数学物理方法第二章2011

∂v ∂u ∫ l u( x, y)dx − v ( x, y)dy = ∫∫Sl (− ∂x − ∂y )dxdy
∂u ∂v , ∂y ∂x
连续， 连续，且
l
∂v ∂u ∂u ∂u −( + ) ⇒ −( − + )=0 ∂x ∂y ∂y ∂y
∫ u( x, y )dx − v ( x, y)dy = 0
∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz= ∫
l1 l2
z 1
z0
f (z)dz
y
例1 计算积分 解
∫ z =1
1 dz . 2z − 3
1 函数 在 z ≤ 1内解析 , 2z − 3 根据柯西定理, 有 根据柯西定理, 1 ∫ z = 1 2 z − 3 d z = 0.
·
o
r =1
18
x
（二）复通区域柯西定理 （二）复通区域柯西定理 人们常常遇到所研究的函数在区域上并非处处解析， 人们常常遇到所研究的函数在区域上并非处处解析， 即存在奇点（复变函数不解析的点）（如图α点 ）（如图 即存在奇点（复变函数不解析的点）（如图 点） 奇点 定义： 定义：若f(z)在z=α 不解析 在 （或没有定义），但在z=α的 或没有定义），但在 ），但在 的 无心邻域 0<|z−α |<R内解析， 内解析， | 内解析 则z=α为f(z)的孤立奇点。 为 的孤立奇点。 含孤立奇点的区域， 含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小 邻域挖掉， 邻域挖掉，使原区域变为复通区域
3
x
12
例2 计算 ∫l z dz , 其中 l 为 : 圆周 z = 2. 积分路径(圆心在原点圆 的参数方程为 解 积分路径 圆心在原点圆)的参数方程为 圆心在原点圆
l ( z ) = z = 2e
iθ iθ
(0 ≤ θ ≤ 2 π),
y
f ( z ) = z = 2e , dz = 2ie iθ dθ
z
⋅ z0
o
θ
r
l ( z ) = z0 + re iθ
(0 ≤ θ ≤ 2 π),
x
∫
l
iθ 2π 1 ire dz = ∫ n+1 i ( n+1)θ dθ n+1 0 r e ( z − z0 ) i 2π − inθ = n ∫ e π ∫ l ( z − z0 ) dz = i ∫0 dθ = 2πi;
≤ Ml
注意：数学分析中的积分中值定理不能推广到 注意： 复变函数积分上来，例如： 复变函数积分上来，例如
∫
而
2π
0
1 iθ 2π e dθ = e =0 0 i
iθ
e iθ 0 ( 2π − 0) ≠ 0 (0 < θ 0 < 2π )
11
例1 计算 ∫ zdz , l : 从原点到点 3 + 4i 的直线段 . l x = 3t , 0 ≤ t ≤ 1, 解 直线方程为 y = 4t ,
l l
(2) ∫ Rf ( z )d z = R ∫ f ( z )d z , 其中 R为复常数
l l
常数因子可以移到积分号外 (3) ∫ [ f ( z ) ± g ( z ) ] d z =
l
∫
l
f ( z )d z ± ∫ g ( z )d z ;
l
函数的和的积分等于各函数积分之和
(4) ∫ f ( z )d z =
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数积分的概念、 目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性 质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。 质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。 重点： 重点： 1. 复积分的基本定理； 复积分的基本定理； 柯西积分公式与高阶导数公式。 2. 柯西积分公式与高阶导数公式。 难点： 复合闭路定理与复积分的计算。 难点： 复合闭路定理与复积分的计算。
19
l
α •
D
E
D
A
l
α B l 1
C
围成的区域中含f(z)的孤立奇点α 在 l 围成的区域中含 的孤立奇点α， 则可引入曲线l 将此奇点挖掉， 则可引入曲线 1将此奇点挖掉，在所构 成的复连通区域 复连通区域中 解析。 成的复连通区域中， f(z)解析。 解析 由柯西定理
F
∫
ABCDBAEFA
f ( z ) d z = 0,
l
B
∫
l
f ( z )dz = 0
16
证明： f ( z )dz = ∫
l
∫ u( x, y )dx − v ( x, y )dy + i ∫ v ( x, y)dx + u( x, y )dy
l l
格林公式
∂Q ∂P ∫ l Pdx + Qdy = ∫ ( ∂x − ∂y )dxdy S
回路积分化成面积分
l1 l2 ln
在今后讨论的积分中, 在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续 曲线l是按段光滑的 是按段光滑的. 的, 曲线 是按段光滑的.
9
(三)性质： 性质： 是简单逐段光滑曲线， 在 上连续 上连续， 设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则 是简单逐段光滑曲线
(1) ∫ f ( z )d z = − ∫ − f ( z )d z ; 反转积分路径，积分反号
当 n ≠ 0 时,
y
z
⋅ z0
o
θ
r
x
∫
l
1 i 2π dz dz = n ∫ (cos nθ − i sin nθ )dθ = 0; n+1 ( z − z0 ) r 0
1 2πi , = 所以 ∫ n + 1 dz ( z − z0 ) 0, z − z0 = r
n = 0, n ≠ 0.
7
l
2.积分的计算法 2.积分的计算法 积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分 积分的计算法 注意到： 注意到：
f (ζ k ) = u (ζ k ) + iv (ζ k ) ; ∆zk = ∆xk + i ∆yk
n
ζ k = ξ k + iη k
∑ f (ζ k )∆zk = ∑ [u(ξ k ,ηk )∆xk − v(ξ k ,ηk )∆yk ]
同理
∂u ∂v , ∂v ∂y
连续， 连续，且
l
∂u ∂v ∂u ∂u − ⇒ − =0 ∂x ∂y ∂x ∂x
17
∫ v ( x, y)dx + u( x, y )dy = 0
B
B
z0 ⋅
l1 l2
⋅ z1
l1
z0 ⋅
l2
⋅ z1
推论：积分与连接起点和终点的路径无关。 推论：积分与连接起点和终点的路径无关。
k =1 k =1
n
n
∫
l
f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k ) ⋅∆zk . A
n→∞ k =1
n
ζ1 ζ2
z1 z2
ζk z k zk−1
zn−1
o
x
6
关于定义的说明: 关于定义的说明: (1) 如果 l 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分 记为 ∫ f ( z )dz . (2) 如果 l 是 x 轴上的区间 a ≤ x ≤ b, 而 f ( z ) = u( x ), 这个积分定义就是一元 实变函数 定积分的定义 . （三） 存在的条件和计算法 1.存在的条件 1.存在的条件 连续函数而 光滑曲线时 如果 f ( z ) 是连续函数而 l 是光滑曲线时 , 积分 ∫l f ( z )dz 一定存在 .
k =1 k =1
n
∆zk 0， 唯一 ，
极限
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆xk + u(ξ k ,η k )∆yk ]
k =1
n
∫
l
f ( z )d z =
udx −vdy + i ∫
l
∫ vdx + udy
l
8
积分的计算法2: 积分的计算法2:参数方程法 2: 设路径l的方程（参数方程） 设路径 的方程（参数方程）为: z=z(t) (α≤t≤β) 的方程 由求导法则， 由求导法则， dz=z’(t) dt, 则有
l ( z ) = z =(3 + 4i )t , 在l上， ( z ) = z = (3 + 4i )t , 上 f
dz = ( 3 + 4i )dt ,
y
4i
∫
l
zdz = ∫ (3 + 4i ) 2 tdt
0
1
= ( 3 + 4i )
2
∫0 tdt
o
1
⋅( 3 ) ,4
( 3 + 4i ) 2 . = 2
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
15
2.2 柯西定理 (一)单连通区域柯西定理 讨论复变函数积分（线积分） 讨论复变函数积分（线积分）与积分路径的关系 定理1 定理1：单连通区域柯西定理 如果函数f 在 如果函数 (z)在闭单连通域 B上解析，则沿 上任一分段光 上解析，则沿B上任一分段光 滑闭曲线l（也可以是B的边界 的边界）， 滑闭曲线 （也可以是 的边界）， 有
y
B
l
在每个弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,L, n) 上任意取一点 ζ k ,
o
A
ζ1 ζ2
z1 z2
ζk z k zk−1
zn−1
x
5
作和式 S n = ∑ f (ζ k ) ( zk − zk −1 ) = ∑ f (ζ k ) ∆zk , 这里 ∆zk = zk − zk −1 , ∆sk = zk −1 zk的长度, 记 δ = max{ ∆sk }, 当 n 无限增加且 δ → 0 时, 1≤ k ≤ n 如果不论对 l 的分法及 ζ k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限 , 那么称这极限值为 B y 函数 f ( z ) 沿曲线 l 的积分 , l C 记为