当前位置：文档之家 › 线性代数 向量空间PPT课件

线性代数 向量空间PPT课件

  • 格式：ppt
  • 大小：1.10 MB
  • 文档页数：108

下载文档原格式

  / 108

合集下载

线性代数课件6第三章向量空间

线性代数课件6第三章向量空间

线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。

《线性代数》精品课件：3-5-向量空间

《线性代数》精品课件：3-5-向量空间
2 2 1 1 4 ( AB) 2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
§3.3 向量 组的 线性 相关
性
• 一、向量空间的概念 • 二、子空间 • 三、向量空间的基与维数 • 复习小结
一、向量空间的概念
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空，
且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
空间．
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基
就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组
1 ,2 ,
,
是向量空间
r
V
的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 , ,r R
例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 4
B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
解 要证a1, a2 , a3是R3的一个基，只要证a1, a2 , a3 线性无关，即只要证A ~ E.

线性代数第-章向量空间PPT课件

线性代数第-章向量空间PPT课件

3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。

线性代数课件向量空间的基和维

线性代数课件向量空间的基和维
线性无关
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定 义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意 一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征 值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等 问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵 的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵 保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示 是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变 换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空 间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组 合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但 两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性

线性代数课件--5.1向量空间基本概念

线性代数课件--5.1向量空间基本概念

R( A) {v | v c1a1 c2a2 cnan , c1, 2 , , n R} c c
可等价写成
R( A) {v | v Ax，x Rn }
对一般线性代数方程组成立如下定理 定理 m n线性代数方程组Ax=b相容的充要 条件是
b R( A)
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 0 0 0 0 2 1 4 3 2 3 0 1 0 0 0 0 所以r(A)r(B) 因此向量b能由 向量组a1 a2 a3线性表示
x1a1 x2a2 xnan b
a1 ，a2 ，… ，an 的线性组合 则方程组有解的条件是 b 可作为
定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集
合称为向量组． 有限向量组
a11 A34 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 , , , a24 1 2 3 4 a34
因此
b R( A)
r ( A) r ( A)
例
试证m n齐次线性代数方程组Ax=0
的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间. 解 已知齐次线性代数方程组的解集非空，
若记此解集为N(A), 则显然有
1. 若 x1 N ( A),即 Ax1 0, 则对任意常数 c ， 必 A(cx1 ) cAx1 c0 0 ，即 cx1 N ( A) ； 2. 若 x1 N ( A), x2 N ( A), 即 Ax1 0, Ax2 0, 则必
为讨论，先将方程组改写成向量形式
1 0 b1 x1 5 x 2 4 b2 记为 x1a1 x2 a2 b 2 4 b3

线性代数课件 03.向量空间

线性代数课件 03.向量空间

-9-
注意 1°零向量可由任一组向量线性表示。 2°向量组 线性表示， 中每个向量都可由向量组本身
i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
3°任一n元向量
都可由n元单位向量组 线性表示，即
a1e1 a2e2 anen
-10-
A 的行组.
a11 a 21 a m1
再如:
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
(转换为方程组) 方程组 x1 1 x 2 2 x n n
即 Ax A [ 1 , 2 ,, n ] 有解
(用矩阵的秩) r ( A) r[ A | ]
另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ……
学会这种转换就可以了!

k

-2-
建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.
( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z 2 )
( x1 x 2 , y1 y2 , z1 z 2 )
k ( kx1 , ky1 , kz1 )
第三章
向量空间Rn
§3.1 向量及其线性组合
§3.2 一个n元向量组的线性相关性
§3.3 向量组的秩
§3.4 向量空间 §3.5 欧氏空间Rn
§3.1 向量及其线性组合
三维空间的向量: 有向线段。建立标准直角坐标系后，
P ( x, y, z )

向量空间ppt课件


27
s
ki i
i 1
k1a11
k1a12
k1a1n
k 2 a 21 k 2 a 22
ksas1 ksas2
k2a2n ksasn
k1a1 p1
k2a2 p1
s
ki i
k1a1p2
k2a2 p2
i1
k1a1pn k2a2 pn
上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
k11 + k2 2 + + ks s =
3
§1 向量及其运算
背景：
中学数学中已经接触过平面上的向量，可以称为二维 向量。高等数学介绍过空间几何中的向量，可以称为 三维向量。然而仅仅考虑平面几何中的向量和空间几 何中的向量是不够的。例如，人造卫星在太空运行中 考虑它在某一个时刻的状态必须知道目前处于什么位 置、其表面温度、此时受到的压力等等物理参数的情 况，这时二维和三维向量就无法表达这么多的信息， 必须推广到更多维数的向量。
答案：一定线性无关
15
例1 判断向量组 1 , 2 ,, n 的线性相关性。
其中， i 是 n 阶单位矩阵的第 i 列 (i = 1,,m)
解： 对任意的一组数k1,k2,…,kn都有 k11 k2 2 kn n (k1, k2 , , kn )T
所以要使
k11 k22 knn
5
注意:向量一般用小写的希腊字母, 等表示 ，
其中n为向量的维数。一般所说的向量都是指列 向量,行向量可看作是列向量的转置．
如: (a1, a2, , an )T
(b1, b2 , , bn )T
定义2 如果向量 和 对应的分量都相等，即
ai=bi，i=1,2,…,n

线性代数课件：3-4向量空间

(2) 求向量β＝2β1 -β2 -β3 在基α1, α2 , α3 下的坐标；
(3) 求由基α＝α1-2α2 +4α3在基β1 , β2 , β3下的坐标。
分析： 关键是求出由基 α1, α2 , α3到 β1 , β2 , β3的过渡矩阵。如何求？
如果根据过渡矩阵的定义直接求，就 意味着要解线性方程组，有3×3个未知数， 比较麻烦，而且维数越高越麻烦。
量的非空集合，如果α, βV, kP满足
V , k V
则称集合V为数域P上的向量空间。
当P为实数域R时,称V为实向量空间, 当P为复数域C时,称V为复向量空间。
例3.4.1 实数域R上n维向量的全体Rn是 一个向量空间，
R n (a1, a2 ,, an ) | ai R , i 1,2,, n
x1 x2
27 9
71 20
41 2 58 9 1 11
x3 4 12 8 1 12
(3) 由基α＝α1-2α2 +4α3在基β1 , β2 , β3 下的坐标为
13 19 181
y1 y2 y3
=
9
7
Байду номын сангаас
13 10
4 63
2
99
1 2 4
注意，向量空间的维数和该空间中向 量的维数是两个不同的概念。
对于向量空间V的任一子空间V1， dimV1≤dimV。Why?
书上曰：“容易证明，若向量空间V 的维数是m，那么V中任意 m个线性无关 的向量都是V的一组基。”如何证明？
Question: 如何找一个非零的向量空间的一组基？
Answer: n维向量空间V中任意 k(1≤ k ≤ n)个线性 无关的向量都可以扩充成V的一组基。 （证明之）

线性代数课件：向量空间法(下)


解：方程组的系数矩阵 =
=
则原方程组与ቊ
1
1
1
1 1
，利用矩阵的初等行变换化为最简，即
−1 −1 1
1 1
1 1
1 −1 −1 1
1
(r +r )
2 1 2
−(r2 −r1 )
1 0
0 1
1 + 4 = 0
同解. 即
2 + 3 = 0
= 03 + (−4 )
ቊ 1
2 = −3 + 04
⋮
= −1 +1 − ⋯ − ,−
第二步，把+1 ，+2 ， ⋯ ， 作为自由数，并令它们依次等于1 ，2 ， ⋯ ，− ，
即可得原方程组的通解为
1
−11
−12
⋮
⋮
⋮

−1
−2
+1 =
+ 2
1
0
1
+2
0
1
⋮
⋮
⋮

0
0
把上式记作 = 1 + 2 + ⋯ + − − ，
ቐ−0.31 + 0.92 − 0.43 = 0 ，
−0.51 − 0.12 + 0.83 = 0
0.8 −0.8 −0.4
设A = −0.3 0.9 −0.4 ，利用矩阵的初等行变换化为行最简形
−0.5 0.9 −0.2
0.8 −0.8 −0.4
−0.3 0.9 −0.4
−0.5 −0.1 0.8
3 +2
5

4 1
22
1
1
0

线性代数课件-4.5向量空间

S x Ax0
是一个向量空间.
证由
性质1 若 x = 1，x = 2 为 Ax 0的解，则 x = 1+2 也为 Ax 0 的解.
性质2 若 x = 1为 Ax 0的解，k为实数，则
x = k1也为 Ax 0 的解.
例21 证明非齐次线性方程组的解集
S x Axb
不是一个向量空间.
例22：设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合
故向量组 A0 就是 L 的一个基， A0中向量的个数就是 L 的维数.
4. 由a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间
L = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R }
所以，L 是一个向量空间．
定义：把集合
L = {l a + m b | l, m ∈R }
称为由向量 a, b 所生成的向量空间． 一般地，把集合
L = {l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm ∈R }
称为由向量a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间．
例：设向量组a1 , a2 , ..., am 和 b1 , b2 , ..., bs 等价，记
L1 = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R }， L2 = { m1b1 + m2b2 + …+ ms bs | m1, m2, ..., ms∈R }，
2
n
则
a b (0, a2b2,
,
a
n
b
)T
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
也称向量b可由向量组 a 1 ,a 2 , a s,线性表示。
例如 对向量 a 1= (0T ,,a 1 2= ) (1T ,,1 a 3= )(-T 2 , ,= 4 (b3 )T,
有 b=-4 a 1+ 5 a 2 a 3及 还有 b=1a 11+0a2-2 3a3
b =2 a 1+ 3 a 2+ 0 a 3
（ 1） 若 对 ab ,V,则 abV （ 2） 若 对 aV,kR, 则 kaV
就称 V是Rn的子空间
解析几何
空间
(n3)
线性代数
坐
点空间：点的集合
向量空间：向量的集合
标
几何形象： 空间
代数形象： 向量空
直线、曲线、空间 平面或曲面
系
间中的平面
( x ,y ,z ) a b x c y d z r ( x ,y , z ) T a b x c y d z
a1
或a
aan2 （ 称列向量）也a 记 (a 1 ,a 2 , 作 a n )T
其 a i称 中 a 为 的 i( i 向 1 第 ,2 , n ) 个 量分
例如
(1 , 2 , , n ) n维行向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
解析几何
向量
(n3)
定义4.3 分量全(为 0,0,0 零 )称的 为向 零
记 0 （ 作 0 ， 0 ， ， 0 ）
定义4.4 设 a ( a 1 , a 2 , a n ) T , b ( b 1 ， b 2 ， b n ) T
规定 a与b和ab为：
a b ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , a n b n ) T
P(x,y,z)
一一对应
r(x,y,z)T
例 4 ． 1 V (x ,0 ,0 )Tx R 是 R 3 的子空
例4． 2 V(0,0,0,0)T}是R4的子空间，通
为零子空间。
例 4 ． 3V (x ,0 ,1 )Tx R 不 R 3 的 是子
( a , 0 , 1 ) ( b , 0 , 1 ) ( a b , 0 , 2 ) V
第四章 向量空间
n维向量空间 向量组的线性相关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
第一节 n维向量空间
n维向量的概念与运算 n维向量空间
向量组的线性组合与线性表示
一、n 维向量的概念与运算
定义4.1
n个实a数 1,a2,an 组成的有序数 称 为 实 数 域 n维 上向 的量 。
记作 a(a： 1,a2,an)（称行
即V对向量的加法不封闭。
例 4 ． 4V (0 ,x2,x3, xn)Txi R ,i2 ,3 , n
是 R n 的 子 空 间 。
三、向量组的线性组合与线性表示
定义4.8 由若干个同维数的列向量（或行向量）
所组成的集合叫做向量组。
设 a 1 ,a 2 , a s,是n维向量组，k1,k2,ks
- 3a1+5a2 a3=(1,4,7 -,7)T,
就是这3个向量 a1,a2,a3 的一个线性组合。
设 ba 1,a 2, a s, 都是 n 维向量,如果对向量b
存在一组实数 k1,k2,ks 使得 k 1 a 1 k 2 a 2 k s a s b
则称向量b是向量组 a 1 ,a 2 , a s,的线性组合，
运算规律 由上述定义，n维 对向 任 a量 b,意 c,及的实k,数 l， 向量加法与数足乘下运列算八满条性质
(1) abba (2 )(a b ) c a (b c ) (3) a0a (4) a(a)0 (5) 1aa (6) k(la )(k)a l (7) k(ab)k akb (8) (kl)ak ala
am1 am2 amn
xn bm
特别地 当b为零向量时A， X即 0，称m 为个 方 程 n个 未 知 量 的 齐 次程线组性。方
二、n维向量空间
定义4.6 实数域上的 n维向量全体，当定义了
上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为
为实数域上的n维向量空间。记作 R n
定义4.7 设V是Rn的一个非空子集，满如足果
是一组实数，则 k 1 a 1 称 k 2 a 2 k s a s 是向 a1,a 量 2,as组 的线性组合。 例如向量
a 1 = ( 4 , 1 , 3 ,2 ) - T , 2 = ( 1 , 2 ,3 , a - 2 ) T , 3 = ( 1 , 9 , 1 , a 6 3 ) - T ,
有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AXb其中 Aa21
a22
a2n,
Xx2,bb2
定义4.5
特别地
设a (a1,a2, an)T ,kR， 规 定 数 k与 向 量 a的 数 乘 为 ：
ka (ka1, ka2, kaan)T称 其 为 a的 负 向 量a 。 (b此 )写外 作 ab称 之 为 a与b的 差 .
注意
向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则 进行运算
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a (x ,y ,z ,, ,)
定义4.2
设 n 维 a ( 向 a 1 ,a 2 , 量 a n ) T ,
b (b 1 , b 2 , b n )T
则当且 ai b 仅 （ i i当 1,2,n）,时 称向 a与 量 b相等 记作 ， ab
所以 b是a1, a2,a3的线性组合。
而且表示的方法不惟一
小结
线性代数
坐
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意
标
平行移动的有向线段
代数形象： 向量的 坐标表示式
系
a T (a 1 ,a 2 , ,a n )
n3时，n维向量没有直观的几何形象．
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
()
( 2 2)