北师大版九年级数学下册第二章小结与复习

考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 系数a，b，c的关系
例3 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=
-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ 23，y2）是抛物线上两
点，则y1>y2.其中正确的是

2
，
则顶点坐标为(1,2)．
针对训练
1．对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的 是( C )
A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x=3时，y取最大值，为2
考点二 二次函数的增减性
例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象
如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)
相同 a=1或－1.
又∵顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,－5).
所以其解析式为:
(1) y=(x－1)2+5
(2) y=(x－1)2－5
(3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5
考点六 二次函数与一元二次方程
例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于 x的方程x2+mx=7的解为（ D ） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7
待定系数法
解得, a=2,b=－3,c=5.
∴ 所求的二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5.
针对训练 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7
的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
二、二次函数的图象和性质
二次函数
y=a(x-h)2+k
y＝ax2＋bx＋c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
x b
2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
y最小=44aacc4a
b2 b2
y最大= 4a
在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与
y2的大小关系是( B )
A. y1≤y2
B．y1<y2
C．y1≥y2
D．y1>y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是
直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1<x2<1， ∴y1<y2 . 故选B.
方法总结
当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未 知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：
(1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然 后进行比较；
(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用 特殊值法求解；
(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
针对针对训训练练
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小
的是（ D ）
A. y=x2 C. y 3 x
4
B.y=x-1 D.y=-3x2
（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=1，
∴图中点C关于x=1的对称点D即为所求，
此时，AC=BD，BC=AD， AB BA,
在△ABC和△BAD中，

AC

BD,
BC AD,
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3，
则C（0，-3），∴D（2，-3）．
第二章 二次函 数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数， a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝ c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直 接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是 图象与x轴交点的横坐标．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点 式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条 件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式．
六、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有 两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及
一元二次不等式的解集．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们 之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的 取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
考点五 二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当
x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函
数的表达式. 解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
a b c 10， a b c 4， 4a 2b c 7，
（ B）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
针对针对训训练练 3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随
x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，
在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，
【解答】∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， ∴－m =3，解得m=－6，
2
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，
即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7． 故选D．
考点七 二次函数的应用
例 7 如 图 ， 梯 形 ABCD 中 ， AB∥DC ， ∠ ABC ＝ 90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30. 作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F 处，DF交BC于点G.
所以S△DEF-S△GBF= 3 x2+60x-450.
1 2
DE2-
1 2
BF2=
1 2
x2- 1
2
(2x-30)2=
2
（3）S= 3 x2+60x-450= 3 (x-20)2+150.
∵a=

3
2
2
＜0,15＜20＜30，
2
∴当x=20时，S有最大值，
最大值为150.
6. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期 间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经 试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45. (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价 x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得 最大利润，最大利润是多少元？
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
减 性 a＜0 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘
三、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系
项目字母 a b
c
字母的符号 a＞0 a＜0 b＝0
ab＞0(a与b同号) ab＜0(a与b异号)
c＝0
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴
x 2b b 2 (1)
，即b≤1，故选择D .
考点四 抛物线的几何变换 例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长 度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表 达式是( B ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上 平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得 到的表达式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2. 故选B.
针对训练
4.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则必 须（ B ） A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
解：（1）由题意，得
1 b c 4, 4 2b+c 5,
解得 b 2,
c -3.
所以，该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点 C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全 等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由.