血管切片的三维重建

血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。

首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。

搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。

最后对模型给出检验方式。

一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。

现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。

假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。

二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。

（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。

（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。

（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。

本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。

因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。

问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。

A题血管的三维重建问题摘要：本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。

其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。

此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。

如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。

本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。

本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。

最终迭代算法简述如下：1．对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值2．利用得到的中心点建立中轴线方程3．利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值4．重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止5．输出中心点及中轴线方程在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。

考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。

最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。

该模型最终计算结果如下。

血管中轴线示意图从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。

本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。

血管的三维重建摘要对于血管的三维重建，本文研究了血管这一类特殊管道的中轴线及其半径的算法，绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图这些问题，问题分为三部分。

针对第一部分，先将100张切片图片在MATLAB 中导出生成0-1矩阵数据，在计算100张切片的最大内切圆半径及对应圆心坐标，为减小误差求100张切片最大内切圆的平均半径41666.29 d 。

中轴线的曲线方程可在MATLAB 中拟合得到。

针对第二部分，得到中轴线曲线方程在MATLAB 中绘制出中轴线方程的空间曲线，之后将其投影在XY 、YZ 、ZX 平面上。

针对第三部分，对100张切片进行叠加重合，得到血管的三维立体图，再通过MATLAB 对血管的三维立体图进行优化完成血管的三维重建。

关键词：MATLAB 软件管道半径中轴线曲线方程一、问题重述1.1基本情况断面可用于了解生物组织、器官等的形态。

如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。

根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。

1.2相关信息假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。

现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。

图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。

取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。

Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。

1.3提出的问题问题一：计算出管道的中轴线与半径，给出具体的算法。

血管的三维重建数学建模
首先，血管的三维重建通常是通过医学影像学来实现的。

医学
影像学包括CT、MRI等技术，这些技术可以提供血管的断层扫描图像。

在这些图像的基础上，可以利用图像处理的方法，如边缘检测、分割等技术，来提取血管的形状和结构信息。

其次，几何建模是血管三维重建的关键环节。

在图像处理的基
础上，需要进行几何建模，将提取到的血管形状转化为数学模型。

这涉及到曲面重建、体素网格生成等技术，以及对血管内部结构的
建模。

另外，数学算法在血管三维重建中也起着重要作用。

例如，曲
面重建可以利用曲面拟合算法，体素网格生成可以利用体细胞自动
机等算法。

此外，对血管的分支、扭曲等特征的识别和建模也需要
借助数学算法来实现。

除此之外，血管的三维重建数学建模还涉及到计算机图形学、
计算几何学等领域的知识。

这些知识和技术的综合运用，可以实现
对血管形状、结构和特征的全面建模和重建。

总的来说，血管的三维重建数学建模是一个复杂而多样化的过程，涉及到多个学科和领域的知识。

通过综合运用图像处理、几何建模、数学算法等技术，可以实现对血管的全面、准确的三维重建和建模。

A 题 血管的三维重建摘要对于血管的三维重建问题，关键是找出理论假设下血管的中轴线和血管的直径。

通过这两个参数的确定就可以基本上绘制出血管图来。

首先，对给出的100张血管断面的二进制图像进行取反操作，应用软件获得图片中血管图像内部点和边缘点的坐标，根据程序求得最大内切圆的半径及其圆心坐标。

具体是（1）求出内部任意一点与边缘点的距离，取距离最小的值作为以该点为圆心的内切圆半径；（2）在这些半径中找到数值最大的值即为该图像的最大内切圆半径，对应的点坐标即为最大内切圆的圆心坐标。

对所有求得的半径取平均值得到29.185=R 。

然后，根据100个圆心坐标进行多项式曲线拟合，得到中轴线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯-⨯+⨯-=-+⨯-⨯+⨯-⨯=-------t z t t t t t y t t t t t x 9625.348124.0022526.0107491.4102666.4103623.158958.0045879.0102546.1100385.4108532.8105539.4234465824354759 剩余标准差为1.5518，说明此回归模型的显著性好。

绘制出曲线图，并投影到X-Y ，X-Z ，Y-Z 坐标面上。

关键词：边界提取最大内切圆法多项式拟合1 问题重述断面可用于了解生物组织、器官等的形态。

例如，将样本染色后切成厚约um 1的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。

如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。

根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。

现有某管道的相继100张平行切片图像，记录了管道与切片的交。

图像文件名依次为0.bmp 、1.bmp 、…、 99.bmp ，格式均为BMP ，宽、高均为512个象素（pixel ）。

试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在X-Z 、Y-Z 、X-Y 平面的投影图。

α文章编号:100127445(2003)0320206203血管三维图像重建的数学方法黄新民(广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004)摘要:使用M A TLAB 读出血管切片图的数据,算出其半径及中轴线方程,建立了血管曲面的参数方程,实现了图形的三维重建.关键词:血管;参数方程;三维重建中图分类号:O 24211 文献标识码:A2001年全国大学生数学建模竞赛中的A 题:血管的三维重建,要求学生从给定的100张平行切片图中,编程读出图像中的数据,并以此计算管道的中轴线与半径,给出具体算法,并绘制中轴线在X Y ,Y Z ,ZX 平面的投影图.该题的具体计算已经在文[1～6]中有许多详细而细致的讨论.但是所有这些文章都没有说明使用的计算机语言及相应的程序.按题目所附参考材料看,出题人建议的是使用C ++程序.事实上许多软件都可以处理图形图像,而且还比使用C ++编程更容易.本文使用M A TLAB 比较简单地完成题目所要求的计算.原竞赛题目中只要求给出图像的中轴线及其在三个坐标平面上的投影,实际上并没有真正实现血管的三维图像重建,本文将讨论实现图形三维重建的一个方法.要将图形数据读入,在M A TLAB 中只要使用命令i m read 即可实现.程序虽然简单,但数据量较大,因此要通过几次计算才能将所有数据读完,再用命令save 存储到硬盘上,以便下一步计算时使用.对于读出的每一张图,我们需要读出血管截面数据及其边界数据,以便下一步从中读出每张内切圆的圆心坐标与内切圆半径.M A TLAB 记录的图形数据是这样的:如果记录图形数据的是一个二维数组A (i ,j ),则第i 行第j 列上的数值为一个0到255的整数(占用一个字节的存储空间),这个值对应于一个有三列元素的长为256的颜色向量表中的一行,该行的三分量就分别对应于红、绿、兰颜色的颜色值.本题中由于只有黑白两色,所以数组中每个元素只有值为零及为1两个.在程序中我们用值为1记血管截面上的点,因此就用周围四个点的值和为4(因此每一个点的值都是1)来找出血管截面的内点,去掉内点后我们就得到了血管截面的边界点.不过我们得到的还不能算是真正的血管截面的边界.因为图形扫描成数据点时,血管截面中的每一个点实际代表了一小片面积的中心.我们不妨称这个边界为血管截面的内边界.而元素值为0的点(也就是血管截面外的点)的边界称为外边界.将内外边界求平均表示真正的边界才更准确.读出边界及所围的区域数据后,我们从区域中每取出一个点,计算其与边界的最小距离(这就是在这个点所作的与边界相切的圆半径),再从所有内切圆的半径中找出最大时的圆心坐标与半径,就得到小球在这个血管截面处时的球心坐标与球半径.求出所有各张图的球心坐标与球半径,就得到了中轴线坐标及球半径(严格地说球半径应该是一个常数,但是由于扫描与计算误差,因此只能取所有半径的平均值为球心半径).此程序的编写也不复杂.但实际使用时不难发现由于数据量大,需要计算很长时间(当然我们将程序运行后就可以静候结果),为加快计算速度可以使用各种办法.在本文中我们发现圆半径不小于29,第28卷第3期2003年9月广西大学学报(自然科学版)Journal of Guangxi U niversity (N at Sci Ed )V o l .28,N o.3　Sep t .,2003　α收稿日期:20021208;修订日期:20030810作者简介:黄新民(1945),男,广西贺州人,广西大学教授.因此将内点与边界点相同x 坐标的边界点比较其y 坐标,当两个点的坐标之差小于29时就将这个点从内点中排除.对坐标y 相同的点亦作同样处理.由于减法比计算距离的平方运算要快,因此这样做可以加快计算过程.算出中轴线坐标及球半径后,只要使用简单的二维作图命令p lo t 就可以画出中轴线向三个坐标平面的投影图,完成建模题的要求.但是这样做出的图形并没有实现图形的真正三维重建.血管的三维图像重建有多种方法,最简单的是将每张图的轮廓线按其高度在三维空间中复原.本文将介绍实现图像三维重建的另外一种方法.这种方法与学生在大学中所学的高等数学及线性代数的知识密切相关,而且重建的图像可以使用光照、颜色等加工,使图形显得十分美丽,值得介绍.设已求出中轴线方程:x =x (z ),y =y (z ),0≤z ≤99,下面我们求半径为r 的球沿此中轴线运动而得的包络面方程.设(X ,Y ,Z )是包络面上任意一点,则存在z 使得(X -x (z ))2+(Y -y (z ))2+(Z -z )2=r 2.(1)上式的z 为一个参数,当它从0运动到99时其轨迹就形成了管道.将(1)式两边对参数z 求导,则得第二个方程x ′(z )(X -x (z ))+y ′(z )(Y -y (z ))+(Z -z )=0.(2)将(2)式代入(1),化简后得(1+x ′(z )2)(X -x (z ))2+2x ′(z )y ′(z )(X -x (z ))(Y -y (z ))+(1+y ′(z )2)(Y -y (z ))2=r 2,(3)(3)式左方是一个二次型,容易求出其特征值分别是Κ1=1,Κ2=1+x ′(z )2+y ′(z )2,其相应的特征向量是p 1=-y ′(z )x ′(z ), p 2=x ′(z )y ′(z ).因此作变换X -x (z )=-y ′(z )u +x ′(z )v , Y -y (z )=x ′(z )u +y ′(z )v ,(4)之后,(3)式将化简为(x ′(z )2+y ′(z )2)(u 2+(1+x ′(z )2+y ′(z )2)v 2)=r 2,(5)因此,(u ,v )可建立参数式u =r co s (t )x ′(z )2+y ′(z )2, v =r sin (t )(x ′(z )2+y ′(z )2)(1+x ′(z )2+y ′(z )2).将上式代入(4)式,立即得到管道曲面的参数方程X =x (z )+-ry ′(z )co s (t )x ′(z )2+y ′(z )2+rx ′(z )sin (t )(x ′(z )2+y ′(z )2)(1+x ′(z )2+y ′(z )2),Y =y (z )+rx ′(z )co s (t )x ′(z )2+y ′(z )2+ry ′(z )sin (t )(x ′(z )2+y ′(z )2)(1+x ′(z )2+y ′(z )2),Z =z -x ′(z )2+y ′(z )21+x ′(z )2+y ′(z )2r sin (t ).其中0≤z ≤99,0≤t ≤2Π,在中轴线坐标及球半径r 求出来后,可以通过数据拟合得到中轴线的参数方程(由于数据是近似的,因此作数据拟合是合适的)x =x (z ), y =y (z ),　0≤z ≤99.然后就可以画出血管的三维图形了.通过选择观察点及颜色、光照等可以作出十分精致的三维图像.下面的程序即为作图程序(其中x (z ),y (z )是分别拟合成六次多项式).图1是此程序运行后得到的M A TLAB 作出的血管三维图.load cendata %调入中轴线坐标数据,假设存储在变量B 中,共100行,分别表示x ,y ,r 坐标x =B (:,1);%中轴线的x 坐标向量y =B (:,2);%中轴线的y 坐标向量r =sum (B (:,3)) 100;%内切圆半径平均值702第3期黄新民:血管三维图像重建的数学方法z =[0:99]’;%z 坐标向量p 1=po lyfit (z ,x ,6);%以z 为自变量将x 拟合成六次多项式p 2=po lyfit (z ,y ,6);%以z 为自变量将y 拟合成六次多项式zz =[0:0.4:99]’;%重新定义步长更小的高度坐标向量zz xx =po lyval (p 1,zz );%用拟合多项求对应于zz 的坐标xx yy =po lyval (p 2,zz );%用拟合多项求对应于zz 的坐标yy dx 1=po lyder (p 1);%对x 的多项式微分多项式dy 1=po lyder (p 2);%对y 的多项式微分多项式dx 2=po lydval (dx 1,zz );%求x’(z )dy 2=po lydval (dy 1,zz );%求y’(z)图1　用M A TLAB 作出 的血管三维图R 2=dx 2,^2+dy 2.^2;r 1=sqrt (R 2);r 2=r 1.3sqrt (1+R 2);t =linspace (0,23p i ,251);%定义角度s =size (t );X =xx 3ones (s )+r 3((-dy 2. r 1)3co s (t )+(dx 2. r 2)3sin (t ));Y =yy 3ones (s )+r 3((dx 2. r 1)3co s (t )+(dy 2. r 2)3sin (t ));Z =zz 3ones (s )-r 3(r 1. r 2)3sin (t );m esh (X ,Y ,Z ) %三维网线作图surface (X ,Y ,Z )%三维表面作图axis equal%按实际比例值作图axis off%不画坐标轴,使图形更逼真h idden off%消隐,去掉曲面上的网线,使图形更逼真view ([35,88])%选择观察角shading interp%使作图时片与片之平滑过渡co lo r m ap ho t%色彩处理(不一定恰当,请读者自己尝试)caxis ([-70,450])%重设颜色,使颜色接近红色cam ligh t (200,180)%指定光源位置,这些值为尝试值,不一定合适ligh ting gouraud %设置照明方式参考文献:[1]　廖武斌,邓俊晔,王　丹.管道切片的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):22228..[2]　胡亦斌,向　杰,程　翔.利用切片的二维空间相关操作实现血管的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):29234.[3]　徐　晋,刘雪峰,柏容刚.血管的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):35240.[4]　柳海东,陈　璐,江　浩.管道切片的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):41246.[5]　丁峰平,周立丰,李孝朋.血管管道的三维重建[J ].工程数学学报,2002,19(5):47253.[6]　汪国昭,陈凌钧.血管三维重建的问题[J ].工程数学学报,2002,19(5):54258.3D recon struction of blood vesselHU AN G X in 2m in(Co llege of M athem atics and Info r m ati on Science ,Guangxi U niversity ,N anning 530004,Ch ina )Abstract :M A TLAB is u sed to ob tain data of b lood vessel slices .T he radiu s of the b lood vessel is deter m ined and the axes cu rve has calcu lated .T he p aram etric equati on is ob tained and the 3D i m age of b lood vessel su rface is recon structed .Key words :b lood vessel ;param etric equati on ;3D recon structi on(责任编辑　刘海涛)802广西大学学报(自然科学版)第28卷　。

三维重建技术在医学上的应用随着科技的不断进步，三维重建技术已经成为医学领域中不可或缺的一部分。

它可以通过数字化的方法将二维图像转化为三维图像，极大地方便了医生们的诊断和治疗工作。

本文将介绍三维重建技术在医学上的应用，包括它的定义、特点和优势，以及在多个领域中的应用实例。

一、三维重建技术的定义和特点三维重建技术是一种将二维图像处理为三维图像的数字化技术。

它通过计算机算法对一系列二维图像进行透视投影变换、图像配准、体素数据重构等复杂的运算，最终得到一个立体的体绘制图像。

三维重建技术的特点在于它可以使人们以更直观、更形象的方式将医学图像的信息展现出来，从而更好地辅助医生进行诊断、治疗和手术。

二、三维重建技术在医学上的优势相比传统的二维图像，三维图像可以提供更丰富、更直观的信息，有助于医生更准确地了解人体内部的状况。

此外，三维重建技术还有以下优势：1. 精度高：三维重建技术采用数字化处理的方式，可以在极高的准确性下还原出真实的三维空间形态。

2. 可操作性强：通过三维重建技术，医生可以对三维模型进行放大、旋转、平移等操作，从而更加细致地观察病变部位的形态，为后续的治疗提供准确的参考。

3. 安全性高：三维重建技术可以帮助医生在手术之前进行模拟练习，降低手术风险，提高手术成功率。

三、三维重建技术在医学中的应用实例1. 三维重建技术在心血管领域的应用在心血管领域，三维重建技术可以对心脏、血管等内脏器官进行三维重建。

通过三维重建技术，医生可以更加清晰地观察心脏、血管等器官的形态，从而判断疾病的类型、位置和程度。

此外，三维重建技术还可以为心血管手术提供辅助，提高手术成功率。

2. 三维重建技术在肿瘤诊断领域的应用在肿瘤诊断方面，三维重建技术可以将多个二维图像合成为三维模型，清晰地展示肿瘤的类型、大小、位置和与周围组织的关系。

通过三维重建技术，医生可以更准确地确定肿瘤的位置和范围，为后续的治疗提供更精确的方案。

3. 三维重建技术在骨科手术中的应用在骨科手术中，三维重建技术可以帮助医生更准确地测量骨骼的长度、角度和体积，预测手术后的形态，并为手术提供准确的参考。