5.1设有周期信号如图题5-1所示，求它相关函数和功率谱密度。
解：首先，
]
[211d 1d 12/32/002/52/302/32/4/54/34/34/00ππππππωωωωωjn jn jn jn jn jn T T t
jn T T t jn n e e T
jn jn e e T jn e e T t e T
t e T a ---------=
---=-=
⎰
⎰
于是，
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=-=为偶数
为奇数n n n n n a n ,0
,)(4
)]cos(1[)(42
22πππ
所以，该信号的时间相关函数为
τ
ωτ0)12(2
12)(+∞
-∞
=+∑=
n j n n e a R
确定性周期信号的功率谱密度是其时间相关函数的傅氏变换，即
)
)12(()(02
12f n f a f n n +-=
Φ∑
∞
-∞
=+δ
或者
5.2 5.3
5.4设有二平稳随机过程，它们的功率谱密度分别为，
（1）
2
)2(3)2()2()(2
4
2
++=
f f f f S πππξ
（2）
6
)2(5)2(1)2()(2
4
2+++=
f f f f S πππξ
求其相应的相关函数及其均方值。 (1) 解：因为
2)2(3)2()2()(2
4
2
++=
f f f f S πππξ
1
)2(12
)2(222+-
+=f f ππ
所以，相关函数为
|||
|22
12
2)(ττξξτ---
=
e e R 均方值为
2
122)0()|)(E(|2-=
=ξξξR t (2) 解：因为
6)2(5)2(1)2()(2
42+++=
f f f f S πππξ
2
)2(13
)2(2
2
2
+-
+=
f f ππ
所以相关函数为：
|||
|24
23
3)(ττξξτ---
=
e e R 均方值为：
4
233)0()|)(E(|2-=
=ξξξR t 5.5 设一平稳随机过程的功率谱密度如图题5-5所示，即，
（其它频率）
)
({
)(000
f f f f f S f S ∆+<<∆-=ξ
求其相关函数及其均方值。
图题 5-5
解：参见教材348页图5-10，将其中的f ∆用代替，得相关函数
⎰
+∞
∞
-=f
f S R f j d e )()(2τπξξτ
⎰
⎰
∆+-∆--∆+∆-+=f f f
f f j f
f f
f f j f
S f S 0000d e d e 2020τπτπ
f f f
f f j f f f
f f j j S j S ∆+-∆--∆+∆-+=00002e 2e 20
20
πτ
πττπτπ
f -0
f f
)
2sin(e )2sin(e 2020τππτ
τππτ
τ
πτ
πf S f S f j f j ∆+
∆=
-
)
2cos()2sin(200
τπτππτ
f f S ∆=
于是均方值为
f
S f f f f S R R ∆=∆∆∆==∞
→∞
→00042)
2sin()
2cos(4lim )(lim )0(τ
πτπτπττξτξ
5.6 设有线性时不变动态系统，其冲激响应为)(t h 。如果输入为一平稳随机过程)(t ξ，它的相关函数为)(τξR ，协方差函数为)(τξC ，试证输出过程)(t η的相关函数可以表示为
du u R u R R h ⎰
∞
∞--=)()()(τ
τξ
η
其中，dt u t R t h u R h u ⎰∞∞
--=)()()(。)(u R h 称为系统的相关函数，并证明
du u R u C t Var t D h ⎰∞
∞-=
=)()()}({)(ξηη
(1) 证明：输出过程为
⎰+∞
∞
--=*=du u t h u t t h t )()()()()(ξξη
⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-----=∴dudv v t h u t h v u R t t R )()()(),(21ξ
作变换：⎩⎨
⎧+--='-=v
u t t u u
t t 211
则上式 =u d dt u t h t h u t t R '⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡'-'--⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-)()()(21ξ
=u d u R u R h '''-⎰+∞
∞
-)()(τξ
(2) 证明：因为
2
)0()]([ηημη-=R t D
而
du u t h ⎰+∞
∞
--=ξημμ)( =du u t h ⎰+∞
∞
--)(ξμ =du u h ⎰+∞
∞
-)(ξμ
及
