m 2＋k 2－2km ＋42k 2＝m 2＋k 2＋2kmk 2＝令t ＝mk，则S △MFN ＝t 2＋2t ＋1，2k 2＝4，＋1＝4k2>0，即t 2＋6t ＋1>0，得t >－3＋22或t <－3－22，从而得S △MFN ＝t 2＋2t ＋1>12－82＝4(3－2 2.故△MFN 面积的最小值为4(3－22).＝1，＝3．所以C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线PQ 斜率不存在时，x 1＝x 2x 1>x 2>0，所以直线PQ 斜率存在，所以设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋h (k ＝kx ＋h ，2－y 23＝1.消去y 并整理，得(3－k 2)x 2－2khx －h 2－3＝0.则x 1＋x 2＝2kh 3－k 2，x 1x 2＝h 2＋3k 2－3，x 1－x 2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝23（h 2＋3－k 2）|3－k 2|.因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2＝h 2＋3k 2－3>0，即k 2>3.所以x 1－x 2＝23（h 2＋3－k 2）k 2－3.设点M 的坐标为(x M ，y M )，则y M －y 2＝3(x M －x 2)，y M －y 1＝－3(x M －x 1)，两式相减，得y 1－y 2＝23x M －3(x 1＋x 2).因为y 1－y 2＝(kx 1＋h )－(kx 2h )＝k (x 1－x 2)，所以23x M ＝k (x 1－x 2)＋3(x 1＋x 2)，解得x M＝k h2＋3－k2－khk2－3.两式相加，得2y M－(y1＋y2)＝3(x1－x2).因为y1＋y2＝(kx1＋h)＋(kx2＋h)＝k(x1＋x2)＋2h，所以2y M＝k(x1＋x2)＋3(x1－x2)＋2h，解得y M＝3h2＋3－k2－3hk2－3＝3kx M.所以点M的轨迹为直线y＝3kx，其中k为直线PQ的斜率．选择①②.因为PQ∥AB，所以k AB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，A＝k（x A－2），A＝3x A，解得x A＝2kk－3，y A＝23kk－3.同理可得x B＝2kk＋3，y B＝－23kk＋3.此时x A＋x B＝4k2k2－3，y A＋y B＝12kk2－3.因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝3kx，M＝k（x M－2），M＝3kx M.解得x M＝2k2k2－3＝x A＋x B2，y M＝6kk2－3＝y A＋y B2，所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.选择①③.当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝3kx上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在．当直线AB y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B－2），解得x A＝2mm－3，y A同理可得x B＝2mm＋3，.此时x M＝x A＋x B2＝2mm2－3，y M＝y A＋y B2＝6mm2－3.由于点M同时在直线y＝3k上，故6m＝3k·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.选择②③.因为PQ∥AB，所以k AB＝k.AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，A＝k（x A－2），A＝3x A，解得x A＝2kk－3，y A＝23kk－3.同理可得x B ＝2kk ＋3，y B ＝－23kk ＋3.设AB 的中点为C (x C ，y C )，则x C ＝x A ＋x B 2＝2k 2k 2－3，y C ＝y A ＋y B 2＝6kk 2－3.因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y －y C ＝－1k (x －x C )上．将该直线方程与y ＝3k x 联立，解得x M ＝2k 2k 2－3＝x C ，y M ＝6kk 2－3＝y C ，即点M 恰为AB 的中点，所以点M 在直线AB 上．7．解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ).将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得＝1，＋n ＝1，＝13，＝14．所以椭圆E 的方程为x 23＋y24＝1.(2)证明：(方法一)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2).t （y ＋2），＋y 24＝1.消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2＋8t 4t 2＋3，y 1y 2＝16t 2＋16t －84t 2＋3.设T (x 0，y 1).由A ，B ，T 三点共线，得y 1＋2x 0＝y 1＋1x 0－32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′).由MT →＝TH →，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1，所以直线HN 的斜率k ＝y 2－y ′x 2－x ′＝y 2－y 1x 2＋x 1－（3y 1＋6）＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(x －x 2).令x ＝0，得y ＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(－x 2)＋y 2＝（y 1－y 2）（ty 2＋2t ＋1）t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＋y 2＝（2t －3）y 1y 2＋（2t －5）（y 1＋y 2）＋6y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＝（2t －3）·16t 2＋16t －84t 2＋3＋（5－2t ）·16t 2＋8t4t 2＋3＋6y 1－t （16t 2＋8t ）4t 2＋3－3y 1＋4t －4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2).(方法二)由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2.a．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23＋y 24＝1，可得N (1，263)，M (1，－263).将y ＝－263代入y ＝23x －2，可得T (3－6，－263).由MT →＝TH →，得H (5－26，－263).此时直线HN 的方程为y ＝(2＋263)(x －1)＋263，则直线HN 过定点(0，－2).b．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).－y －（k ＋2）＝0，＋y 24＝1.消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0.1＋x 2＝6k （2＋k ）3k 2＋4，1x 2＝3k （4＋k ）3k 2＋4，1＋y 2＝－8（2＋k ）3k 2＋4，1y 2＝4（4＋4k －2k 2）3k 2＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝－24k3k 2＋4.①＝y 1，＝23x －2，可得T (3y 12＋3，y 1).由MT →＝TH →，得H (3y 1＋6－x 1，y 1).则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1－y 23y 1＋6－x 1－x 2(x －x 2).将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2).8．解析：(1)∵点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，∴4a 2－1a 2－1＝1，解得a 2＝2.∴双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.显然直线l 的斜率存在，可设其方程为y ＝kx ＋m .kx ＋m ，y 2＝1.消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2－4kmx －2m 2－2＝0.Δ＝16k 2m 2＋4(1－2k 2)(2m 2＋2)＝8m 2＋8－16k 2>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4km 1－2k 2，x 1x 2＝－2m 2－21－2k 2.由k AP ＋k AQ ＝0，得y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，即(x 2－2)(kx 1＋m －1)＋(x 1－2)(kx 2＋m －1)＝0.整理，得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0，即2k ·－2m 2－21－2k 2＋(m －1－2k )·4km1－2k 2－4(m －1)＝0，即(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0.∵直线l 不过点A ，∴k ＝－1.(2)设∠PAQ ＝2α，0<α<π2，则tan 2α＝22，∴2tan α1－tan 2α＝22，解得tan α＝22(负值已舍去).由(1)得k ＝－1，则x 1x 2＝2m 2＋2>0，∴P ，Q 只能同在双曲线左支或同在右支．当P ，Q 同在左支时，tan α即为直线AP 或AQ 的斜率．设k AP ＝22.∵22为双曲线一条渐近线的斜率，∴直线AP 与双曲线只有一个交点，不成立．当P ，Q 同在右支时，tan (π2－α)＝1tan α即为直线AP 或AQ 的斜率．设k AP ＝122＝2，则k AQ ＝－2，∴直线AP 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －22＋1.＝2x －22＋1，y 2＝1.消去y 并整理，得3x 2－(16－42)x ＋20－82＝0，则x P ·2＝20－823，解得x P ＝10－423.∴|x A －x P |＝|2－10－423|＝4（2－1）3.同理可得|x A －x Q |＝4（2＋1）3.∵tan 2α＝22，0<2α<π，∴sin 2α＝223，∴S △PAQ ＝12|AP |·|AQ |·sin 2α＝12×3×|x A －x P |×3×|x A －x Q |×sin 2α＝12×3×169×223＝1629.。

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015·浙江)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →. (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2， x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， 即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________． 答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12. 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)， 所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)答案 B解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点， 则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a |>3，所以e ＝ 1＋b 2a 2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A. 5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ， 得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ， 消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)，所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1) ＝－1＋42－ 3(1－1m 2)，由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1， 解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3. 因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1， 得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2). 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点， ∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直， 故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)2＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。