第六章数值积分

第六章 数值积分与数值微分
6.1 数值求积基本概念 6.2 插值型求积公式 6.3 几种低阶求积公式的余项 6.4 复化求积公式 6.5 数值微分
6.1 数值求积基本概念
定积分
I =
∫ f (x )dx = F (b ) − F (a )
b a
在实际计算时会遇到困难：
(1)原函数不能用初等函数表示，如 f ( x) = (2)原函数太复杂，不便于计算。 (3)f(x)是表格函数，没有解析表示式。
n −1 + 14 f ( x ) + f (b ) x + 32∑ f k + 3 ∑ k 4 k =0 k =1 n −1
2 h h (6 ) 2(b − a ) h (6 ) I − Cn = ∑ − f (ηk ) = − f (η ), η ∈ [a , b] 945 4 945 4 k =0
求积余项为：
h 3 '' h b − a n −1 '' I − Tn = ∑ − f (ηk ) = − ∑ f (ηk ) 12 n k =0 k =0 12 b − a 2 '' =− h f (η ), η ∈ [a , b] 12
n −1
6.4 复化求积公式（续）
二、复化辛普生求积公式 设子区间 [xk , xk +1 ] 的中点为
xk + 1 = ( xk + xk +1 ) 2
2
，则
其求积余项为
h h (4 ) b − a h (4 ) I − Sn = ∑ − f (ηk ) = − f (η ), η ∈ [a , b] 180 2 180 2 k =0
n −1 4 4
6.4 复化求积公式（续）
8×2 + f (3 / 4 ) + f (7 / 8)] + f (1)} = 3.1389885
（三位有 效数字）
若取n=4，h=1/4，应用复化辛普生求积公式则有 若取n=4，h=1/4，应用复化辛普生求积公式则有
S8 = 1 { f (0) + 4[ f (1 / 8) + f (3 / 8) + f (5 / 8) + f (7 / 8) + f (5 / 8)] （七位有 4 ×6 效数字） + 2[ f (1 / 4 ) + f (1 / 2 ) + f (3 / 4 )] + f (1)} = 3.1415925
sin x 1 − x2 , e , , x ln x
1 + x2
因此，有必要研究定积分的数值计算问题。 数值积分也是微分方程数值解法的基础。
x = a,
6.1 数值求积基本概念（续）
一、数值求积的基本思想 定积分的几何意义：
由 x = a, x = b, y = 0 , y = f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积。
则有：
∫
b
a
f ( x ) dx ≈
b−a [7 f (x0 ) + 32 f (x1 ) + 12 f (x2 ) + +32 f (x3 ) + +7 f (x4 )] = C 90
（柯特斯求积公式） 柯特斯求积公式）
6.3 几种低阶求积公式的余项
按余项公式
Rn = ∫
b a
f (n +1) (ξ ) n ∏ (x − xk )dx (n + 1)! k =0
复化辛普生公式为
Sn = h f ( xk ) + 4 f xk + 1 + f ( xk +1 ) 2 6
n −1 n −1 h = f (a ) + 4∑ f xk + 1 + 2∑ f ( xk ) + f (b ) 2 6 k =0 k =1
6.4 复化求积公式（续）
四、变步长复化求积法
n −1 6 6
6.4 复化求积公式（续）
(x ) = 4 2 例：对 f 1+ x
解：精确值
I =∫
1
4 dx ，计算积分 I = ∫0 2 1+ x
1
。
4 1 dx = 4arctan x 0 = π 0 1 + x2
取n=8，h=1/8，应用复化梯形求积公式得 n=8，h=1/8，应用复化梯形求积公式得 1 { f (0) + 2[ f (1 / 8) + f (1 / 4) + f (3 / 8) + f (1 / 2) + f (5 / 8) T8 =
求积公式（1 求积公式（1）的截断误差为
Rn = I − I n = ∫ f ( x )dx − ∑ Ak f ( xk )
b a k =0 n
Rn 也称为求积余项。
6.2 插值型求积公式
一、插值型求积公式
设给定一组节点 a ≤ x0 < x1 < L < xn−1 < xn ≤ b ，且已知 f ( x ) 在这些节点上的函数值，则可求得 f ( x ) 的拉格朗日插 n 值多项式 L (x ) = f ( x )l ( x )
式（4 式（4）
由积分中值定理有 f '' (η ) b (
RT = I − T = 2
∫
a
f '' (η ) (b − a )3 , η ∈ [a, b] x − a )( x − b )dx = − 12
RS = I − S = −
(b − a ) b − a 4
(4 ) f (η ), η ∈ [a , b] 180 2
6.2 插值型求积公式（续）
二、梯形求积公式
在式（3）中，令n=1，则有（取 在式（3）中，令n=1，则有（取
b a 0 0 1 1 0
x0 = a , x1 = b
1
）
∫ f ( x )dx ≈ A f (x ) + A f (x ) = A f (a ) + A f (b )
其中：
A0 = ∫ l0 ( x )dx = ∫
b
x −b b−a dx = a a a −b 2 b bx−a b−a A1 = ∫ l1 ( x )dx = ∫ dx = a a b−a 2
b
所以
∫
b
a
f ( x )dx ≈
b−a [ f (a ) + f (b )] = T 2
（梯形求积公式） 梯形求积公式）
6.2 插值型求积公式（续）
三、辛普生求积公式
三、复化柯特斯求积公式 如果将每个子区间 [xk , xk +1 ] 四等分，内分点依次为
x k + 1 , xk + 1 , xk + 3
4 2
，则复化柯特斯求积公式及其求积余
4
项为：
n −1 n −1 h Cn = 7 f (a ) + 32∑ f xk + 1 + 12∑ f xk + 1 4 2 90 k =0 k =1
6.2 插值型求积公式（续）
I =∫
b a n n bl ( x )dx f ( x ) f ( x )dx ≈ ∫ Ln ( x )dx = ∫ ∑ f (xk )lk ( x )dx = ∑ ∫ k k a a a k =0 k =0 b b
记 则有
A0 = ∫ l0 ( x )dx = ∫
b b
所以 ∫a
b
f ( x )dx ≈
b−a a +b f (a ) + 4 f + f (b ) = S 辛普生求积公式） （辛普生求积公式） 6 2
6.2 插值型求积公式（续）
四、柯特斯求积公式
b−a xi = a + ih 0 ≤ i ≤ 4; h = 在式（3）中，令n=4，取等距节点 在式（3）中，令n=4，取等距节点 4
f (ξ )
y = f (x )
ξ
6.1 数值求积基本概念（续）
由积分中值定理知：对连续函数 f ( x ) ，在区间[ a, b] 至少存在一点 ξ ，使 b I = ∫ f ( x )dx = (b − a ) f (ξ ) a 上式给出了I 上式给出了I的计算方法，由于不知道 ξ 的具体 取值，无法求得 f (ξ ) ，所以不能用上式直接计算出I。 ，所以不能用上式直接计算出I 但给出了近似计算I 但给出了近似计算I的思路：近似 ξ ，就可近似 计算I 计算I。
6.1 数值求积基本概念（续）
例如：取 ξ
I =∫
b a
=
a+b 2
，则有
（矩形公式）
a +b f ( x )dx ≈ (b − a ) f 2
2
取 f (ξ ) = f (a) + f (b) ，则有
(b − a ) [ f (a ) + f (b )] I = ∫ f ( x )dx ≈ a
6
2(b − a ) b − a (6 ) RC = I − C = − f (η ), η ∈ [a , b] 945 4
6.4 复化求积公式
为了提高求积精度，使用高阶公式不一定能取得 好的效果，通常采用的是复化求积法。 b−a h= 将积分区间[a, b]划分为n 将积分区间[a, b]划分为n等分。步长 n ，分点 为 xk = a + kh(k = 0,1,L, n ) ，则由定积分性质知