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x1α1 x 2α 2 x 3α 3 x 4α 4, x (x1, x 2, x 3, x 4) T
即 γ ε1, ε 2, ε 3, ε 4 x α1, α 2, α 3, α 4 x
ε1, ε 2, ε 3, ε 4 Bx 即 Bx x，或 B E x 0，x 为解向量.
A
(α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
T 4
),
基Ⅱ： β1, β 2, β 3, β 4 ε1, ε 2, ε 3, ε 4 B,
B
( β 1T
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)
①为求基Ⅱ到基Ⅰ过渡矩阵 由Ⅱ表示Ⅰ，由
ε
1,
ε
2,
ε
3,
ε
4
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)B
1
(α1,
α
2 求两个基下有相同坐标的向量
'98.6,五（p27）第3问不同. 类似题：,01.11,五(2) 在R 4 中取两个基
( Ⅰ)
εεεε
1 2 3 4
(1, 0, 0, 0) (0,1, 0, 0) (0, 0,1, 0) (0, 0, 0,1)
( Ⅱ)
αααα2431
(2,1, 1,1) (0,3, 1, 0) (5,3, 2,1) (6, 6, 1,3)
下的坐标，( y1, y2, y3, y4)是α在基（Ⅱ）β1, β2, β3, β4下的坐标，且
y1 3x1 5x2, y2 x1 2x2
y3 2x3 3x4, y4 5x3 8x4 （1）求从基β1, β2, β3, β4到基α1,α2,α3,α4的过渡矩阵； （2）求基β1, β2, β3, β4.
(1) 求基( Ⅱ)到基( Ⅰ)的过渡矩阵；
(2) 求向量（1, 2,0,1）在基( Ⅱ)下的坐标；
(3) 求在两个基下有相同坐标的向量.
解法: ① 注意基(Ⅰ)是单位坐标向量组.
(Ⅰ)：
ε1, ε 2, ε 3, ε 4
基 Ⅱ ： α1,α 2 ,α 3,α 4 ε1, ε 2, ε 3, ε 4 B,
2,
α
3,
α
4)
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)B
1A
过渡矩阵C
B
1A
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)
1(α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
T 4
),
1
②已知 α x1α1 x 2α 2 x 3α 3 x 4α 4
x1
x1
α 1,
α
2,
α
3,
α
4
x x x
2 3 4
类似题：’97.6,六(p11) :无1之证明;’97.2,四(p20);'99.5,五(p44)6
3. 已知向量在两基下坐标之间关系，求过渡矩阵
’99.11,四,P45
设 (x1, x2, x3, x4)为向量α在基
（Ⅰ）α1 (1,3, 4, 4)
α2 (2,5,7,7)
α3 (3, 3, 5, 2) α4 (5,5,8, 3)
2 基 1, 2, 3 到 1, 2, 3的过渡矩阵为
C 1
7 6
4 3
9 7
3 2 4
3 已知 1 1 2 2 1 3
1
1
1, 2, 3 2 1, 2, 3 C 1 2
1
1
10
1, 2, 3 13
5
在 1, 2, 3下坐标为(10,13, 5)，
基
Ⅱ 到基
Ⅰ 过渡矩阵
C
B 1
α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
4T3
1
② α (1, 2, 0, 1) 1 ε1 2ε 2 0 ε 3 1 ε 4
1
(ε
1,
ε
2,
ε
3,
ε
4)
2 0
(α
1,
α
2,
α
3,
α
4)Cα
T
y Cα T
1
③ 向量 γ x1ε1 x 2ε 2 x 3ε 3 x 4ε 4
三.向量空间,基,过渡矩阵,基下坐标
1. 已知向量空间两组基，求过渡矩阵，向量在基下坐标
(1) 已知四维向量空间R 4的两个基
’97.4,六,
P2 （Ⅰ）
αααα2431
(1,1, 2,1) (0, 2,1, 2) (0, 0, 3,1) (0, 0, 0,1)
（Ⅱ）
β1 (1, 1, 0, 0) β 2 (1, 0, 0, 0) β 3 (0, 0, 2,1) β 4 (0, 0, 3, 2)
β2 2α1 α2 2α3，
β3 α1 5α2 3α3.
1）证明β1, β2, β3也是R3的一个基； 2）求由基β1, β2, β3到α1, α2, α3的过渡矩阵； 3）若向量α在基α1, α2 , α3下的坐标为(1, -2,1)，
求α在基β1, β2, β3下的坐标.
解法：(1)
1 2
2 2
1 1
3
2 2
3 3 2 3
3 1 5 2 3 3
1, 2, 3 1, 2, 3 C
5
2 2 1 C 3 1 5 , det C 1 0
C可逆
3 2 3
1, 2, 3 1, 2, 3 C 1
1, 2, 3 与 1, 2, 3 等价，秩相同，为基.
且向量α在基(Ⅰ )下坐标为（0, 3,1,1）,
(1) 求由基(Ⅱ )到基(Ⅰ )的过渡矩阵；
(2) 求向量α在基(Ⅱ )下的坐标.
第 i列
解法：引入中介基ε1, ε 2, ε 3, ε 4, ε i (0,...., 0,1, 0,..., 0)
基Ⅰ：(α1, α 2, α 3, α 4) (ε1, ε 2, ε 3, ε 4)A,
β 1,
β
2,
β
3,
β
4
B
1A
x x x
2 3 4
y1β1 y2β2 y3β3 y4β4
y1
β
1,
β
2,
β
3,
β
4
y y
2 3
y 4
y1
x1
y2 y3
B
1A
x x
2 3
y 4
x 4
类似题：’97.5,七（p6）区别：过渡矩阵从 Ⅰ 到 Ⅱ
，01.11,五(1)（p63); ，98.4,七 (p22)； ,01.5,六(2 p59)
1 0 0 1
1
B
E
0 00
1 0 0
0 1 0
1 10
x
k
1 11
,
γ k ε1, ε 2, ε 3, ε 4 x k 1,1,1, 1 T
4
2 已知两组基关系式，求过渡矩阵，基下坐标
’98.12,五（p35)
已知三维向量空间R3的一个基α1, α2, α3， 设 β1 2α1 3α2 3α3，
