高中数学正弦函数y=sinx的图像及图像变换讲义

T xx2xx23?
3

性质二：周期性
正弦函数y sin x的周期2kπ(k Z, k 0)
T 2
y Asin（ω x φ ）（A 0，ω 0, x R) 的周期为T 2π
ω
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
y sin x的增区间：[ 2k， 2k ]
B.y sin2x
C.y sinx
D.y sinx1
练习 4、 y 2 sin x 的最大值及取得
最大值时 x 的值为（
）
A. y 3， x 2
B . y 1， x 2 k （ k Z ） 2
C . y 3， x 2 k （ k Z ） 2
（k Z）时，ymax
1；
x

π 2
2kπ
（k Z）时，ymin

1；
例1、下列各等式能否成立？为什么？ （1）2sinx=3； （2）sin2x=0.5
1 sin x 1
例2、设sinx=t-3，x∈R，求t的取值范围。
例3 求下列函数的最值，并求出相应 的x值。 （1） y=2sinx （2）y=sinx+2 （3） y=（sinx-1）2+2 （4）y=sin2x
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
定义域为R
值域为[-1,1]
y
1
y=1
4
3
2
7 2
5 - 3 21 2

0

2
2
-1
x 2kπ （k Z）
2
x 2kπ （k Z）

C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析]
由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民
到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。 [答案] C
[题组冲关] 1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
C．轮船运输
B．铁路运输
D．航空运输
解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务 运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商 办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意 义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。 答案：C
台湾 架设第一条电报线，成为中国自
出行 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ， 方式 转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。 (3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活
多姿多彩 。
[合作探究· 提认知]
电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解

课本练习
练习７．１（１） １．作出函数y＝ｓｉｎx，x∈［－π，π］的大致图像． ２．作出函数y＝ －ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像，并 分别写出使得y＞０和y＜０的 x的取值范围． ３．在同一平面直角坐标系中作出y＝ｓｉｎx和y＝ｓｉｎx＋２ 的大致图像，并说明它们之间的关系．
随堂检测
从图７-１-２可知，（０，０）、（π２，１）、（π，０）、 （３π２，－１）和 （２π，０）是函数y＝ｓｉｎx，x∈［０， ２π］图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲 线将它们连接起来，就得到函数y＝ ｓｉｎx，x∈［０，２π］ 的大致图像（图７-１-４）．
这种通过五个关键点作出正弦函数大致图像的方法，通常称为 “五点（作图）法”．
例１ 用“五点法”作出函数y＝１－ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像，并写 出使得y＜１的x的取值范围． 解 将五个关键点列表（表７１）如下：
描点并用光滑曲线把它们连接起来，就得到y＝１－ｓｉｎx， x∈［０，２π］的 大致图像（图７-１-５）．
作出函数y＝１的图像，如图７-１-５所示．由图可知，使得y＜１的x的取值范 围是 （０，π）．
随着α的变化，可以得到函数y＝ｓｉｎx图像上的其他
点． 方便起见，我们先将单位圆O１ 分为１２等份（等
份数越多，作出的图像越精确），使得角α的弧度数依
次取０、
…、２π，再借助圆 O１ 得到对应
的纵坐标，依次作出函数y＝ｓｉｎx图像上的点（０，
ｓｉｎ０）、
…、
（２π，ｓｉｎ２π），用光滑的曲线将这些点连接起
我们已经知道，任意一个给定的实数狓都对应着唯一确 定的角（其弧度数等于实数x），而这个角又对应着唯一 确定的正弦值ｓｉｎx．这样，对于任意一个给定的实数 x，都有唯一确定的正弦值ｓｉｎx与之对应．按照这个 对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作y＝ｓｉｎ x．正弦函数的定义域是实数集R．

2.求函数的值域，并求取得最值时X的取值集合。
（1）y= - 2sinx
（2）y= 2sin(2x+ 4 )
x [ , ]
4
（3）y= sin2x + 2sinx - 2
-4 -3
-2
y
1
-
o
-1
2
周期的概念
3
4
5 6x
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
练习：函数y＝asinx＋b的最大值为2，最小值为－1，
则a＝________，b＝________.
[解] 当 a>0 时，由题意得
[答案] 32或－32
1 2
a＋b＝2 －a＋b＝－1
，解得ab＝ ＝3212
.
当 a<0 时，由题意，得－ a＋a＋ b＝b＝ －21 ，
解得ab＝ ＝－ 12 32
.
正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2 5π
2
3 7π 4 2
正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x
π 2
…
sinx -1
0… 0
π…
2
1
…
3π 2
0
-1
在闭区间 π22π2k，π,π2π2 2kπ, k Z 上, 是增函数；
f ( x＋T )＝ f (x)
，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个

O
x
“五点法”画正弦、余弦函数图象：
正弦函数、余弦函数图象的画法：
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
画出函数
的简图：
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正弦函数、余数函数的图象 画出函数
5 y=1+sinx，x [0, 2 ] 则 解 集 是 { x | + 2 k x + 2 k ,k Z } . 正弦函数、余弦函数图象的画法：
的简图. 正弦函数、余数函数的图象
探究4：类比于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？请将它们的坐标填入下表，然后作出
的简图.
-1 0 函数在[0,2π]
范围1 以外0的图象-与1 此y范围的图象有什么关系呢?
-1 0
1 0 -1 2
y1sinx
1
210
1
正弦函数、余弦函数图象的画法：
y
-
-
1
1-
6 -4 -34
-2 2 -
oo
-1-
-1
2 2
43
4 6 5
6xx
函 数 y s in x x R 的 图 象
正弦曲线
探究2：你能利用学过的知识作y=cosx的 图象？
ycox ssix n()， xR
2
结 论 :把 正 弦 函 数 ysinx,xR 的 图 象 向 左 平 移
个 单 位 ， 得 到 余 弦 y 函 数 ycosx,xR 的 图 象 .
【课堂小结】
1.代数描点法（误差大）
正余弦函 数图象 的作法
2.几何描点法（精确但步骤繁） 3.五点法（重点掌握）
4.平移法
其中五点法最常用，要牢记五个关键点的坐标.

解决实际问题
通过掌握正弦函数的性质和图像， 可以解决许多实际问题，提高解决 实际问题的能力和素养。
未来研究方向和挑战
深入研究和探索
随着科学技术的发展，正弦函数的应用领域也在 不断扩大和深化，需要进一步研究和探索其性质 和应用。
数值分析和计算物理
随着计算机技术的发展，如何利用正弦函数进行 数值分析和计算物理的研究也是未来的一个重要 方向。
数学建模和算法设计
如何利用正弦函数建立数学模型和设计算法，是 未来研究的一个重要方向。
跨学科应用
正弦函数作为数学中的基础函数，可以与其他学 科进行交叉融合，例如与物理学、工程学、经济 学等学科的结合，需要进一步探索其跨学科应用 的价值和可能性。
THANKS
感谢观看
图像形状
正弦函数和对数函数的图像形状也不同。正弦函数的图像呈现波形，而对数函数的图像 呈现向上或向下凸出的趋势。
05
总结与展望
正弦函数的重要性和应用价值
数学基础
正弦函数是数学中的基本函数之 一，是学习三角函数、复数、微
积分等数学领域的基础。
应用广泛
正弦函数在物理学、工程学、经济 学等多个领域都有广泛的应用，例 如振动分析、交流电、信号处理等 。
振幅和相位
通过调整正弦函数中的振幅和相位参 数，可以改变图像的高度和位置。了 解这些参数对理解正弦函数图像的影 响非常重要。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
简谐振动
正弦函数描述了许多物理现象， 如简谐振动。在物理中，简谐振 动是一种基本的振动类型，其位 移与时间的关系通常可以用正弦
函数表示。
交流电
操作步骤
在软件中选择相应的函数图像绘制工具，输入正弦函数公式（例如y=sin(x)）， 然后选择x的取值范围（例如-π到π），最后点击“绘制”按钮即可生成正弦函数 的图像。

正弦函数的图像 课件
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汇报人：PPT
添加目录标题 课件概述
正弦函数基础 知识
正弦函数的图 像绘制
正弦函数图像 的变换与性质
正弦函数的应 用实例
总结与回顾
添加章节标题
课件概述
适用对象：高中生
课件简介
教学目标：掌握正弦函数的图 像特点，理解其性质和应用
信号的滤波：正弦函数可以 作为滤波器的一种基础波形
信号的表示：正弦函数可以 用来表示周期信号
信号的调制：正弦函数可以用 于调制信号，例如在无线通信
中
总结与回顾
知识点总结
正弦函数的定义 与性质
正弦函数的图像 与特点
正弦函数的应用 与实例
回顾与总结：加 深对正弦函数的 理解和掌握
回顾与思考题
正弦函数的定义和性质 正弦函数的图像特点和绘制方法 正弦函数的应用和实际意义 回顾与思考：如何更好地理解和掌握正弦函数的图像？
感谢观看
汇报人：PPT
设置x的范围：例 如x = np.linspace(-2 * pi, 2 * pi, 1000)
绘制图像：例如 plt.plot(x, y)
正弦函数图像的变换与 性质
振幅变换与周期变换
振幅变换：改变正 弦函数的幅度大小， 图像形状不变
周期变换：改变正 弦函数的周期，图 像形状不变
振幅与周期的关系 ：振幅越大，周期 越短；振幅越小， 周期越长
振幅与周期变换的 应用：在信号处理 、电子工程等领域 有广泛的应用
相位变换的方法
相位变换
相位变换对函数图像的影响
相位的概念
相位变换在实际问题中的应 用

y=sinx，x[0, 2]
课内练习
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y=
sin(x+ 2
)，x[


2
,
3 2
] ；y=sinx，x[0, 2]

x x
y 2 1


02
0
2
2 0 -1
3 2
3 22
sinx 1 0 sin( x+ 2 )
0 1
2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准，并想一想 找 “五点”有什么规律？
1.5.3 正弦函数的 性质
正弦函数 y=sinx 的性质
y 1
y 1

2
2



2
O
1

3 2
2
3
4
y 1
x
（1）定义域
实数集R
2k 1 当x=________________时， ymax _____ 2
2
x
y=sinx xR y=sinx x[0,2] f ( x 2k ) f ( x) 利用图象平移
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y
1


2
o -1
2

3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y y=sinx xR
1 -4 -3 -2 -
正弦曲线
o
-1

2
3
4
5
6
x
想一想
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高 时）？

2．通过练习检测学生对知识的掌握情况: 可能出现问题：不会找五个点； 几何作图不够美观
3．根据学生在课后作业情况，查漏补缺。
谢谢
华侨中学 苏育亮
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。

波形
正弦函数的图像呈现出典 型的波形，即一个连续的 、重复的曲线。
图像的周期性与振幅
周期性
正弦函数的周期性意味着我们可以使用一个常数（通常称为相位偏移量）来移动 函数的图像，而不改变其形状或特性。这个常数被称为相位偏移量，通常用希腊 字母表示。
振幅
正弦函数的振幅是指函数值可以变化的范围。振幅的大小可以用数学公式表示， 也可以在图像上直观地看到。
要点二
控制系统
正弦函数经常用于分析和设计控制系统，如反馈控制系 统和自动控制系统。在控制工程中，正弦函数被用于描 述和建模系统的动态行为。
在数学与其他领域中的应用
微积分
正弦函数是微积分中重要的函数之一。它在求解微分方 程、最优控制和最优化问题等数学问题中具有广泛的应 用。
统计学
正弦函数在统计学中也有应用，如在描述正态分布的尾 部概率密度函数时。此外，正弦函数还被用于信号处理 和图像处理等领域。
图像的极值与零点
极值
正弦函数在某些点上达到最大或最小值。这些点称为极值点 。在图像上，极值点通常表现为曲线向上或向下突然转折的 点。
零点
正弦函数在某些点上为零。这些点称为零点。在图像上，零 点通常表现为水平线段，即函数值为零的点。
03
正弦函数的性质
函数的单调性
递增区间
正弦函数在$\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{\pi}{2} + 2k\pi\rbrack(k \in \mathbf{Z})$上单调 递增。
正弦函数与反正弦函数的关系
反正弦函数（asin）是正弦函数的反函数。 它的定义域和值域与正弦函数相反。
反正弦函数和正弦函数在图像上呈现对称性 ，且具有相同的频率但相位不同。

各点横坐标伸长到原来的 2 倍
y=sinx
（周期变换）
y=sin 1 x
2
所有点向右平移于 2 个单位
3y=sin(源自1x-)（变相位换）
23
各点纵坐标伸长到原来的 3
倍
1
y=3sin(
x-
)
（振幅变换）
23
上一张 下一张 图象
小结 先相位变换再周期变换
1、相位变换：把的图象上所有点向左(>0)或向
右(<0)平移 个单位。
2、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(>1)或
伸长 (0<<1)到原来的 1 倍。(纵坐标不变)
3、振幅变换：把所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩
短(0<A<1)到原来的 A 倍。(横坐标不变)
上一张 下一张 图象
小结 先周期变换再相位变换
1、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(>1)或
设计与制作： 顺德市北滘中学
雷沅江
问题1
函数y=sinx与函数y=Asinx(A>0)的 图象间有何关系？
观察结果： 在y=sinx的基础上，把所有各点的纵坐标
伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍
（横坐标不变）得到y =Asinx图象。
上一张 下一张 图象
问题2
函数y=sinx与函数y=sinx( >0)图 象间有何关系？
移 个4 单位,得到的函数( )C的图象。
(A)y=cos(2x+ 4) (B)y=cos(x 2 - 4) (C)y=cos( x 2- 8) (D)y=cos( x 2+ 8)
上一张 下一张 图象 总结1 总结2

§5 正弦函数的图像
前面我们借助单位圆学习了正 弦函数y=sin x的基本性质，下面 画出正弦函数的图像，然后借助正 弦函数的图像，进一步研究它的性 质.
从单位圆看正弦函数的性质
sin α= v
-1
y函数y=sinx
1
正弦函数y=sinx有 以下性质：
（1）定义域：R
P(u,v) （2）值域：[-1，1]
7 4 3 5 11 2
6 32 36
三、五点法
y 图像的最高点( ,1)
1-
2
3 2
-1 O
( ,0)
2
-1 -
图像的最低点
x
2
与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
简图作法
(
3 2
,1)
(1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标). (2)描点(定出五个关键点). (3)连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
π 2
3π 2
2
y=sinx 0 1 0 -1 0
y=sinx
0 -1 0
1
0
y
1
.
O
-1
.2
.y= -sinx, x[0, 2 ]
.
.
3
2
x
2
y s i n x ,x [ 0 , 2 π ]
例2.用五点法画出y=1+sinx在区间[0,2π]上的简图. 解：列表
x0 y=sinx 0 1 y=1+sinx
α
（3）是周期函数，
o
M 1 x 最小正周期是 2
（4）在[ 0，2 ]上 的单调性是：
-1
提出问题
1、画函数的图像有哪些方法?

[2kπ，(2k+1)π] (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小 到-1.
解：由 cosx≥0 得：+2kπ 2 （k∈Z) ∴函数定义域为[- +2kπ， +2kπ] 2 2 +2kπ≤ x ≤ 2
例：求函数y = 2 cos x +1 的定义域、值域， 并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为 多少？
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…


2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
2 的最小正周期为
例：求证 1）y=cos2x+sin2x的周期为
证明：f ( x ) cos 2( x ) sin 2( x cos(2 x 2) sin(2 x 2 cos 2 x sin 2 x f ( x)
知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π。
周期性
注意：（1）周期T为非零常数。 （2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都 成立。 （3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一 端是无界的）

周期函数：f(x+T)=f(x) 最小正周期：所有周期中最小的正数
y 1
4 x
y 1
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
定义域
x∈ R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
当函当数xx∈ ∈是[[22增kkππ加+- 的ππ22，,,22kkππ++
例2.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图
解：(2)
x
0
π 2
π
3π 2
2
sinx 0
1
0
-1
0
1sinx 1
2
1
0
1
y. 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
3. 作出下列函数的图象
y 3 sin x x [0 , 2 ]
求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取 最大值、最小值的x值的集合。
解： ymax 2 sin x max 2 1 3
ymin 2 sin x min 2 (1) 1 周期T 2
使y=2+sinx取得最大值的x的集合是：
x
x
2
2k , k
Z
使y=2+sinx取得最小值的x的集合是：

信号处理
在信号处理领域，正弦函数常被用 于信号的滤波、调制和解调等操作。
机械工程
在机械振动和噪音控制中，正弦函 数被用于描述和分析振动模式和频 率。
在日常生活中的应用
音乐
正弦函数在音乐领域的应 用非常广泛，如音高和音 长的计算等。
通信
无线电和电视信号的传输 过程中，正弦函数用于调 制和解调信号。
医学成像
正弦函数的周期性
总结词
正弦函数具有周期性，即函数图像每 隔一定周期重复出现。
详细描述
正弦函数的周期为360度或2π弧度，这 意味着每经过360度或2π弧度，函数值 会重复之前的值，形成周期性的波形。
正弦函数的奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，具有奇函数的性质。
详细描述
奇函数满足性质f(-x)=-f(x)，对于正弦函数，当取相反角度时，函数值也取相反 数。例如，sin(-π/2) = -1，与sin(π/2)的值相反。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
01
02
03
简谐振动
正弦函数是描述简谐振动 的基本函数，如弹簧振荡 器、单摆等。
交流电
正弦函数被广泛用于描述 交流电的电压、电流和频 率，是电力系统的基本模 型。
声学
声音的传播和波动可以用 正弦函数来描述，如声波 的振幅和频率。
在工程中的应用
控制系统
正弦函数在控制系统分析中有着 广泛应用，如PID控制器等。
03
奇偶性
正弦函数是奇函数，而正切函数是奇函数。这意味着它们在对称性上有
相同的表现。
与其他三角函数的比较
定义域
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有其他一些三角函数，如反正弦函数、反余弦 函数、反正切函数等。它们的定义域各不相同，但都与正弦函数、余弦函数和正切函数的 定义域有交集。

三角函数正弦函数的图像与性质 正弦函数的图像课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 正弦函数图像生成 • 正弦函数的性质 • 常见三角函数公式 • 正弦函数的应用 • 实战案例：使用正弦函数和余弦函数解决实际问
题
01
正弦函数图像生成
准备绘制正弦函数图像
选择坐标系
在直角坐标系中，选择一个周期内的图像，可选择 $y=sin(x)$或$y=sin(2x)$等。
03
常见三角函数公式
两角和与差的余弦函数和正弦函数公式
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
倍角公式和半角公式
$\cos 2x=cos^2 x-sin^2 x$ $\cos\frac{x}{2}=\frac{\cos x+1}{2}$
$\sin 2x=2sin x cos x$ $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{1-cos x}}{2}$
积化和差和反三角函数公式
使用正弦函数和余弦函数解决桥梁振动问题
总结词
利用正弦、余弦函数的性质，建立模型并解决实际问题。
详细描述
通过实例演示如何利用正弦、余弦函数的性质，建立模型并解决桥梁振动问题， 包括振幅、频率、相位等的求解。
使用正弦函数和余弦函数解决日常生活中的优化问题
总结词
将正弦、余弦函数应用于优化问题中，提高解决方案的效率 和精度。