行程问题与分段函数

用分段函数解决实际问题分段函数是高中数学中一个非常基础的概念，它可以描述实际问题中某个变量与另一个或多个变量之间的特定关系。

在本文中，我们将探讨使用分段函数来解决实际问题的方法和技巧。

一、分段函数的定义与基本形式分段函数是由若干条代数式构成的函数，它的定义域被划分成若干个互不重叠的子集，对于每一个子集，函数都有一个独立的代数式来描述它的函数值。

分段函数通常用大括号来表示，基本形式如下：$$y=\begin{cases}f_1(x) & a\le x<b \\f_2(x) & b\le x<c \\... \\f_k(x) & t_{k-1}\le x\le t_{k}\end{cases}$$其中，$a,b,c,t_1,t_2,...,t_k$都是实数，$f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)$是分段函数的每个子集对应的代数式。

二、分段函数的应用分段函数在实际问题中的应用非常广泛，下面我们来介绍一些常见的例子。

1. 图像压缩图像压缩是一种常见的数据处理技术，可以将大尺寸的图像压缩成小尺寸的图像，从而减小数据传输和存储的成本。

其中，图像中的每个像素点都可以看作是一个函数，它的灰度值决定了这个像素点的颜色和亮度。

假设我们需要将一个灰度值在$[0,255]$之间的像素点进行压缩，我们可以定义以下的分段函数：$$y=\begin{cases}0 & 0\le x<50 \\\dfrac{127}{105}(x-50) & 50\le x<155 \\\dfrac{128}{105}(x-200)+127 & 155\le x<250 \\255 & 250\le x\le 255\end{cases}$$这个分段函数将灰度值在$[0,255]$之间的像素映射到一个新的灰度值$[0,255]$之间，从而实现图像的压缩效果。

分段计算的行程问题中营四黄凡…摘要：1.了解分段计算的行程问题背景2.掌握分段计算行程问题的解题方法3.分析分段计算行程问题的实际应用场景4.总结分段计算行程问题的注意事项正文：在日常生活和工作中，我们经常会遇到与行程相关的数学问题。

其中，分段计算的行程问题具有一定的复杂性，但通过掌握一定的解题方法，我们可以轻松地解决这类问题。

本文将从分段计算行程问题的背景、解题方法、实际应用场景以及注意事项等方面进行详细分析。

一、了解分段计算的行程问题背景分段计算的行程问题通常是指在一条线路上，有多个路段，每个路段的长度和速度都不相同。

我们需要根据这些信息，计算出在不同路段上行驶所需的时间，以及整个行程的总时间。

这类问题在实际生活中广泛应用于交通规划、物流配送、赛车比赛等领域。

二、掌握分段计算行程问题的解题方法1.明确已知条件：分段计算行程问题一般包括线路长度、路段速度、起点和终点等基本信息。

在解题前，我们需要先梳理清楚这些已知条件。

2.利用公式计算：根据已知条件，我们可以利用以下公式计算各个路段所需时间：时间= 路程/ 速度3.计算总时间：将各个路段所需时间相加，即可得到整个行程的总时间。

4.分析和优化：在计算出整个行程的总时间后，我们还可以对结果进行分析与优化。

例如，通过调整行驶路线、优化速度等方法，以降低行驶时间或成本。

三、分析分段计算行程问题的实际应用场景1.交通规划：在城市交通规划中，通过分析道路长度、路段速度等因素，利用分段计算行程问题求解最优路线，有助于提高道路通行效率。

2.物流配送：在物流配送领域，分段计算行程问题可以帮助企业优化配送路线，降低运输成本，提高客户满意度。

3.赛车比赛：在赛车比赛中，了解各赛段的长度和速度，可以计算出赛车在各赛段的最佳行驶策略，从而提高比赛成绩。

四、总结分段计算行程问题的注意事项1.梳理清晰已知条件：在解决分段计算行程问题时，首先要确保已知条件的准确性，以便正确计算各个路段所需时间。

七年级数学分段知识点概括数学一直是学生们较为头疼的科目之一。

而在学习数学的过程中，分段函数是一个非常重要的知识点，可以为学生提供更为广泛的数学思想和应用。

下面我们将从以下几个方面概括七年级数学中的分段函数知识点。

一、分段函数的定义分段函数是指定义在多个子区间上的函数，通常采用函数符号来表示。

在每个子区间中分别定义函数的表达式，形成一个整体的函数。

例如，整个定义域为[-∞,+∞]，那么可以将函数分为以下三类：当x≤1时，f(x)=x+2；当1<x≤3时，f(x)=x^2+2；当x>3时，f(x)=x-2。

二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由分段的部分连接而成的。

在定义域中的不同区间，连续地绘制相应的函数图像，连接成整体的图像。

以函数y=f(x)=|x-2|为例子，它可以被分成两部分：当x<2时，y=-(x-2)；当x>2时，y=x-2；在x=2的位置处，y=0。

因此，可以将y=f(x)的图像分成两条直线，它们连接在(2,0)处。

三、分段函数的性质分段函数具有以下几种常见的性质：1. 奇偶性如果一个分段函数在每个子区间上都满足奇偶性，则分段函数为奇函数或偶函数。

2. 周期性在每个子区间中，函数可能存在周期性。

3. 连续性在每个子区间中，函数可能存在连续性。

4. 密闭性在每个子区间中，函数可能存在没有空缺的密闭性。

五、分段函数的应用分段函数在实际应用中具有广泛的应用。

它可以应用于投资收益率、车辆行驶里程和多种无线查询等方面。

举个例子，现在已知水果店的桔子价格：当购买5个或更少的桔子时，每个桔子的价格为2元；当购买6~9个桔子时，每个桔子的价格为1.5元；当购买10个或更多的桔子时，每个桔子的价格为1元。

因此，可以得出以下的分段函数：当x≤5时，y=2x；当5<x≤9时，y=1.5x+2.5；当x>9时，y=x-4。

通过分段函数，可以方便地计算出购买不同数量桔子的价格。

分段计算的行程问题中营四黄凡…【实用版】目录1.计算行程问题的背景和意义2.分段计算行程问题的方法3.案例：营四黄凡的行程问题4.总结和展望正文1.计算行程问题的背景和意义计算行程问题是数学中的一个基本问题，涉及到物体在空间中的运动和位置，因此在生活和科学研究中有着广泛的应用。

在行程问题中，通常需要计算物体从一个地点到另一个地点所需的时间、距离、速度等物理量。

2.分段计算行程问题的方法分段计算行程问题是一种常见的解决行程问题的方法。

这种方法将整个行程分为多个小段，分别计算每个小段的时间、距离、速度等物理量，最后将它们相加得到整个行程的结果。

这种方法可以有效地简化问题，提高计算的精度和效率。

3.案例：营四黄凡的行程问题营四黄凡是一个经典的行程问题。

假设有一个人要从家里出发去营地，途中需要经过四个黄灯，每个黄灯需要停车等待一段时间。

假设这个人从家里出发时，第一个黄灯已经亮了，而且每经过一个黄灯，等待的时间就会加倍。

如果这个人在每个黄灯前等待的时间分别为 1 分钟、2 分钟、4 分钟和 8 分钟，那么他到达营地需要多长时间？通过分段计算行程问题的方法，可以得到这个人到达营地需要的时间为 9 分钟。

具体来说，可以将整个行程分为五个小段，分别是从家到第一个黄灯、从第一个黄灯到第二个黄灯、从第二个黄灯到第三个黄灯、从第三个黄灯到第四个黄灯、从第四个黄灯到营地。

每个小段的时间分别为1 分钟、2 分钟、4 分钟、8 分钟和 16 分钟，将它们相加得到整个行程的时间为 9 分钟。

4.总结和展望分段计算行程问题是一种有效的解决行程问题的方法，可以将整个行程分为多个小段，分别计算每个小段的时间、距离、速度等物理量，最后将它们相加得到整个行程的结果。

这种方法可以有效地简化问题，提高计算的精度和效率。

在解决具体的行程问题时，需要仔细分析问题的背景和条件，选择合适的方法和工具，才能得到正确的结果。

初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。

分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。

本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。

一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。

通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。

二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。

因此，我们需要确定每个区间的定义域。

在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。

而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。

在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。

值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。

对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。

因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。

三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。

在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。

分段函数具有一些特殊的性质。

首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。

其次，分段函数可能具有端点处的间断点。

例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。

四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。

八年级数学分段函数知识点数学是一门需要思维和逻辑能力的学科，而分段函数则是数学中一个比较抽象和难以理解的概念。

在八年级数学教学中，分段函数是一个非常重要的知识点，本文将详细介绍八年级数学分段函数知识点。

一、什么是分段函数分段函数是指一个函数根据自变量不同的取值范围，将一个函数分成不同的部分。

通俗地说，就是一个函数可以有不同的定义域上的表达式。

例如，当x<0时，f(x)=x+3；当x≥0时，f(x)=x-2。

这就是一个简单的分段函数。

二、表示方式分段函数可以用多种方式进行表示。

最常见的方式是用大括号将不同条件下的函数表达式括起来表示。

例如，如下函数就是一个分段函数。

-2x+1 (x>=0)f(x)=x+3 (x<0)另外，也可以用数学符号 Iverson括号表示分段函数，如下：f(x)=[x>=0](-2x+1)+[x<0](x+3)三、分段函数的应用分段函数是数学中十分重要的概念，它在很多领域里都有广泛的应用。

例如，在物理学、经济学、社会学等领域中，分段函数被广泛应用。

在数学中，分段函数常常和绝对值函数一起使用。

例如，对于一个函数f(x)=|x|，它在不同条件下的定义域可能不同。

当x≥0时，f(x)=x；当x<0时，f(x)=-x。

这就是一个分段函数。

四、常见的分段函数1. 常函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于一个常数c。

例如，f(x)= 2，当x属于[-1,1]时。

2. 反比例函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于1/x。

例如，f(x)=1/x，当x属于(0,∞)。

3. 绝对值函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于|x|。

例如，f(x)=|x-1|，当x属于[1,3]。

4. 仿射函数：当x属于一个给定的区间时，f(x)等于ax+b，其中a和b为常数。

例如，f(x)=2x+1，当x属于[0,1]。

五、练习题1. 求下列函数f(x)的解析式：当x≤0时，f(x)=x+1；当0<x≤1时，f(x)=x+2；当x>1时，f(x)=2x-3。

一次函数图像中行程问题的新解法
在一次函数的图像中，行程问题指的是求出图像的哪些部分在某个区间内。

这类问题通常用来求出函数的值域，或者求出满足某些条件的解的个数。

通常解决行程问题的方法是使用图像的导函数。

对于一次函数来说，导函数是一个常数。

因此，如果知道了导函数的值，就可以简单地求出函数的行程。

但是，这种方法有一个缺陷，即如果函数在某个区间内不连续，那么就无法使用这种方法求解。

为了解决这个问题，可以使用新的方法——函数的分段行程。

分段行程是指将函数的图像分成若干段，并分别计算每一段的行程。

这样，就可以避免函数不连续带来的问题。

要使用分段行程求解行程问题，需要先找出函数的分段点，然后分别计算每一段的行程。

这需要使用一些数学知识，例如判别式的求解、求根公式的使用等。

另外，还需要注意函数的单调性，以便正确地计算行程。

第7课分段计算的行程问题知识精讲我们已经学习了行程问题中的两种基本情况：相遇问题和追及问题。

知道了行程问题的特点是已知速度、时间和路程三个量中的两个，求第三个量。

但是，由于复杂的行程问题中运动方向、出发或到达的时间、地点等变化多端，而且与其他典型问题综合，使得速度、时间、路程中的对应关系不易捕捉，题目综合性强。

因此，在解答行程问题的应用题时，要善于联想、转化，找准突破口，具体说应掌握以下三点：1、仔细分析数量关系，灵活运用数量关系式，在速度、时间、路程这三者之间选择以谁为主来考虑。

2、画图分析，将隐蔽的数量关系具体明了反映出来，直观地揭示已知和未知之间的关系。

3、解题时还要学会分段、比较、从整体考虑等各种辅助手段。

行程问题相关公式大集结1.基本公式（1）基本行程：路程=速度×时间，速度=，时间=；（2）相遇问题：路程和=速度和×相遇时间，速度和=，相遇时间=；（3）追及问题：路程差=速度差×追及时间，速度差=，追及时间=。

2.火车行程——计算物体本身长度的行程（4）火车完全过桥（车头上桥到车尾下桥）：路程=；（5）火车在桥上（车尾上桥到车头下桥）：路程=；（6）火车与人相遇（车头碰见人到车尾离开人）：路程和=；（7）火车与人追及（车头追上人到车尾离开人）：路程差=；（8）火车与火车相遇（车头相遇到车尾相离）：路程和=；（9）火车与火车追及（快车头追上慢车尾到快车尾离开慢车头）：路程差=；（10）齐头并进（车头对齐到快车尾离开慢车头）：路程差=；（11）齐尾并进（车尾对齐到快车尾离开慢车头）：路程差=；（12）队列与人相遇（人从对头到队尾）：路程和=；（13）队列与人追及（人从队尾到对头）：路程差=；（14）火车上的人与另一火车相遇（从火车头遇上人到火车尾离开人）：路程和=；（15）火车上的人与另一火车追及（从火车头追上人到火车尾离开人）：路程差=；（16）火车上的人相对于地面的速度：人在车内静止时，人的速度=；人与所乘车同向运动时，人的速度=；人与所乘车反向运动时，人的速度=。

1、一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）的长度()my与挖掘时间()hx之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：⑴乙队开挖到30m时，用了h．开挖6h时甲队比乙队多挖了m；⑵请你求出：①甲队在06≤≤的时段内，y与x之间x的函数关系式；②乙队在26≤≤的时段内，y与x之x间的函数关系式；⑶当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？22、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。

（1）写出每月电话费y（元）与通话次数x之间的函数关系式；（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数25、为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y（元）（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x之间的函数关系式；（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费514.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？27、在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克.每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x≤1，x≥1时y 与x 之间的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？2、甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s （千米）与时间t （时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求A 点距山顶的距离；⑶在⑵的条件下，设乙同学从A 点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B 处与乙同学相遇，此时点B 与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？12623S（千米）t（小时）CD EF B甲乙11、小明、小颖两名同学在学校冬季越野赛中的路程y （千米）与时间x（分）的函数关系如图所示。

第二十讲行程问题中的分段与比较前一讲，我们学习了变速和变向问题．这一讲我们来共同研究一些较复杂的分段问题．首先来看一个复杂的相遇问题．例1．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在某处相遇．如果甲每分钟多走15米，而乙比甲提前2分钟出发，则相遇时仍在此处．如果甲比乙晚4分钟出发，乙每分钟少走25米，也能在此相遇．那么A、B两地之间相距多少千米？「分析」画出三次相遇的线段图，然后分段比较．练习1、一位职员每天早上以40千米/时的速度驾车，恰好能准时到达公司；某一天他晚离开家7分钟，结果需要把速度提高8千米/时才能够准时到达公司，那么他家到公司的距离为多少千米？在分段问题中，有的时候需要比较前后的情况．在比较中，最重要的就是找到不同和联系，注意前后的时间和速度的关系也是解决问题的关键．例2．墨莫骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟．但是因为从他家开始2千米长的一段路正在修路，他只好推车步行，步行速度只有骑车速度的13，结果这天用了36分钟才到学校．从墨莫家到学校有多少千米？「分析」画出正常情况下，及修路时墨莫从家到学校的线段图，结合正反比例解题．练习2、墨莫走路从家到学校去，平常要用30分钟．但是今天当他走到距离学校3千米处时，搭了路老师的顺风车去学校，结果这天用了26分钟就到了学校．已知车速是墨莫步行速度的3倍，从墨莫家到学校有多少千米？例3．刘老师从家到单位时，前13的路程骑车，后面的路程乘车；从单位回家时，前58的路程乘车，后面的路程骑车．结果去单位的时间比回家的时间少2分钟．已知刘老师骑车每小时行8千米，乘车每小时行16千米．请问：刘老师家到单位的距离是多少千米？「分析」画出线段图，结合分段比较及行程中的正反比例解题．练习3、小高从家去学校时，前一半路程步行，后一半路程乘车；回家时，前13的路程乘车，后23的路程步行．结果回家比去学校要多用10分钟．已知小高步行每小时行5千米，乘车每小时行30千米．那么小高家距离学校多少千米？例4．小明准时从家出发，以3.6千米/时的速度从家步行去学校，恰好准时到校．某天，当他走了1.2千米，发现手表慢了5分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课．后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校．那么他家离学校多少千米？小明跑步的速度是每小时多少千米？「分析」画出线段图，分段比较计算．练习4、小郭准时从家里出发，以每分钟100米的速度从家步行去学校，恰好准时到达．某天，当他走了4千米的时候，发现手表慢了15分钟，因此立刻跑步前进，到学校的时候恰好准时．后来算了一下，如果从一开始就跑步，可以比一直步行早到30分钟．那么他家离学校多远？小郭跑步的速度是多少？例5．每天从上游的甲地和下游的乙地会同时各开出一艘游船相对而行，船在静水中的速度都是每分钟600米．一天，两船出发后发现水流速度比平时快了2米/秒，结果两船的相遇点和平时的相遇点相差了1000米，那么两地的距离是多少米？「分析」两船相向而行，一个顺水，一个逆水．它们的速度和是()()静水速度水速静水速度水速，水速正好抵消，说明速度和就是两船静水速度++-之和，没有发生变化．速度和不变，那么两次相遇所用的时间会不会变呢？例6．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米．请问：A、B两地间的距离是多少千米？「分析」画出线段图，分段比较计算．汽车加速时间汽车的加速性能，包括汽车的原地起步加速时间和超车加速时间．原地起步加速时间，指汽车从静止状态下，由第一挡起步，并以最大的加速强度(包括选择最恰当的换挡时机)逐步换至高挡后，到某一预定的距离车速或车速所需的时间．目前，常用0--96KM所需的时间(秒数)来评价．超车加速时间，用最高挡或次高挡全力加速至某一高速所需要的时间．加速时间越短，汽车的加速性就越好，整车的动力性随即提高．部分车型加速时间（测试时间2007年）：公司车型加速时间奥迪奥迪A8 S85.2 5.415斯巴鲁翼豹06款WRX轿车版 5.521宝马宝马5系M5 5.59奥迪奥迪TT3.2 Quattro 5.69北京奔驰克莱斯勒300C 5.7L 豪华版 6.7凯迪拉克CTS3.6高性能版 6.705凯迪拉克CTS3.6高性能运动型 6.8华晨宝马宝马5系530Li豪华型7.467宝马宝马7系750Li 7.6奥迪奥迪A84.2 7.626作业1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在中点相遇；若甲每小时多走6千米，乙提前2小时出发，则仍在中点相遇，那么A、B两地相距多少千米？2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，4小时后在途中相遇；若甲每小时少走4千米，乙晚1小时出发，则仍在同一地点相遇．已知A、B两地间的距离是180千米，那么乙的速度是每小时多少千米？3.路秀才要赶到京城去参加科举考试．按原定速度的话，他需要10天才能到达京城．但是当他走到路程的一半时大病了一场，耽搁了2天．病好之后他换了匹好马，每天能多走100里，结果正好在原定日期赶到．那么路秀才家离京城多少里？4.小高准时从家出发，以每小时6千米的速度从家步行去学校，恰好提前6分钟到校．某天，当他走了2千米的时候，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好提前2分钟上课．后来算了一下，如果小高从家开始就跑步，可以比一直步行早18分钟到校．那么他家离学校多少千米？小高跑步的速度是每小时多少千米？5.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇点距离B地10千米．如果甲每小时多走4千米，乙每小时少走4千米，相遇点距离B地8千米．那么乙原来每小时走多少千米？第二十讲 行程问题中的分段与比较例题：例7． 答案：5.7千米详解：甲速度变快的时候，乙的时间还是20分钟，甲的时间变为了18分钟，考虑到甲的路程没有变化，可知此时的速度和刚开始时的比为20:18，可计算出开始时甲的速度为135米/分．乙变慢的时候，甲的时间还是20分钟，但乙的时间变为了24分钟，同样可知，开始时乙的速度为150米/分，则可求出甲乙两地间的距离为20(135150)5700⨯+=米，为5.7千米．例8． 答案：5千米详解：墨莫这天比平时多走了16分钟，主要是浪费在修路的地方．在修路的地方，这天与平时的速度比为1:3，时间比为3:1，因此平时行这段距离用时8分钟，从墨莫家到学校的距离为28205÷⨯=千米．例9． 答案：12.8千米详解：去的时候，23的路程乘车，回家的时候，58的路程乘车，两者相差全程的2513824-=，说明在这段路程上，乘车比骑车少用2分钟，乘车与骑车速度比为2:1，时间比为1:2，因此这段路程乘车用时2分钟，全程乘车用时48分钟，合0.8小时．刘老师家到单位的距离为160.812.8⨯=千米．例10． 答案：1.8千米；7.2千米/时A B A B A B 甲乙乙甲甲乙家 学校 平常 36分钟这天20分钟详解： 如图，小明在OB 这段路程跑步相当于比步行少用5分钟，而如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校，说明OB 为全程的13，全程为11.2(1) 1.83÷-=千米，小明步行全程用时1.8 3.60.5÷=小时，合30分钟，则跑步行全程用时301515-=分钟，跑步速度为7.2千米/时．例11． 答案：10000米详解：抓住不变量，两次相比可以发现所行路程和，速度和不变，因此所用时间也相同．顺流的游船比平时多行了1000米，每秒钟多行2米，因此所用时间为500秒．两地的距离为()500101010000⨯+=米．例12． 答案： 420千米详解：抓住不变量，第二个过程与第三个过程甲、乙速度和，路程和不变，因此所用时间相同（相同时间相同线）．比较甲2与甲3，相同时间内甲3比甲2多行了28千米，每小时多行5千米，因此行了285 5.6÷=小时．比较甲1与甲2，两者速度相同，甲1比甲2多行了12千米，多行了0.4小时，说明甲1与甲2的速度为30千米/时．同理，比较乙1与乙2，可求得乙1与乙2的速度为40千米/时．A 、B 间的距离为(3040)6420+⨯=千米． 练习：1. 答案：28千米简答：注意单位换算．2. 答案：3.75千米家平时准时到达 某天 提前5分钟假设提前15分钟AB DCE甲1 甲2甲3乙1 6小时乙2乙3简答：解法同例2．3.答案：6千米简答：解法同例3．4.答案：8千米；160米/分简答：解法同例4．作业1.答案：18简答：比较甲的两个运动过程，路程不变，时间比为3:1，速度比为1:3．2.答案：25简答：比较甲的两个运动过程，路程不变，时间比为4:5，速度比为5:4．3.答案：1500简答：后面一半路程原计划用时5天，实际用时3天，速度比为3:5．可求出原定速度为每天150里，距离为1500里．4.答案：3；15简答：比较不同情况的时间，计算跑步与步行的速度比．5.答案：20简答：由于甲乙速度和不变，前后两次相遇所用时间是相同的．第二次与第一次相比，甲的速度增加了4千米/时，路程增加了2千米，那么所用时间是半个小时．乙第一次走了10千米，速度为20千米/时．。

如何使用分段函数求解实际问题在数学中，分段函数是由多个函数片段组成的函数。

每个函数片段仅对于特定的定义域范围有效。

这种函数常用于解决实际问题，尤其是涉及不同条件下的变化情况。

本文将介绍如何使用分段函数来求解实际问题，并通过一些案例加深理解。

案例一：火车票价计算问题假设一条铁路线上的火车票价有以下规定：- 距离不超过100公里的，票价固定为10元；- 距离超过100公里的，每超过1公里，票价增加0.2元；- 但是最高票价不超过50元。

要求：根据给定的距离，计算相应的火车票价。

解决方案：我们可以用一个分段函数来表示这个问题。

首先，设定定义域为距离（公里）的非负实数集合R≥0，然后构造如下的分段函数：```f(distance) = 10 (0 ≤ distance ≤ 100)f(distance) = 10 + 0.2(distance - 100) (distance > 100)f(distance) = 50 (distance > 400)```其中，distance表示距离，f(distance)表示票价。

假设我们想计算距离为150公里的火车票价，我们可以直接将距离代入分段函数中进行计算。

```distance = 150f(distance) = 10 + 0.2(150 - 100) = 20```因此，距离为150公里的火车票价应为20元。

通过这个案例，我们可以看到如何使用分段函数来解决实际问题。

接下来，我们来看一个更复杂的案例。

案例二：温度转换问题在温度转换中，摄氏度（C）和华氏度（F）之间的转换关系由以下分段函数表示：- 当C ≥ 0时，F = 9/5 * C + 32；- 当C < 0时，F = C * 9/5 + 32。

要求：根据给定的摄氏度，计算相应的华氏度。

解决方案：类似地，我们可以用如下的分段函数来表示这个问题：```F(C) = 9/5 * C + 32 (C ≥ 0)F(C) = C * 9/5 + 32 (C < 0)```其中，C表示摄氏度，F(C)表示华氏度。

中考满分冲刺之分段函数行程问题P resent ed b y @野生数学作者：野生菌解题要点：分析横纵坐标含义，交点、拐点含义，每条线段代表的运动状态，寻找相遇、追及过程，求解相关速度，常需结合方程思想。

此外要有全局观，开启上帝之眼。

【例1.1】货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，两车在距中点18千米处相遇。

东西两地相距多少千米？【例1.2】甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地，而丙在B 地同时出发相向而行，丙遇乙后10分钟和甲相遇。

A、B两地间的路长多少米？【例1.3】男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A，坡底为B．两人同时从A 点出发，在A，B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？1 477【例2.1】（八中2019级九上周考1）快、慢两车分别从相距480千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，图中慢车因故停留1小时，然后以原速度继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地（快车调头的时间忽略不计），快、慢两车距乙地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图像如图。

快车到达甲地时，慢车距离甲地____千米。

60【例2.2】（南开2019级九上入学测试）A、B两地之间的路程为2480米，甲、乙两人分别从A、B 两地出发，相向而行，已知甲先出发4分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行，甲到达A地停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是______米。

八年级上册分段函数知识点分段函数是高中数学中比较重要的一部分，而在八年级上册课程中，也会涉及一些基础的分段函数知识点。

下面我们就来一起看看，八年级上册分段函数的相关知识点。

1. 分段函数的定义分段函数是指一个函数，它根据自变量的范围可以被分成多个部分。

每个部分都可以用一个函数式来表示，因此整个函数也可以用若干个函数式表示。

其中，每个函数式称为一个分段函数的部分。

2. 分段函数的图像分段函数的图像常常是由多个线段构成的折线。

每个线段的斜率和截距分别与该线段所对应的函数式有关。

3. 分段函数的性质分段函数的定义域和值域都是由该函数的各部分共同决定的。

在不同的自变量范围内，这些部分以不同的方式组合起来，因此函数的图像也相应地发生变化。

此外，由于每个部分都是连续的函数，因此分段函数的图像也是连续的。

这就意味着，在一段区间内，任何一个点的邻域内都存在函数值。

然而，这并不意味着分段函数是可导的。

因为在分段的交界处，函数的导数可能会发生突变。

4. 求解分段函数求解分段函数最基本的方法就是将自变量代入相应的函数式中，并计算出函数值。

通常情况下，我们需要在不同区间内使用不同的函数式进行计算。

这样，我们就可以得到整个函数的值。

需要注意的是，当自变量处于多个区间的交界处时，我们需要对交界点的函数值进行比较。

具体来说，如果交界点处的函数值相等，那么该点就是分段函数的连续点；反之则是分段函数的不连续点。

5. 常见的分段函数在八年级上册的课程中，我们会遇到一些比较简单的分段函数。

比如：y = { x - 1 (x ≤ 2){ -x + 3 (x > 2)这是一个关于自变量 x 的分段函数。

当x ≤ 2 时，函数的部分为 y = x - 1；当 x > 2 时，函数的部分为 y = -x + 3。

在 x = 2 时，两部分的函数值相等，因此该点是分段函数的连续点。

6. 总结通过以上的介绍，我们可以看出，八年级上册的分段函数知识点是比较简单的。

分段函数四则运算摘要：一、分段函数的定义与特点1.分段函数的概念2.分段函数的特点二、分段函数的四则运算1.加法2.减法3.乘法4.除法三、分段函数四则运算的实例与解析1.实例2.解析四、分段函数四则运算在实际问题中的应用1.实际问题背景2.分段函数四则运算的应用3.结果与意义正文：分段函数在数学中是一种特殊的函数形式，它由两个或多个基本初等函数通过分段点进行分段组合而成。

分段函数有其独特的性质和运算规则，其中四则运算是最基本的操作之一。

本文将详细介绍分段函数的四则运算及其在实际问题中的应用。

一、分段函数的定义与特点1.分段函数的概念分段函数是指将一个函数按照一定的规则分成若干个区间，每个区间内使用不同的解析式来表示的函数。

通常用符号“”或“”表示分段点。

例如，一个分段函数可以表示为：f(x) = { a, x ∈ [a, b] ; b, x ∈ (b, c]}。

2.分段函数的特点分段函数具有以下特点：（1）有分段点；（2）在分段点处可能出现间断；（3）分段函数的解析式可以简化；（4）分段函数的值可能不连续。

二、分段函数的四则运算1.加法对于两个分段函数f(x)和g(x)，它们的和f(x)+g(x)仍然是一个分段函数。

具体求解方法是将f(x)和g(x)在对应区间上进行相加。

2.减法两个分段函数f(x)和g(x)的差f(x)-g(x)也是一个分段函数。

求解方法是将f(x)和g(x)在对应区间上进行相减。

3.乘法分段函数f(x)和g(x)的乘积f(x)g(x)不再是分段函数，而是一个复杂的多段函数。

求解方法是将f(x)和g(x)在对应区间上进行相乘，然后将结果进行整合。

4.除法分段函数f(x)和g(x)的商f(x)/g(x)不再是分段函数，而是一个复杂的多段函数。

求解方法是将f(x)和g(x)在对应区间上进行相除，然后将结果进行整合。

三、分段函数四则运算的实例与解析1.实例假设我们有两个分段函数：f(x) = { 2x, x ∈ [0, 2] ; 3x, x ∈ (2, 4]}g(x) = { x, x ∈ [0, 2] ; 2x, x ∈ (2, 4]}我们来计算它们的和、差、积、商。

第4讲:分段计算的行程问题【例1】小高上学时步行，回家时骑车，路上共用了24分钟．如果往返都骑车，则全程需要14分钟，求小高往返都步行所需要的时间。

【答案】34分钟详解：骑车往返需要14分钟，说明单程；需要7分钟，步行单程就是24－7=17分钟，所以小高往返都步行所需的时间是17×2=34分钟。

【例2】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲出发5分钟后与乙相遇，这时乙走了500米．乙又走了400米时，甲刚好到达B地，这时乙距离A地多少米？【答案】225米详解：先画出行程图，乙从出发到相遇行驶的时间是5分钟，行驶的路程是500米，所以速度是500÷5=100米/分；乙虚线所行驶的路程是400米，所以乙虚线行驶的时间是400÷100=4分钟，甲用4分钟的时间行驶的路程是500米，所以甲的速度是125米/分，甲实线所行驶的路程是5×125＝625米，所以乙距离A地还有625－400＝225米．1、萱萱每天都以固定的速度骑车去学校，需要10分钟．一天，当行进到全程一半时，自行车坏了，萱萱便把车锁在路边，步行去学校，结果一共用了15分钟．如果自行车没办法修好，萱萱每天都得步行，那么去学校需要多长时间？【答案】20分钟简答：骑车全程需要10分钟，说明半程只需要5分钟，步行半程就是15－5=10分钟，所以小高全程都步行所需要的时间是10×2=20分钟．2、甲、乙两地相距60千米，快、慢两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，30分钟后两车相遇．相遇后两车继续以原速度前进，又经过20分钟快车到达乙地．此时，慢车距甲地还有多少千米？【答案】20千米简答：．画出行程图，快车50分钟行驶60千米，所以速度是60÷50=1.2千米/分；快车虚线所行驶的路程是24千米，所以慢车30分钟路程是24千米，速度为24÷30＝0.8千米/分，慢车20分钟的时间行驶的路程是16千米，所以慢车的总路程是24+16=40千米，所以距离甲地还有60－40=20千米．对于复杂行程问题，我们一定要学会分段，学会根据分段画行程图．相遇时、追及时、不同时间出发时、转向时等等都是很重要的分段时刻．在解题过程中，我们有时需要分段去考虑，有时需要从整体去考虑，所以一定要灵活解题．在路程、速度与时间这行程三要素中，有时我们只知道其中的一个量，这时我们就可以通过设份数来解决此外，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的反倍数关系：时间长的速度慢，时间短的速度快因此我们往往要仔细分析在同一段时间或者同一段路程中，不同运动对象的运动过程及其联系．接下来我们来看一下和倍数有关的分段行程问题．【例3】早晨7:30，墨莫从家出发到离自己家4000米的表哥家去玩．同时表哥骑车从家出发接他，到墨莫家才发现他已经走了，此时是7:50，表哥又立即返回去追．表哥骑车的速度是墨莫步行速度的5倍．那么，在几点几分时表哥追上墨莫？【答案】7点55分详解：方法一：表哥20分钟行驶了4000米，所以表哥的速度是4000÷20＝200米/分，墨莫的速度就是200÷5=40米/分．表哥到达墨莫家的时候两人相距20×40=800米，两人的速度差是1.60米/分，所以追及时间是800÷160＝5分钟．此时是7点55分；方法二：表哥的速度是墨莫速度的5倍，所以相同时间内，表哥行驶的路程是墨莫的5倍，设墨莫虚线行驶的路程是“1”，表哥虚线行驶的路程就是“5”，那么墨莫实线行驶的路程就是“4”墨莫“4”用了20分钟，所以“1”用5分钟，此时是7点55分．3、早晨7:20阿呆从家步行去学校，7:40时阿瓜骑自行车出发去学校，在途中追上阿呆后发现自己没拿书包，又立即返回去拿书包，然后再继续去追阿呆已知阿瓜骑车的速度是阿呆步行速度的3倍．那么，在几点时阿瓜第二次追上阿呆？【答案】8点20分简答：阿瓜速度是阿呆的3倍，阿呆提前20分钟出发，所以阿瓜从出发到追上阿呆，两人走这段路程所用时间也是3倍关系，即阿瓜出发后10分钟追上阿呆．又过10分钟，阿瓜回到家，此时，阿呆一共走了40分钟，那么接下来阿瓜需要20分钟才能再次追上阿呆．所以是在8:20阿瓜第二次追上阿呆．【例4】大大和小小同时从家出发去学校，大大步行，小小骑车．小小到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果他和大大一起到校．如果大大每分钟走54米，那么小小骑车每分钟行进多少米？【答案】每分钟行进162米详解：在相同时间内，小小骑车行驶的路程是大大步行路程的3倍，所以小小骑车的速度是大大步行速度的3倍，所以小小骑车每分钟行进54×3＝162米4、卡莉娅带着宠物小山羊从家出发骑车去学校，当骑到一半路程时，卡莉娅发现忘带午餐费了，于是她让小山羊飞回家取钱，然后再飞回学校给她．结果小山羊跟卡莉娅同时到达学校已知卡莉娅骑车每分钟行进155米，那么小山羊每分钟飞行多少米？【答案】每分钟飞行465米简答：在相同时间内，小山羊飞行的路程是卡莉娅骑车路程的2倍，所以小山羊飞行的速度是卡莉娅骑车速度的3倍，所以小山羊每分钟飞行155×3=265米．【例5】自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队．然后通信员立即返回出发点；到达出发点后通信员又马上掉头去追自行车队．再次追上时恰好离出发点18千米，自行车队每分钟行多少千米？摩托车每分钟行多少千米？【答案】自行车队每分钟行0.5千米，摩托车每分钟行1.5千米详解：自行车队第一次被通信员追上到第二次被追上，所行驶的路程是18－9=9千米，其中通信员所行驶的路程是9×3＝21千米．在相同时间内所行驶的路程是3倍，所以通信员的速度是自行车队速度的3倍，设自行车实线行驶“1”，通信员就行驶“3”,自行车12分钟行驶了“2“是6千米，则自行车的速度是0.5千米/分．摩托车每分钟行驶0.5×3＝1.5千米【例6】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，12小时后在C地相遇．相遇后，两车并不停顿，继续前进．甲车在相遇后继续行驶4小时到达B地，然后立即掉头以相同的速度返回A地．请问：(1)当甲车再次到达C地的时候，乙车还要再开几小时才能到达A 地？(2)如果甲车从B地返回的时候不是原速返回，而是变慢了．而且当它经过C地的时候，乙车正好到达A地．甲车原来的速度是返回时速度的多少倍？【答案】(1)28小时；（2）8倍详解：(1)甲虚线行驶的路程和乙实线行驶的路程一样，甲用4小时，乙用12小时，所以甲的速度是乙速度的3倍．甲行驶全程需要16小时，所以乙需要16×3＝48小时乙已经行驶了12+4+4=20小时，所以还要行驶48－20＝28小时(2)乙点状线所行驶的时间是48－12－4=32小时，所以甲虚线和点状线行驶路程一样，所以原来的速度是返回速度的8倍．1、卡莉娅上学和回家过程中都步行，则路上共用32分钟．如果往返都使用魔法飞行，则全程共用6分钟那么她上学时飞行，回家步行，路上共用多长时间？【答案】19分钟简答：卡莉娅步行单程16分钟，飞行单程3分钟，所以路上共用16+3=19分钟2、学校与家相距3500米，下午4:50，爸爸从家出发骑车去接小山羊回家.5:00时小山羊从学校出发往家走，路上遇到爸爸，爸爸骑车带着他一块回到家中．已知爸爸骑车每分钟行150米，小山羊步行每分钟走50米，请问他们什么时候到家？【答案】5点30分简答：爸爸提前出发了10分钟，爸爸的速度是150米/分，所以爸爸提前出发行驶的路程是1500米，此时小山羊才开始出发，两人相距3500－1500＝2000米，其中速度和是150+50=200米/分，所以相遇时间是2000÷200=10分钟即5点10分两个人相遇．爸爸还要带着小山羊原路返回继续行驶20分钟，所以两个人5点30分到家。