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数值分析(研究生)第三章数值积分与数值微分一

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数值积分与数值微分ppt课件

数值积分与数值微分ppt课件

a
,
x1

b
2
a
,
x2

b
,h

b
2
a
Cotes系数:
C0( 2 )

1 4
2
1
(t 1)(t 2)dt
0
6
4.5 4
C1(2)

1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
3.5 3
2.5
C2(2)

1 4
2
1
(t 1)tdt
0
6
2 1.5
1
求积公式:
2
Q2( f ) (b a)
n (t j)h
0

0
jn
(k

j)h


h
dt
jk
jk

h (1)nk n

(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
Ak
ˆ
(b

a
)

C (n) k
C
(n)称
k
为Cotes系
数
(1)nk
n
Ak
(b a)
3
I3(
f
)

b
6
a
(a2

(a

b)2

b2
)

b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)

b

数值分析课后习题和解答

数值分析课后习题和解答

课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数值分析课程课件 数值微分

数值分析课程课件 数值微分

f ( x1 ).
对上式两端求导，记 x1 x0 h
，有P1(x)

1 [ h
f
(x0 )
f
(x1)],
于是有下列求导公式：
P1( x0 )

1 h
[
f
(
x1
)

f ( x0 )];
P1( x1 )

1 h
[
f
(
x1
)

f ( x0 )],
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知，带余项的两点公式是(当n=1时)，
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知,带余项的三点求导公式(n=2)如 下：
f
' x0
1 [3 f 2h
x0 4 f
x1
f

x2
]

h2 3
f
" ,
f
' x1


1 2h
[
f
x0

f
x2
]

h2 6
f " ,
f 'x2
式
f (x) Pn(x) （3.5.1）
统称插值型的求导公式。
第三章 数值积分与数值微分
必须指出，即使f (x) 与Pn (x) 的值相差不多，导数的近似值 Pn(x)
与导数的真值 f (x) 在某些点仍然可能差别很大，因而在使用求导
公式(3.5.1)时应特别注意误差的分析。
依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）的余项为
Gh



G1
h

数值分析3.5

数值分析3.5

第三章 数值积分与数值微分
然而，如果我们限定求节点上的导数值， 然而，如果我们限定求节点上的导数值，那么有余项公式
f ( n+1) (ξ ) ' 3.5.2） f '( xk ) − P ( xk ) = ωn+1 ( xk ). （3.5.2） (n + 1)!
' n
下面我们考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的， 下面我们考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的， h是步长。 是步长。 是步长 1.两点公式 两点公式 当n=1时，由（3.5.2）得带余项的两点公式 时 ）得带余项的两点公式
1 h2 f ' ( x0 ) = [−3 f (x0 ) + 4 f ( x1 ) − f ( x2 )] + f "(ξ ), 2h 5
（3.5.5） 3.5.5） （3.5.6） 3.5.6） （3.5.7） 3.5.7）
1 h2 f ' ( x1 ) = [− f ( x0 ) + f ( x2 )] − f "(ξ ), 2h 6 1 h2 f ' ( x2 ) = [ f ( x0 ) − 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] + f "(ξ ), 2h 3
第三章 数值积分与数值微分
3.5数值微分 数值微分
3.5.1 插值型求导公式
3.5.2 三次样条求导
3.5.3 数值微分的外推算法
第三章 数值积分与数值微分
3.5 数值微分
学习目标： 学习目标： 掌握几个数值微分计算公式 。
第三章 数值积分与数值微分
3.5数值微分 数值微分

数值分析学习课件

数值分析学习课件

Ak =
∫ ∏
xn x0 i≠k
n 0
=∫
(t − i ) h (b − a )( − 1) n − k ∏ (k − i ) h × h dt = n k !( n − k )! i≠k
( x − xi ) dx ( x k − xi )
令
x =a+th
∫ ∏ (t − i )dt
n 0 i≠k
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k， ， 可查表得到。 可查表得到。与 f (x) 及区 均无关。 间[a, b]均无关。 均无关
2
n
机械求积
∫ f ( x ) dx ≈ ∑ A f ( x )
a k =0 k k
注：机械求积是将积分求值问题归结为函数值的计算。 机械求积是将积分求值问题归结为函数值的计算。
1.2 代数精度
如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能 如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能 准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则 次多项式就不准确成立， 准确成立，但对于 次多项式就不准确成立 称该求积公式具有m次代数精度 次代数精度。 称该求积公式具有 次代数精度。 例如：梯形公式和矩形公式都具有 次代数精度 次代数精度。 例如：梯形公式和矩形公式都具有1次代数精度。 一般，若要使得求积公式具有m次代数精度，只要令 一般， 次代数精度， 2 m 都能准确成立， 它对于 f ( x ) = 1, x, x ,L , x 都能准确成立，即
∫ f ( x ) dx = f (ξ )( b − a )
b a
1.1 数值积分的基本思想
思 只要对平均高度 提供一种算法， f (ξ ) 提供一种算法，相应地便获 路 得一种数值求积的方法。 得一种数值求积的方法。

数值分析知识点总结

数值分析知识点总结

数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。

一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。

有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。

即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。

其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。

例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。

2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。

对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。

（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。

第3章 数值积分和数值微分

第3章 数值积分和数值微分

数值分析
插值型求积公式的代数精度
若形如 ab f ( x)dx n的A求k f积( x公k 式) 至少有n k 0
次代数精度，则
b
n
a l k ( x)dx
A j l k ( x j ) Ak
j 0
因为
l k (x j ) δkj
1 0
k j k j
故此时求积公式是插值型的。
定理：形如
A0 f (x0 )
解：令f (x) 1, x，得方程组： 解之得
x0
1 (a b) 2
A0
x0
A0
(b
b
2
a a2
)
/
2
于是得求积公式为 b f (x)dx (b a) f (b a )
a
2
数值分析
用代数精度来构造求积公式
例3：给定形如
1 0
f
(x)dx
A0
f
(0)
A1
f
Ai
b
a li ( x)dx
b a
n
i0, ik
x xi dx xk xi
h
n
0
n
i0, ik
ti ki
dt
(b
a
)C
(n k
)
数值分析
§4.2 牛顿—柯特斯公式
其
中C
(n k
)为
柯
特
斯(Cotes)系
数
C (n) k
(1)nk n k!(n k)!
n
0 t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt
1 (1)nk
nn
( (t i))dt, (k 0, , n)

数值微分与数值积分

数值微分与数值积分

数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。

它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。

1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。

在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。

一种常用的数值微分方法是有限差分法。

它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。

我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。

有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。

数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。

根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。

2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。

在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。

一种常见的数值积分方法是复合梯形法。

它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。

最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。

复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。

除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。

根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。

3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。

数值积分和数值微分ppt课件

数值积分和数值微分ppt课件

5.2.2 数值微分
设函数 f(x)在[a,b]上可导，已知 f(x)在 x j 的函数 值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b . 如果 f(x)的解析表达式未知，问如何近似计算 f(x)在 某点 x=c 处的导数？特别是如何近似计算 f(x)在 x0, x1,, xn 的导数？
y4
未 知 函 数 f(x)
y3
已知结点
线 性 插 值 函 数 S41(x)
y2
y1
y0
y
0
x0
x1
x2
x3
x4
x
图5.9 复化梯形求积公式示意图
5.2.1 数值积分
容易求得
b a
Sn1
(
x)dx
的值为
1 n
Tn 2 j1 x j x j1 y j1 y j
(5.2.1)
如果划分 a x0 x1 xn b 将区间[a,b] n 等分，
b]为n等分，分点为 xk x0 kh k = 0, 1, 2,…, n
2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik 3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。 这种求积方法称为复化求积方法。
j
值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b ，
5.2.2 数值微分
先考虑简化的问题：设划分 a x0 x1 x2 b 将 区间[a,b]二等分，记 h (b a) 2 ，已知 f(x)在 x j 的函
数值 y j f (x j ) (j=0,1,2). 记
L2 (x) c1(x x1)2 c2 (x x1) c3 是由结点 (x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多二次插值多项

数值分析中的数值微分与数值积分

数值分析中的数值微分与数值积分

数值分析中的数值微分与数值积分数值分析是一门重要的数学分支，用于研究如何使用计算机来求解各种数学问题。

数值微分和数值积分是数值分析中的两个基本概念，它们在科学计算和工程应用中具有广泛的应用。

一、数值微分数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。

在实际计算中，往往很难直接求得函数的导数表达式，这时候数值微分方法就派上用场了。

1. 前向差分公式前向差分公式是最简单的数值微分方法之一，它基于导数的定义，用函数值的差商来近似计算导数。

假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0)) / h其中h是一个足够小的正数，通常称为步长。

通过取不同的步长h，可以得到不同精度的数值微分结果。

2. 中心差分公式中心差分公式是数值微分中较为常用的方法，它利用了函数值的前向和后向差商来近似计算导数。

假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2h)与前向差分公式相比，中心差分公式的精度更高，但计算量稍大一些。

二、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数在某个区间上的定积分值。

定积分在数学、物理等领域中具有广泛的应用，尤其是对于无法用解析方法求解的积分问题，数值积分提供了可行的解决办法。

1. 矩形法则矩形法则是最简单的数值积分方法之一，它将函数在积分区间上分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和。

假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * f(x)其中x是[a, b]上的随机点。

2. 梯形法则梯形法则是数值积分中较常用的方法，它将函数在积分区间上分成若干个小梯形，然后计算这些小梯形的面积之和。

假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2梯形法则的精度要比矩形法则要高一些。

数值分析第七版教学设计

数值分析第七版教学设计

数值分析第七版教学设计课程概述数值分析是现代科学发展必不可少的一门学科，它以计算机为工具，利用数学理论和科学计算方法来解决实际问题。

本课程学习数值计算方法的基本理论和应用，包括插值法、数值微积分、非线性方程求解、数值代数、数值微分方程等内容。

教学目标1.掌握常用的数值计算方法，并能够将其应用于解决实际问题。

2.理解数值计算方法的数学原理和数值误差，并能够对计算结果进行误差分析。

3.提高计算机编程和计算机应用的能力。

教学内容本课程为选修课，共分为16个教学周期。

具体教学内容如下：第一章引论1.数值计算的概念和基本原理。

2.计算机误差的分类和数值误差的控制方法。

3.数值计算中常用的符号和记号。

第二章插值法1.多项式插值和样条插值。

2.插值问题的误差分析和解决方法。

3.插值方法的应用和实例。

第三章数值微积分1.数值积分和数值微分的基础概念和做法。

2.数值积分和数值微分的误差分析和控制。

3.数值积分和数值微分方法在实际问题中的应用。

第四章非线性方程求解1.常用非线性方程求解方法的原理和步骤。

2.非线性方程求解方法的收敛性和误差分析。

3.非线性方程求解方法的应用和实例。

第五章数值代数1.线性方程组求解的基本思路和方法。

2.矩阵的特征值和特征向量的求解。

3.数值代数方法在各种实际问题中的应用。

第六章数值微分方程1.常微分方程的数值解法和误差分析。

2.偏微分方程的数值解法和误差分析。

3.数值微分方程方法在实际问题中的应用。

教学方法本课程采用理论讲解和实例分析相结合，强调理论、方法与实践的有机联系。

具体教学方法如下：1.理论讲解：通过教师的讲解，让学生理解数值计算方法的基本原理和相关概念。

2.实例分析：通过实例分析，让学生具体了解数值计算方法的具体应用和实现方法。

3.上机实验：通过上机实验，让学生掌握计算机编程和计算机应用的基本技能。

教学评估本课程设有期末考试和实验成绩评估。

其中期末考试占比60%，实验占比40%。

第三章数值微分与数值积分

第三章数值微分与数值积分

>> syms x z %指定符号变量 >> diff(log(x+1)) %求函数的一阶导数 ans = 1/(x+1) >> diff(sin(x^2),2) %求二阶导数 ans = -4*sin(x^2)*x^2+2*cos(x^2) >> diff(x/(1+x^2),3) %求三阶导数 ans = 48/(1+x^2)^3*x^2-6/(1+x^2)^2-48*x^4/(1+x^2)^4 >> int(x/(1+x^2)) ans = 1/2*log(1+x^2) %计算不定积分公式 >> int(z/(1+x^2),x) %指定积分变量,其余变量为参数 ans =z*atan(x) >> int(x*log(1+x),0,1) %计算区间(0,1)的定积分 ans = 1/4 >> limit(sin(x)/x) %计算函数极限，默认x=0为极限点 ans = 1 >> limit(1/x,x,0,’right’) %求函数的右极限 ans = Inf >> limit(1/x,x,0,’left’) %求函数的左极限 ans = -Inf >> limit((x-2)/(x^2-4),2) %求x=2处函数的极限 ans = 1/4
>> a=[1, 5, 4, 2, 7; 2, 1, 8, 3, 4]； >> [px,py]=gradient(a) px = 4 1.5 -1.5 1.5 5 -1 3 1 -2 1 py = 1 -4 4 1 -3 1 -4 4 1 -3 >> a=[1, 5, 7, 2, 3]; >> trapz(a) ans = 16 >>b = 0.95013 0.48598 0.23114 0.8913 0.60684 0.7621 >> trapz(b) ans = 1.0096 1.5153

数值分析(研究生)第三章数值积分与数值微分二

数值分析(研究生)第三章数值积分与数值微分二

就是柯特斯公式序列，它与积分值 I 的逼近阶为O(h6) . 如此继
续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，一般地，若记 T0(h) = T(h)，经过m (m = 1，2，„)次加速后，则有
4m 1 h Tm ( h) m Tm 1 m Tm 1 ( h) 4 1 2 4 1
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这样不断二分下去，计 算结果见下表（表中 k代表二分次数， 区间等分数 2 k ). n
k Tn k Tn
1 2 3 4 5 0.9397933 0.9445135 0.9456909 0.9459850 0.9460596 6 7 8 9 10 0.9460769 0.9460815 0.9460827 0.9460830 0.9460831
它 表 明 ， 用 复 化 梯 形 式 计 算 积 分要 达 到 位 有 效 数 字 的 精 度 公 I 7
需 要 二 分 区 间 次.即 要 提 供 10 1025 分 点 的 函 数 值 ， 计 量 很 大 ， 收 个 算 敛速度太慢 . 因 此 ， 接 下 来 要 研 究何 提 高 收 敛 速 度 、 节计 算 量 的 问 题 如 省 .
h 显然T1(h)与积分值 I .这样构造的 T1 (h)，T1 ， 2 16 h 1 T2 (h) T1 T1 (h)， 就是辛普森公式序列Sn，S2n，„ .若令 15 2 15
近似的阶为O(h4)
则又可进一步从余项中消去 h4 项，这样构造出的 T2 (h) ，其实
h 若记Tn = T(h)，当区间[a，b]分为2n等分时，有 T2n T ，则 2
T ( h) I 1h2 2 h4 l h2l , h h h h T I 1 2 l 4 16 2 2

《数值分析》教案

《数值分析》教案

讲授新 进展内容
介绍等距节点插值公式在工程设计上的应用，例如在微电机设计在设计上的 应用。
课后总结
5
河北工程大学教师授课教案（5）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.5 埃尔米特插值
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
6
河北工程大学教师授课教案（6）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.6 曲线拟合的最小二乘法
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求
1. 掌握最小二乘法的基本原理；2. 掌握多项式拟合方法； 3. 了解可化为多项 式拟合的最小二乘方法。
课后总结
8
河北工程大学教师授课教案（8）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
3.2 牛顿--柯特斯公式
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求 1. 掌握牛顿--柯特斯公式； 2. 了解低阶牛顿--柯特斯公式的截断误差。
1、复习旧课（15 分钟）
回顾差商的定义。
2、讲授部分（25 分钟）
引入重节点的差商，并于 Taylor 展开式联系，介绍两者的关系（难点）。
3、复习部分（5 分钟）

数值分析 教学大纲

数值分析 教学大纲

教学大纲课程编号：13000071课程名称：数值分析（Numerical Analysis）学分：4总学时：72学时分配：课时总学时：64学时。

其中：理论课学时：60学时；习题课学时：12学时；实验学时：课内0学时，课外16学时。

适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学预修课程：数学分析/高等数学，高等代数/线性代数◇课程教学目标：数值分析是研究利用计算机求解各种数学模型的数值计算方法及理论，包括误差基本理论、插值方法、函数逼近、数值微分与积分、常微分方程数值解、非线性方程组数值解法、矩阵特征值计算等经典问题的数值方法与基本理论。

通过本课程的学习，要求学生掌握数值分析的基本思想、基本方法和基本理论，具备一定的设计、分析和实现算法的能力，培养应用计算机进行科学与工程计算的能力，提高学生应用数学与计算机解决实际问题的能力。

◇教学要求：通过本课程的学习，要求学生掌握数值计算的基本理论和方法：掌握数值逼近、数值微分与积分、微分方程初值问题、方程（组）求根的直接与迭代解法及矩阵特征值计算等方面的基本理论及经典算法，并能对算法进行误差分析。

能使用计算机对基本数值计算问题进行求解，能初步用数值分析方法进行算法分析，为解决较复杂的实际科学与工程计算问题打下必要的基础。

◇教学方法：将多媒体教学和传统的黑板板书教学相结合。

在背景知识的讲解、数值方法的意义以及计算实例的程序演示时，应充分发挥多媒体直观生动的优势，帮助学生进行感性认识。

在算法推导、理论分析等方面，可采用传统的板书讲解，引导学生去感受和思考数学逻辑的过程以及创造性的思维过程，加深对数学理论的理解和认识，培养学生的逻辑和思维能力。

在课堂教学中应将课堂讲解、课堂提问、课堂讨论相结合，注重培养学生的创新意识。

在课外已到学生积极开展数值试验，撰写实验报告、让学生在初步开展科研工作方面得到更好、更有效的训练。

◇课程主要内容：第一章绪论1．该章的基本要求与基本知识点：（1）了解数值分析的特点及其研究对象；（2）了解误差来源，掌握误差的基本概念与数值的精度表示；（3）掌握数值运算中的基本方法与原则；（4）向量和矩阵的范数。

数值积分和数值微分课件

数值积分和数值微分课件

一般地，欲使求积公具 式有m 次代数精度，只要令对 它于 f(x) 1,x,,xm 都能准确成立。
利用代数精度的概念求求积公式的代数精确度
梯 形 公 式 (T b f (x) dx [ f (a) f (b)] (b a))
a
2
令f (x) 1, x,....
当f (x) 1, 左 边
xk a kh 构造出的插值型求积公式
n
In (b a)
C(n) k
f
( xk
),
k 0
称为 牛顿 - 柯特斯公式（Newton- Cotes公式），
C(n) k
称为 柯特斯系数.
作变换x a th，则有
C(n) k
h ba
n n t j dt 0 j0 k j
jk
(1)nk
定理1 形如 (1)式的求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是， 它是插值型的。
如果求积公式是插值型的，按 (2) 式，对于次数不超过n 的多项式
f(x),其余项 R[f] 等于零，因而这时求积公式至少具有n 次代数精度。
反之，如果求积公式 (1) 至少具有 n 次代数精度，则它必定是
插值型的。事实上，这时公式 (1) 对于特殊的n 次多项式 插值基
二、复化梯形公式
将区间[a, b] 等分为 n 个小区间[xk , xk1],其中分点
xk
a kh,
(h
b a ,k n
0,1,, n),
并在每个小区间上应用梯形公式, 则得复化梯形公式
I
b
n1
f (x)dx
a k 0
xk 1 xk
f
(x) dx
h 2
n1
[f
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第三章 数值积分与数值微分（一）
第一节 第二节 第三节 第四节 实际问题的导入 机械求积法和代数精度 牛顿—科特斯求积公式 复化求积公式
§1 实际问题的导入
一、神舟六号载人飞船的在轨飞行里程数
见课本74页.
二、实际问题反映出的问题
对于积分 I a f ( x )dx 只要找到被积函数 f (x)原函数F(x)，便有下 列牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式
k 0
Ak f ( x称作是插值型的. k)
b

b
a
f ( n 1) ( ) ( x )dx ; ( n 1)!
( x ) ( x x 0 )( x x1 )( x x n )
如果求积公式是插值型的，按余项式，对于次数≤ n的多项式 f (x)，
其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度． 形如 I n Ak f ( xk ) 的求积公式至少有n次代数精度的充分 k 0 必要条件是，它是插值型的． 定理1
返回
至少有 n+1 次代数精度 .
三、几种低阶求积公式的余项 1、 梯形公式 T
f ( ) b f ( ) RT I T ( x a )( x b)dx ( b a ) 3 , [ a , b] 2 a 12
ba [ f (a ) f (b)] 的余项 2
原函数容易求出，可取
I n a Ln ( x )dx
b
作为积分 I b f ( x )dx的 a
n
近似值，这样构造出的求积公式
In
求积系数Ak 通过插值基函数lk (x)积分得出 Ak a l k ( x )dx . 由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项
R[ f ] I I n
精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，这就要求
a f ( x )dx k 0 Ak f ( xk ) 具有m次代数
b
n
Ak b a ; 1 2 Ak x k (b a 2 ) ; 2 A x m 1 (b m 1 a m 1 ) . k k m 1
原函数的困难．
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二、代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积
公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精 度的概念． 定义 1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成
立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次
代数精度． 一般地，欲使求积公式
b
a
b
f ( x )dx F ( b ) F (a )
但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如 sin x ，sin x2 等等，找不到用初等函数表示的原函数；另外，当f (x) x 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不
能直接运用．因此有必要研究积分的数值计算问题．
( k 0, ... , n)

x k 1 xk
h f ( x ) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 )] 2 6
xk
xk 1
2
x k 1
4
4 4
4
4

b
a
n 1 n 1 h f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk 1 ) f (b)] 2 6 k 0 k 0
二、偶阶求积公式的代数精度 作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n
次的插值精度（定理1）. 实际的代数精度还可进一步提高，一般 地，可以证明下述定理:
定理 2 当阶 n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式 n
( I n (b a ) C kn ) f ( x k ) k 0
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b 2
f(b)
a
b
b3 a 3 ba 2 2 ： x dx 代入 P2 = x (a b 2 ) a 3 2
代数精度 = 1
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三、插值型求积公式
设给定一组节点 a ≤ x0 < x1 < x2 < „ < xn≤ b ，且已知函数f(x)在 这些节点上的值，则可作插值函数Ln(x) . 由于代数多项式Ln(x) 的
( I n (b a ) C kn ) f ( x k ) k 0 n
称作牛顿-柯特斯(Newton Cotes)公式，式中 C k 称作柯特斯系数． 按 Ak a l k ( x )dx , 引进变换 x = a + th ，则有
b
(n)
C
( n) k
n h n n t j ( 1)n k n 0 k j dt nk!(n k )! 0 (t j )dt b a j 0 j 0 jk jk
( 2 1)5 R2 max f ( 4 ) ( x ) 0.06890 2880 1 x 2
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§4
复化求积公式
ba , xk a k h n
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值. 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式. 一、复化梯形公式:
n
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四、求积公式的收敛性与稳定性 定义2 在求积公式
n n h 0 k 0

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) 中，若
k 0
n
lim Ak f ( x k )

b
a
f ( x )dx
其中 h max ( x i x i 1 ) ，则称求积公式是收敛的． 1 i n ~ ~ 由于计算 f (xk)可能产生误差，实际得到 f k，即 f ( xk ) f k k . 定义3 对任给 e ＞0，若 0， 只 要 f ( x k ) ~k ≤δ (k = 0，1 f ，n) ，则称求积公式(1．3)是稳定的 .
ba ab 2、 辛普森公式 S f (a ) 4 f 2 f (b) 的余项 6
RS I S f
(4)
( ) b a b a (4) 2 a ( x a )( x c ) ( x b)dx 180 2 f ( ) , [a, b] 4!
h ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
xk xk 1 xk1 f ( x)dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n n n 1 b h h a f ( x )dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] 2 f (a ) 2 f ( xk ) f (b) k 1 k 1
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例1
解

b a
f ( x )dx
ba [ f (a ) f (b)] 考察其代数精度. 2
f(x)
逐次检查公式是否精确成立 b ba (1 1) f(a) 代入 P0 = 1：a 1 dx b a = 2 b b2 a 2 b a (a b) 代入 P1 = x ： x dx = a 2 2
xk
= Tn
R[ f ] [
k 1
n
h h f ( k )] (b a ) k 1 12 12 n
3
2
f (
n
k
)
/*中值定理*/
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h2 (b a ) f ( ), (a , b ) 12
二、复化辛普森公式:
h
ba , xk a k h n
由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难.
n x xj ( x x0 )( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) lk ( x ) ( x k x0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 )( x k x n ) j 0 x k x j jk
．我们将f (ζ)称为区间[a, b]上的平均高度．这样，只要对平均高度f
(ζ) 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法．
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如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f (ζ)
的近似值，这样导出的求积公式
T ba [ f (a ) f (b)] 2
便是我们所熟悉的梯形公式 .
而如果改用区间中点
ab c 2 的“高度”f (c)近似地取代平均高度f (ζ)，则又可导出所谓中矩
形公式(今后简称矩形公式)：
ab R (b a ) f 2
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更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk，然
后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f (ζ)的近似值，这样构造出的求积 公式具有下列形式

b
a
f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
( 2.1)
式中 xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称为伴随节点 xk 的
权．权Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的具
体形式． 这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问
题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求