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第4章 圆轴的扭转(2016)

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材料力学 第四章 扭转

材料力学 第四章 扭转
W = Me 2 n
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
明德行远 交通天下
材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
明德行远 交通天下
材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103

第四章：扭转

第四章：扭转

T Ip
——切应力公式
扭转
4、圆轴扭转时横截面上的最大切应力
max 发生在横截面周边上各点处
max
T max TR T Ip Ip Ip R


max
取 I p /R = Wt —抗扭截面系数 最大切应力： max
max
O
T
T Wt
注意： 以上公式只适合于扭转圆轴， 且材料服从胡克定律。
R γ l

剪切胡克定律：
当切应力不超过材料的剪切比例极 限，切应力与切应变成正比，即：
Gγ
G ——剪变模量
对各向同性材料，E, , G 之间关系： G
E 2(1 )
扭转
四、圆轴扭转时的应力 1、实验现象：
圆周线——形状、大小、
间距不变，各圆周线绕轴 线相对转动了一个角度。
横截面上的最大切应力
max
T 1000 6 Pa 41.7 10 Pa 41.7 MPa 6 Wt 24 10
扭转
例4-4 如图所示，圆轴 AB的 AC 段为空心，CB段为实 心。已知 D 3cm、 d 2cm ；圆轴传递的功率 P 7.5kW，转速 n 360 r/ min。试求 AC及CB段的 Me Me 最大与最小切应力。 解：（1）计算扭矩
许用切应力

u
n
max
u s u b
T
max
塑性材料 脆性材料
对等截面圆轴
Wt

圆轴强度计算可解决工程中的三类问题：
（1）强度校核；（2）截面设计；（3）确定许用载荷。
扭转
例4-5 如图阶梯轴， d1 80mm、d 2 50mm；外力偶矩 M 2 3.2 kN m 、M 3 1.8kN m； M 1 5 kN m 、 材料的许用切应力[ ] 60 MPa 。试校核该轴强度。

04. 圆轴的扭转解析

04. 圆轴的扭转解析

在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6


MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa

max
Tmax
Tmax


WP
D23 1 4 16


6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax

[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁

圆轴扭转的计算(工程力学课件)

圆轴扭转的计算(工程力学课件)

9 549 20 637 300
Nm
318 N.m 1 477 N.m 2 1432 N.m 3 637 N.m
B
1C
A 2
D 3
扭矩图（T图）
318 N.m
477 N.m
1432 N.m
637 N.m
B
C
A
D
练习1
画扭矩图！
5
3
＋
A
B
C
练习2
3000N.m
3000
＋
1200
T图（N.m）
G E
材料的三个弹性常数
2(1 ) 由三个中的任意两个，求出其第三个
扭转的概念 扭矩和扭矩图
扭转变形
角应变
扭转角
受力特点
大小相等、方向相反， 作用面垂直于杆件轴线的外力偶矩
变形特点 任意横截面绕杆轴线产生转动
典型构件
以扭转变形为主的杆件通常称为轴 最常用的是圆截面轴
扭转的工程实例
螺丝刀杆工作时受扭
输出功率： PB 10 kW PC 15 kW PD 20 kW
M eA
9
549
PA n
9 549 45 1 432 300
Nm
M eB
9
549 PB n
9
549 10 318 300
Nm
M eC
9 549 PC n
9 549 15 477 300
Nm
M eD
9 549 PD n
（1）条件 （2）求约束力
扭矩 T图
T
Ip
Tl l FN l
GI P
EA
扭转
拉压
max
Tmax Wp

材料力学 第4章_扭转

材料力学 第4章_扭转
z


d x d z d y d y d z d x 0

返回
4. 切应力互等定理

切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。


纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T

dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。

T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A

04.圆轴的扭转

当在轴的右端作用一力偶 矩m时，圆轴各相邻截面之 间也都发生了绕各自截面轴 心的相对转（错）动。假设 圆轴不长，扭转变形又不是 很大，则纵向线在变形后仍 可近似地看成是一条直线， 只是倾斜了一个角度γ。
一、圆周扭转时的变形分析（续1）
2. 变形分析： 假想沿n-n和m-m两个相距dx的横截面将轴切取一薄
四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。
三、横截面的内力矩——扭矩（续2）
3.扭矩正负号的规定：
（1）右手螺旋法则：
四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
（2）扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 （3）外力偶矩正负号的规定：
指向截面
与坐标轴同向为正，反向为负
' 量显然可以用弧线 ：c c 表示，其值为：
(书P54）
cc' Rd
n-n截面在b点处的 角应变：
g＝cc' R d (5-5)
dx dx
一、圆周扭转时的变形分析（续3）
观察截面n-n上距圆心为ρ处的bρ 点， 如左图，bρ点处的角应变：
g
＝
c c' dx
d
dx
(5-6)
d 表示扭转角沿轴线x的变化率，为两个截面相隔单
g
Mn
B
x
j
B'
1.受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。
2.变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 3.扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移
称为扭转角。
轴的概念
工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为轴。（对比：以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为梁)同时，多数轴是等截面直轴。

材料力学第4章扭转变形


1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为

材料力学-第4章 扭转 ppt课件


dA
T

O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：

G



G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me

P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)

圆轴扭转


空心圆截面：
Wt

D3
16
(1
d4 D4
)

D3
16
(1 4 )
四 等直圆杆扭转时的应力
例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求 最大、最小切应力。
解：
max
T
Wt
T


16
D3
(1

d4 D4
)
max min


16 1000

4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上标出数值和正负号
例题1 画出图示杆的扭矩图 3kN·m Ⅰ 5kN·m Ⅱ 2kN·m
解： AC段
m 0
AⅠ 3kN·m
CⅡ
T1 T2
3kN·m
B 2kN·m
T1 3 0 T1 3kN m
BC段 m 0
T2 2 0 T2 2kN m
ρ
τdA b dA
O2 T
四 等直圆杆扭转时的应力
4 极惯性矩
【公式3-16；公式3-18】
IP
2dA
A
D
2 2 2 d 0
O
D4
32
D
环形截面：
IP


32
(D4

d4)
d D
极惯性矩单位： m4
四 等直圆杆扭转时的应力
同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点 切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂 直于圆的半径，且与扭矩的转向一致
例题3 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m
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当圆轴承受绕轴线转动的 外扭转力偶作用时，其横截 面上将只有扭矩一个内力分 量。
不难看出，圆轴受扭后 ，将产生扭转变形（twist deformation），圆轴上的 每个微元的直角均发生变化 ，这种直角的改变量即为剪 应变。这表明，圆轴横截面 和纵截面上都将出现剪应力
分别用 t 和 t 表示。
三、扭转截面的剪应力
当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各 段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段 横截面上的扭矩。
扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagram of torsion moment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法 相似。
二、扭矩及扭矩图
扭矩正负号的规定 确定扭矩（外力偶矩）方向的右手法则：
y
哪些力互相平衡？
t
A C
微元能不能平衡？
dy
t
x
B
dz
dx
D
z
怎样才能平衡？
三、扭转截面的剪应力
哪些力互相平衡？
y
根据力偶平衡理论
A dy
t
C tdydzdx tdxdzdy
x
t
B
dz
dx
D
t t
z
在微元体的两个相互垂直的截面上, 垂直于截面交线(棱边)的 切应力数值相等. 切应力方向: 共同指向一条棱边,或共同离开一条棱边.
Mn2
mc
AB段 Mn1设为正的 BC段 Mn2设为正的
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
二、扭矩及扭矩图
【例题2】已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，
试绘制扭矩图。
m2
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的矢量方向
扭矩正负号： 离开截面为正，
大拇指 指向截面为负
负
指向截面
正
离开截面
二、扭矩及扭矩图
扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mn m 0
Mn m
【例题1】 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮
B输入功率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为
二、扭矩及扭矩图
在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上将产生 扭矩。
确定扭矩的方法也是截面法，
即假想截面将杆截开分成两部分，横截面上 的扭矩与作用在轴的任一部分上的所有外力偶矩 组成平衡力系。
据此，即可求得扭矩的大小与方向。
二、扭矩及扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方 向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在轴上 的外力偶矩。
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
二、扭矩及扭矩图
课后作业1
已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率 分别为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，画 出该轴扭矩图。
TB
TC
TA
TD
B
C
D A
三、扭转截面的剪应力 试验观察
加载前： 画横向圆周线及纵向线
三、扭转截面的剪应力 加载后现象
观察到的现象: 矩形变为平行四边形
T
T
三、扭转截面的剪应力
1、各纵向线倾斜同角度（水平-倾斜） 2、各圆周线大小/形状/间距不变，绕轴线转
刚性转动
T
T
三、扭转截面的剪应力
A
CA
B
DB
C
t
D
t´
此变形是何种应力引起的?
三、扭转截面的剪应力
A
C
B
D
A'
C'
B'
t
t D'
m1 3 m4
mC 0 , T1 m2 0
T1 m2 4.78kN m A1
D
T2 m2 m3 0 ,
n
B2
C3
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T3 m4 0 , T3 m4 6.37kN m
二、扭矩及扭矩图
③绘制扭矩图 T 9.56 kN m BC段为危险截面。 max
请判断哪一杆件将发生扭转
当两只手用力相等时，拧 紧螺母的工具杆将产生扭转
一、概述
扭转实例
请判断哪一部件 将发生扭转
连接汽轮机和发 电机的传动轴将产 生扭转
一、概述
扭转实例
天 工 开 物
宋应星（1587－1661）
以水车产生动力冶炼铸铁（公元前2世纪）
二、扭矩及扭矩图
作用在杆件上的外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简化 而得，但是对于传递功率的轴，通常都不是直接给出力或力 偶矩，而是给定功率和转速。
化工设备机械基础
主讲教师： 化学化工学院
主要内容
一、概述 二、扭矩及扭矩图 三、扭转截面的剪应力 四、扭转强度设计 五、弯曲变形分析
一、概述
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横 截面上仅有扭矩（Mx）作用时，与扭矩相对应的分 布内力，其作用面与横截面重合。这种分布内力在 一点处的集度，即为剪应力。
圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时 的应力变形分析以及强度设计。
分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁 的应力和变形的方法基本相同。
依然借助于平衡、变形协调与物性关系。
一、概述
扭转实例
搅拌轴
一、概述
扭转实例
自行车，中轴受扭转
一、概述
扭转实例
NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C
x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mA
mB
9550 NB n
9550 10 500
191Nm
x
mC
9550 NC n
9550 6 500
114.6 Nm
Mn1
计算扭矩：
MX 0
MX 0
M n1 mA 0
三、扭转截面的剪应力
切应力互等定理: 如果在微元的一对面上存在
y
剪应力，另一对与剪应力作
因为力偶矩在单位时间内所作之功即为功率，于是有
输入功率：P(kW)
T＝P
T
转速：n (转/分)
其中T为外力偶矩；为
轴转动的角速度；P为轴传递 的功率。
二、扭矩及扭矩图
T＝P
考虑到：1 kW＝l000 N·m/s，上式可以改写为
T 2 n＝P *1000
60
T 9549 P (N m) n
其中功率P的单位为kW；n为轴每分钟的转数， 用r/min表示。
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9.55
P1 n
9.55
530000A
15.9(kN m)
n
B
C
D
m2
m3
9.55
P2 n
9.55
150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55
P4 n
7 (kN m)
二、扭矩及扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
m12
m23