高一数学平面向量的基本定理

v

F
2
F

1
F 设 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的 向量，a 是这一平面内的任一向量， 我们研究 a 与 e1 、e2 之间的关系。 OM e ON e M A 1e1 a a 1e1 2e2 e1 e1 O e2 2e2 N e2
B
一、复习引入
a
实数与向量a的积是一个确定的向量，记为 a, 其方向和长度规定如下:
（１） a a
3a
如：当λ＝3时的图示
λ a与a方向相同,
（２） λ > 0时
λ < 0时
（３） 0时
λ a与a方向相反。 a 0
一、复习引入
e 若已知 ，能用 、 表示吗？ 已知 e1 和 , 试作出 d=2 +3 e e e e 2 2 1 d 1 2 D
一、复习引入
作法:作平行四边形ABCD,使AB a,AD b
BC b,DC a
b
b
A
D
a b
B
C
a
a
作法:作三角形ABC,使AB a,BC b
A
C
b
a
e1
B
AE // FC
四、练习
(1) 3e1 2e2 ; (2) 4e1 e2 ;
1.如图，已知向量 e1、e2求作下列向量：
3e1
A
2e2
1 (3) 2e1 e2 . 2
B
e1
A
e2
B
3e1 2e2 ;
O
O
3e1
1 2
二、重难点讲解 平面向量基本定理 1 1 2 2 探究： （5）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） (6)若基底选取不同，则表示同一向量的实
a e e
数
1、 2 是否相同？ （可以不同，也可以相同） = (7) a = 0 ，则有且只有 ： =0 特别的，若 2 1
C
四、练习
4e1 e2
1.如图，已知向量 e1、e2求作下列向量： 1 e e. (1) 3e1 2e2 ; (2) 4e1 e2 ; (3) 2 2 B A A e1 B e2 e2
1 2
4e1
C
O
O
四、练习
(1) 3e1 2e2 ; (2) 4e1 e2 ;
本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
再见！
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加霜，厂子没钱也就不足为怪了。勉强又维持了一段时间，优等品麦芽没有了，囿于现实，华泰啤酒的王牌酒——华泰特供啤酒也只 得降低了原料等级，产品质量出现了波动（又是艺术的说法）。这正应了那句话：质量说起来是重要的，是第一位，做起来却是次要 的，是第二位的，忙起来质量是可要可不要，是末尾的。不过，厂里没有钱，也没办法，这也难怪吴明说：有了钱什么事不好办啊！ 没钱也只好将就了。这种不好的原料持续了好一段时间。这期间，原酿造车间张钢铁主任调到了质量科当质管主任。马启明找吴明商 量一些生产上的事，事后走到隔壁张钢铁的办公室，跟他聊起了啤酒厂，话题便转到啤酒厂的从前，他伤感地回忆又把马启明带到了 往日的辉煌之中，又忆甜思苦起来：“如果把时钟拨回到八十年代，没有人会把华泰啤酒厂跟‘不景气’这个词挂上钩。那时啤酒供 不应求，很多人走后门、批条子才能拿到啤酒。有时候分管厂长像个小偷一样躲出去，害怕碰到熟人、关系户要啤酒。销售商整天哭 天喊地地要啤酒，一天到晚总有拉酒的车子在外面排队等候，大年三十都还在灌装。华泰啤酒不仅在江苏省内销售，还销售到周边的 省市，最远的地方有用船远销到福建的。以前的销售人员大多坐在家里搞销售，有的销售商不给送礼还拿不到啤酒呢！现在这种日子 是一去不回头了。”他说话时，刚开始声音还洪亮，渐渐地声音越来越小。最后，变成了用嗓子低声地咕哝了，圆珠笔在手指间不停 地转动，低着头望着脚下。他的语气里多了一点惆怅，一点无奈，更多的是伤心。马启明睁大了眼睛、吃惊道：“我刚来时就知道华 泰啤酒以前很热销，但还不知道，竟能销到福建！”张钢铁抬起头：“那可不。有一次我自己有点急事要办，好不容易批了两箱啤酒， 结果到第三天才拿到啤酒，差点误了事。你看我在厂里也是个经贸局任命的中层干部，啤酒又是我们生产的，还要等。你就想想啤酒 紧张到什么程度了吧！”马启明知道，原先啤酒厂中层干部以上的人员都是海涛州经贸局红头文件正式任命的。“那找原来的客户， 把我们的啤酒还销到福建去。”马启明一时冲动竞提了个十分幼稚的建议，说了句痴话。他心想现在本地啤酒竞争很激烈，比较难销， 外地总不该也如此吧！“现在福建当地也有啤酒厂了，当地啤酒竞争也很激烈。再说现在运费上涨了不少，运到福建成本太大了，能 把本地的市场做好、守得住就不错了。”张钢铁无奈地苦笑了一下。马启明暗自讥笑自己不知道那根神经出了问题、刚才的建议愚蠢 得透顶，简直是脑子让驴踢肿了，或者是叫家里的门给夹偏了。“为什么全国、全省的啤酒销量逐年都上升，而我们的啤酒销量却不 升反降，动不动就赔本？啤酒销售出去资金回笼，这本来是顺理成章、天经地义的
B
OA t AB OA t ( AO OB)
OA tOA tOB
A O
(1 t )OA tOB
例4
ABCD中，E、F
分别是DC和AB的中点，
e2
D
E
C
试判断AE,CF是否平行？ A F 解： 取基底 AB e 1 , AD e2 1 则有 AE AD DE e2 e1 2 1 FC FB BC e1 e2 AE 2 AE FC // ∵ AE, FC 共线，又无公共点,
在
ABCD中
D
C
OA 例3 如图， AP t AB (t R) ， 、OB 不共线， 用 OA 、OB , 表示 OP . P 解： AP t AB
OP OA AP
D
M
C
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其他向 量用这组基底表示出来。
2. 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点.
D
M
C
e2
N
参考答案： A 取基底 AB e1, AD e2 ,则有
二、重难点讲解
1 1
2 2
二、重难点讲解 平面向量基本定理: 如果 向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数
e1、 e2 是同一平面内的两个不共线
a 1e1 2e2
1、2 使
a
我们把不共线的向量
这一平面内所有向量的一组基底。 研究更一般的情况
e1 、 e2叫做表示
B
3e 2
e

2
A
2.5e1

O
e

1
例2 如图 ， ABCD的两条对角线相交于点 M, AD b ，用 a 、 且 AB a 、 b 表示 MA 、 MB 、MC 和 MD
《高中数学同步辅导课程》
平面向量的基本定理
人教版高一数学第二学期第五章 第5.3.2节
主讲：特级教师 王新敞
王新敞
奎屯
新疆
教学目的：
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
1．了解平面向量基本定理的证明． 2. 掌握平面向量基本定理及其应用： ①平面内的任何一个向量都可以用两个不 共线的向量来表示； ②能够在解题中适当地选择基底，使其它 向量能够用选取的基底表示． 教学重点： 平面内任一向量用两个不共线非零向量表示. 教学难点： 平面向量基本定理的理解.
O
1.如图，已知向量 e1、e2求作下列向量： e1
O
1 (3) 2e1 e2 . 2来自 e2 2e1
A
1 2e1 e2 ; 2
2e1
A B
C
1 B e2 2
2. 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点. A
e1
O
d
d = 2e1 3e2 ?
e2
OD = d =
2e1 3e2
火箭在飞行过程中的某一时刻 速度可以分解成竖直向上和水平向 前的两个分速度。在利用平行四边 形法则对速度进行分解的过程中， 我们看到一个速度可以分解为两个 不共线方向的速度之和。 那么平面内的任一向量能否用 两个不共线的向量来表示呢？
(8)特别的，若 使得:
0 0 e1 0 e2
与 e 共线，则有， λ a 1 a 1e1 0 e2 1e1
2
0
三、例题讲解 例1 已知向量
e

1
、e 2

，求作向量 2.5e1 3e 2 .

解:作图顺序如下： C
4
五、小结
本节学习了：
（1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个向量都可以用两个不共 线的向量来表示.即a 1e1 2e2 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法. （2）能够在具体问题中适当的选取基底，使 其它向量都能够统一用这组基底来表达.
作业
课本 P118-119 习题5.3 5 ~7