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第三章_数值计算方案

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第三章线性方程组AX=B的数值解法

第三章线性方程组AX=B的数值解法

线性方程组的解（续1）
求逆运算和行列式计算由于运算量大，实 际求解过程中基本不使用，仅作为理论上 的定性讨论 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在 实际应用中存在很大的困难，在线性代数 中，为解决这一困难给出了高斯消元法 还有三角分解法和迭代求解法

11.03.2019 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲

11.03.2019 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.4 高斯消去法和选主元（续1）

考虑一个简单的例子：
3x 1 2x 2 7 4x 1 x 2 1

求解第二个方程，得
x2 5

第二个方程减去第 一个方程除以3再乘 以4得到的新方程， 得到新的方程组：
3x 1 2x2 7 5 25 x2 3 3
上三角线性方程组的求解（续1）
(2) 式可简写成 u11 U
11.03.2019
U x b ， 其中
u12 u1n u 22 u 2 n u nn
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.4 高斯消去法和选主元
求解有N个方程和N个未知数的一般方程组 AX=B的一般做法：构造一个等价的上三角 方程组UX=Y，并利用回代法求解 如果两个N×N线性方程组的解相同，则称 二者等价 对一个给定方程组进行初等变换，不会改 变它的解
2 x1 x2 4 x3 16 1 x2 5x3 -14 2 x1 3x2 3x3 16
2 x1 x 2 4 x3 16 1 x 2 5 x3 -14 2 5 x 2 x3 8 2
11.03.2019
2x1 x2 4x3 16 x2 10x3 -28 26x3 78

第三章物理学中定积分的数值计算方法

第三章物理学中定积分的数值计算方法

第三章 物理学中定积分的数值计算方法一、填空题1、库仑常数k 等于 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0等于8.85×10-12F/m 。

2、对于电量为Q 的点电荷，在距离r 处产生的电场强度为21ˆˆ()4QrE r rrrπε==。

3、已知定积分()ba f x dx ⎰，被积分函数为()f x ，积分区间为[],ab 。

将该区间N 等分，步长()/x b a N ∆=-，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。

积分近似计算公式为1()()N bi ai I f x dx f x x -==≈∆∑⎰。

4、毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034Idl rdB r μπ⨯=。

5、玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。

6、麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2v kTdN f v dv v e dv N kTμμππ-==。

7、在计算物理中求解定积分的方法有 辛普森法 、 龙贝格法 、 高斯求积法等。

二、简答1、写出库仑常数、真空中的介电常数和玻尔兹曼常数的值。

答：库仑常数k= 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0= 8.85×10-12F/m ，玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。

2、什么是矩形法？答：已知定积分()ba f x dx ⎰，被积分函数为()f x ，积分区间为[],ab 。

将该区间N 等分，步长()/x b a N ∆=-，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。

积分近似计算公式为1()()N bi ai I f x dx f x x -==≈∆∑⎰。

3、毕奥—萨伐尔定律和麦克斯韦速率分布律公式。

答：毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034Idl rdB rμπ⨯=。

麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2v kTdN f v dv v e dv N kTμμππ-==。

第三章 MATLAB数值计算

第三章 MATLAB数值计算
all any isempty isequal isreal find
功 能
如果所有的元素都是非零值，返回1；否则，返回0。 如果有一个元素为非零值，那么返回1；否则，返回0 判断是否空矩阵 判断两矩阵是否相同 判断是否是实矩阵 返回一个由非零元素的下标组成的向量
常用的矩阵函数
矩阵的行列式、矩阵的秩、特征值等在现代控制理论 中有广泛的应用，Matlab提供了相应的函数求其值 • det(A) 方阵A的行列式 • eig(A) 方阵A的特征值和特征向量 • rank(A) 矩阵A的秩 • trace(A) 矩阵A的迹 • expm(A) 矩阵的指数 • sqrtm(A) 求矩阵的平方根 • funm(A,’fun’) 求一般的方阵函数
矩阵的修改
• (1)直接修改 可用↑键找到所要修改的矩阵，用←键移动到要 修改的矩阵元素上即可修改。
• (2)指令修改 可以用A(﹡, ﹡)=﹡ 来修改。 • (3)由矩阵编辑器修改 由Matlab提供工具栏按钮来查看工作区变量，单 击变量，可以打开或删除变量
• 例： 修改矩阵A中元素的数值 >>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]; >>A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0); 则矩阵变为： • A= 0 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14、控制理论、物理学等领域中的很多 问题都可以归结到下面的线性方程组
矩阵行列式
• 如N阶矩阵A的行列式不等于0，即时，称矩阵 A非奇异，否则A奇异。当线性方程系数矩阵 非奇异，则线性方程有唯一解。对N阶方阵A， MATLAB中由函数得到行列式

数值计算方法教案

数值计算方法教案

数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。

第三章流场的数值计算方法及湍流模型介绍.

第三章流场的数值计算方法及湍流模型介绍.

3.1 流场数值计算的主要方法
分离式解法
分离式解法不直接解联立方程组，而是顺序地、 逐个地求解各变量代数方程组。依据是否直接求 解原始变量，分离式解法分为原始变量法和非原 始变量法
3.2 SIMPLE算法的求解思想
压力修正法 分类
SIMPLE算法 SIMPLC方法 PISO算法
3.2 SIMPLE算法的求解思想
3.2 SIMPLE算法的求解思想
修正的原则
与修正后的压力场相对应的速度场能满足这—迭代层 次上的连续方程。
两个关键问题
如何获得压力修正值(即如何构造压力修正方程)，以 及如何根据压力修正值确定“正确”的速度(即如何 构造速度修正方程) 。
3.2 SIMPLE算法的求解思想
SIMPLC算法
在通量修正方法上有所改进，加快了计算的收敛速度。
3.1 流场数值计算的主要方法
3.1 流场数值计算的主要方法
耦合式解法 (1)假定初始压力和速度等变量，确定离散方程的 系数及常数项等。 (2)联立求解连续方程、动量方程、能量方程。 (3)求解湍流方程及其他标量方程。 (4)判断当前时间步上的计算是否收敛。若不收敛， 返回到第(2)步，迭代计算。若收敛，重复上述 步骤，计算下一时间步的按理量。
第三章 流场的数值计算方法及湍流模型介绍
本章授课内容
流场数值计算的主要方法 SIMPLE算法的求解思想 湍流模型的介绍Biblioteka 3.1 流场数值计算的主要方法
流场计算的基本过程是在空间上用有限体积法或
其他类似方法将计算域离散成许多小的体积单元， 在每个体积单元上对离散后的控制方程组进行求 解。流场计算方法的本质就是对离散后的控制方 程组的求解。 对离散后的控制方程组的求解可分为耦合式解法 (coupled method)和分离式解法(segregated method)

数值分析--第三章--迭代法

数值分析--第三章--迭代法

数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。

线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。

得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。

转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。

上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。

特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。

⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。

所以只需要⼀组存储单元。

转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。

计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。

数值计算方法第3章3-04范数


是收敛的，称 A 为矩阵序列 A(k) 的收敛极限。
矩阵的收敛
记矩阵序列 A(k) 是收敛于 A 为： lim A(k) A 。 k
Rnn 上 的 矩 阵序 列 A(k) 是 收 敛 于 A 的 充 要 条件 为
lim
k
a(k ij
)
aij
。
其中
a(k ij
矩阵范数的另一个定义 设A Rnn ，矩阵A
A sup Ax
x 1 xR n
的范数
4 常用的矩阵范数
设 A [aij ]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
n
A max aij 1in j1
n
A 1 max aij 1 jn i 1
)
和 aij
分别表示
A( k )
和
A
的第 i 行第
j
列的元素。
定义 设 A Rnn ，如果存在 R 使
Ax x
则称 为A 的一个特征值。x 就是特征值 对应的特征向量。
谱半径
定义 6：对于 Rnn 上的矩阵 A ，设 A 的特
征值为 1, 2 , , n ，称 ( A) max{1, 2 , ,n} 为 矩 阵 A 的 谱 半
但在各种范数下，考虑向量序列收敛性时结论时一致的，一致的含义
是收敛都收敛，且有相同的极限。
提出各种范数是为解不同问题时用的，即对某一个问题可能是某一种
范数方便，而另一种范数不方便。
向量范数的等价定理 给定 x Rn ，对于Rn

，


，总存在与x 无关的正常数m

，M
对一切 x Rn 成立。

数值计算方法教案

数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与意义介绍数值计算的概念解释数值计算在科学研究与工程应用中的重要性1.2 数值计算方法分类介绍数值逼近、数值积分、数值微分、数值解方程等基本方法分析各种方法的适用范围和特点1.3 误差与稳定性解释误差的概念及来源讨论数值计算中误差的控制与减小方法介绍稳定性的概念及判断方法第二章：插值与逼近2.1 插值法的基本概念介绍插值的概念及意义解释插值函数的性质和条件2.2 常用的插值方法介绍线性插值、二次插值、三次插值等方法分析各种插值方法的优缺点及适用范围2.3 逼近方法介绍切比雪夫逼近、傅里叶逼近等方法解释逼近的基本原理及应用场景第三章：数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念介绍数值积分的概念及意义解释数值积分的原理和方法3.2 常用的数值积分方法介绍梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式等方法分析各种数值积分方法的适用范围和精度3.3 数值微分的基本概念与方法介绍数值微分的概念及意义解释数值微分的原理和方法第四章：线性方程组的数值解法4.1 线性方程组数值解法的基本概念介绍线性方程组数值解法的概念及意义解释线性方程组数值解法的原理和方法4.2 常用的线性方程组数值解法介绍高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法分析各种线性方程组数值解法的优缺点及适用范围4.3 稀疏矩阵技术解释稀疏矩阵的概念及意义介绍稀疏矩阵的存储和运算方法第五章：非线性方程和方程组的数值解法5.1 非线性方程数值解法的基本概念介绍非线性方程数值解法的概念及意义解释非线性方程数值解法的原理和方法5.2 常用的非线性方程数值解法介绍迭代法、牛顿法、弦截法等方法分析各种非线性方程数值解法的优缺点及适用范围5.3 非线性方程组数值解法介绍消元法、迭代法等方法讨论非线性方程组数值解法的特点和挑战第六章：常微分方程的数值解法6.1 常微分方程数值解法的基本概念介绍常微分方程数值解法的概念及意义解释常微分方程数值解法的原理和方法6.2 初值问题的数值解法介绍欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等方法分析各种初值问题数值解法的适用范围和精度6.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法、有限元法、谱方法等方法讨论边界值问题数值解法的特点和挑战第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程数值解法的基本概念介绍偏微分方程数值解法的概念及意义解释偏微分方程数值解法的原理和方法7.2 偏微分方程的有限差分法介绍显式差分法、隐式差分法、交错差分法等方法分析各种有限差分法的适用范围和精度7.3 偏微分方程的有限元法介绍有限元法的原理和步骤讨论有限元法的适用范围和优势第八章：数值模拟与计算可视化8.1 数值模拟的基本概念介绍数值模拟的概念及意义解释数值模拟的原理和方法8.2 计算可视化技术介绍计算可视化的概念及意义解释计算可视化的原理和方法8.3 数值模拟与计算可视化的应用讨论数值模拟与计算可视化在科学研究与工程应用中的重要作用第九章：数值计算软件与应用9.1 数值计算软件的基本概念介绍数值计算软件的概念及意义解释数值计算软件的原理和方法9.2 常用的数值计算软件介绍MATLAB、Mathematica、Python等软件的特点和应用领域9.3 数值计算软件的应用案例分析数值计算软件在科学研究与工程应用中的典型应用案例第十章：数值计算方法的改进与新发展10.1 数值计算方法的改进讨论现有数值计算方法的局限性介绍改进数值计算方法的研究现状和发展趋势10.2 新的数值计算方法介绍近年来发展起来的新型数值计算方法分析新型数值计算方法的优势和应用前景10.3 数值计算方法的未来发展探讨数值计算方法在未来可能的发展方向和挑战重点和难点解析一、数值计算概述难点解析：对数值计算概念的理解，误差来源及控制方法的掌握。

第三章 求代数式的值


1 x 4 y2 _____ 2
a-b 的相反数是b-a，x2 3 y2的相反数为 3 y2 x2
x2 y2 的相反数为 x2 y2 或 x2 y2
例2、若2b-a=5，求代数式5(a-2b)2-3(a-2b)-60的值。
a与b ba
互为倒数
x y xy x y 与 xy
互为倒数
数学·新课标（BS）
例1.按右边图示的程序计算，若
开始输入的n值为2，则最后输出
的结果是
。
输入n
计算
的值
当n 2 时, 当n 3时, 当n 6 时,
nn 1 23 3
2
2
nn 1 3 4 6
2
2
nn 1 6 7 21
2
2
当n 7 时, nn 1 21 22 231
2
2
＞200
yes 输出结果
no
当x 2时, ax4 bx2 c 9，
当x 2时, ax4 bx2 c 5,则c __2__。
1.若m 2n 5, 则 5m 2n2 6n 3m 60
例2、一工厂有煤x(t),计划每天烧煤y(t). (1)列式表示计划可烧煤的天数. (2)若实际每天少烧煤0.5t,列式表示实际比计划多烧煤的天数. (3)当x=72,y=6时，求计划烧煤天数以及实际比计划多烧煤的天数. 解：（1）由题意得，计划烧煤天数为 x (天）
解：(1)乘甲车所需的车费为50(x＋1)×80%(元)，
乘乙车所需的车费为50x·90(元)%；
(2)当x＝6时，50(x＋1)×80%＝40×7＝280(元)， 50x·90%＝45×6＝270(元)，乘乙车合算； 当x＝10时，50(x＋1)×80%＝40×11＝440(元)， 50x·90%＝45×10＝450(元)，乘甲车合算．

(计算物理学)第3章物理学中定积分的数值计算方法


辛普森法则
总结词
详细描述
公式表示
辛普森法则是另一种改进的数值积分 方法，通过将积分区间划分为若干个 小的子区间，然后在每个子区间上取 一个点，并使用这些点的函数值来近 似积分值。
辛普森法则是基于梯形法的改进，它 使用了更多的点来近似函数曲线。具 体来说，它在每个子区间上取两个点 （即区间的端点和中点），然后使用 这两个点的函数值来计算该子区间的 近似面积。将这些近似面积相加，即 可得到定积分的近似值。
几何意义
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即原函数曲线与x轴、 x=a、x=b所围成的区域面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf(x)+f (x)dx
区间可加性
∫caf(x)dx=∫baf(x)dx+∫caf(x)dx
常数倍性质
k∫baf(x)dx=k∫baf(x)dx
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误差分析
梯形法误差主要来源于对曲线的近似，当梯形 越多，近似程度越高，误差越小。
适用范围
适用于被积函数在积分区间上变化较小的情形。
辛普森法则的误差分析
辛普森法则的基本思想
将积分区间分成若干个小区间，每个小区间上用抛物线代替曲线， 然后求抛物线面积之和。
误差分析
辛普森法则误差主要来源于对曲线的近似，当抛物线越多，近似程 度越高，误差越小。
形等。
计算体积
02
定积分可以用来计算三维物体的体积，例如长方体、球体、圆
柱体等。
计算长度
03
定积分可以用来计算曲线或曲面的长度，例如圆的周长、椭圆
的弧长等。
在物理学中的应用
01
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e = u − uˆ = u − u + u − uˆ
其中，u 为真实解， uˆ 为数值计算 解， u 为差分方程
的准确解。可以看出造成模式计算误差的两个主要来源 是： （1）截断误差
u − u ，它是由差分方程模拟微分方程的近似中造成
的，这种误差依赖于时间步长和空间格距； （2） 舍入误差
u − uˆ ，它是由计算机的精度造成的。舍入误差在长
利用差分格式得到的解是否可以看作微分方程的近似解呢？或者说
时，差分方程的解是否会逼近于微分方程的解？这涉及
差分解的收敛性。 显然收敛的一个必要条件是
时，差分格式 微分方程，
这称为差分方程与微分方程相一致或者称为相容性。前面给出的几
种差分格式作为微商的近似当然能够保证相容性，但是满足相容性
是否能够保证解的收敛性？
差分方程及有关的基本概念
差分方程：将微商近似用差商代替得到的代数方程称为差分方程。
一维平流方程
针对这样一个微分方程中的每一个微分算子，可以给出若干个差分 格式，从而形成不同的差分方程。对于一个已知的函数而言，在某 个点微分值是唯一确定的，采用了不同的差分格式后，由于不同的 差分格式具有不同的内在性质和与原来微分算子有不同的近似程 度，呈现不同的数值效应。 因此，要使得采用的差分格式得到的数值解能够很好地反映真实的 物理现象，仔细分析各种格式的有效性、可靠性以及长期数值积分 的收敛性显得尤为重要。下面我们给出涉及差分格式的有关基本概 念。
离散化的网格（网格覆盖）： 正方形，正三角形，正六边形，多边形等
三角形精度较好但算法比较复杂，正六边形的精度与正方形的 大体相当，算法比正方形的复杂。因此，通常使用正方形的网 格。 要点：等距（或不等距）节点上的函数值的集合表示连续函数
有限差分代替微分（为了改进差分算子的性能，常对 微分方程先做一定变形）
z精度的表示：舍去项的阶数
离散化的方法：虽然正方形覆盖计算精度比三角形差些，但其 在程序化方面最容易实现，因此一般的网格覆盖大都采用正方 形网格。设计算区域为二维矩形区域，将它划分为网格：
这样可以用网格点标号(n,m,k) 来表示时空域 (x,y,t) 中点的位 置。由于气象场具有很好的光滑性，因此可以函数f在x点展开为 泰勒级数的形式。以一元函数f(x) 为例有：
2
if 1 ≥ β ≥ 0 ⇒ G 2 ≤ 1
可以看出 β ≤ 1 是该格式 k +1 n
=
L( Fnk
)，设初值为：Fn0
=
A0eiμ (nΔx) ,
解的形式为：Fnk
=
Aeiμ (nΔx−μkΔt )
=
A Geiμ (nΔx−μkΔt ) 0
和 r2 = − Δt Δx

直线PQ 的斜率等于
r0 =
1 u
。如果
Δt ≤ 1 Δx u
则Q点落入
AB内，反之Q将落到AB 外。如果让 Δt 和 Δx 均趋于0
但始终保持 Δt ≥1 ，Q点的初值与AB中点的初值毫 无关系，也就是Δx说差分方程的解和微分方程的解无关，
不论 Δt 和 Δx 取得如何小，差分解也不会收敛到微分
则称差分格式是稳定的。其中C为与Δt和格距d无关的 参数， εk 是 εk 的某种意义下的范数。
显然一个不稳定的差分格式得到的解是不可能收敛到微 分方程的准确解的，因此设计稳定的差分格式就显得非 常重要。
计算稳定性的分析方法
通常分析差分格式的稳定性有以下几种方 法：
（1）直接证明差分格式的有界性； （2）采用能量法来证明差分格式的稳定性； （3）采用谐波分析的方法。 其中采用谐波分析的方法最为有效和使用方
精度表示：截取的展开项数
截断方式：菱形截断——构造简单 三角截断——各向同性
（经纬向相同分辨率）
（2）有限元法－－－－在气象上很少用
（3）有限差分法－－大气格点模式
对于充分光滑的函数，其导数是当自变量的 增量趋于0 时，因变量的增量与自变量的增 量之商的极限。对于大气系统而言，实际使 用的网格距Δx 与方程所描述运动的特征尺 度相比，是一个很小的量，因此可以采用变 量的增量与自变量的增量之商来近似表示导 数，也即是采用与求导数相反的过程得到相 应的差分方程。
用分析稳定性的方法,把改写成
un+1 = 1+ iαωΔt un 1− iβωΔt
得到增幅因子G的表示式
G
=
1+ iαωΔt 1− iβωΔt
=
1−αβ (ωΔt)2 + iωΔt 1+ β 2 (ωΔt)2
为球面函数
Plm (sin ϕ) 为归一化的缔合Legendre多项式
利用(a)的展开方法把所有的预报变量在球面上展开，带入大 气的基本运动方程组，对谱系数进行预报，然后通过逆变换 得到预报场。这种方法的计算量很大。 由于边界比较难于处理，因此很少用来做区域的数 值天气预报和模拟。
用有限项谱展开表示连续函数 线性微分运算可针对基函数直接进行 非线性项采取变换方法（谱模式得以 实现的关键）
设f
k n
=
Ak eiμxn ,带入差分方程有：Ak+1
= (1− β ) Ak
+ β Ak e−iμΔx
设增幅因子为：G =
Ak +1 Ak
,当
Ak +1 Ak
=
G
≤ 1时格式稳定。
G=(1− β ) + β e−iμΔx ⇒
G 2 =1-2β (1− β )(1− cos μΔx) = 1− 4β (1− β ) sin2 μΔx
一维线性平流方程的准确解是F(x,t)=F(x-ut,0) ，它表
明 (x,t) 空间任意一点P的值只由初始点Q的值确定，Q
点是通过P点的特征线(t-tp=x-xp)与X轴的交点，对于差 分方程，P 点的解也存在一个依赖区，不难推知它就是
图中AB 线段内的点，直线AP和BP的斜率分别为 r1 = Δt Δx
期的数值积分过程中是否增长，这涉及到差分格式的稳定 性问题。
这里利用一维的线性平流方程来讨论。其微分方程 的近似解需要利用差分方程的时间积分才能得到某 一时刻的解。
如果初始时刻或者计算过程中有一个误差，那么这 个误差会不会增长起来？为了简单起见，我们对一 维的线性平流方程的时间微分项采用前插格式，空 间微分项也采用前差格式，则有如下差分方程：
数值天气预报
第三章 数值计算方案
兰州大学大气科学学院
数值计算方案
通常的大气数值模式的控制方程组是一组复杂的非线性偏微分方 程组，不可能找到一个普遍的解析求解方法，只能采用数值方法 求离散方程的近似解。
常用的数值方法有：
（1）差分方法：采用差商代替微商，使得偏微分方程组变成差分 方程组，可以用代数方法求解；
能保证收敛
稳定性：当 n → ∞ 时数值解如果无穷增大则不稳定
守恒性：差分格式应该尽可能的满足某些物理量的守恒性
质。
色散性：差分格式的解尽管在稳定性的保证下能收敛于源
方程的准确解,但是在准确剧变的位置常常呈现光滑现象,这 种格式称为具有耗散性。
弥散性：在准确剧烈变化的地方还常常呈现微小的”高频振
解。这就说明相容并不能保证收敛。
∂u + c ∂u = 0 ∂t ∂x
关于收敛性有一个著名的Lax 等价定理： 对于一个适定的初值问题，如果差分格式是相容的，那么
计算的稳定性是收敛性的充分必要条件。 一般来说，差分格式的收敛性指的是：在解区的所有
网格上，固定nΔt，考察微分方程的初值问题的真解
（2）谱方法：利用适当的基函数（如球谐函数），把解展开成有 限项的线性组合，将对一个变量预测的问题转化为预报展开系数 的问题；
（3）有限元方法：把偏微分方程问题变成相应的泛函极小问题， 以变分原理为基础，又吸收差分方法的思想而发展起来的新方 法。
在这三种方法中，差分方法最为简便，应用最广泛；有限元方法 在大气数值模式的设计中使用较少。本章主要介绍差分方法的基 础知识。有关谱方法将在后面的章节中加以介绍。
差分方程及有关的基本概念
若时间和空间都采用中央差分近似，则可以得到如下的差分方 程：
时刻t=（k+1)Δt 在格点x=nΔx 上的值fk+1n ，可以根据t=（k-1)Δt和 t=kΔt时刻的值求出，只要给出初始时刻k=0 的值及边界上的值，问 题可获得解决，(k=1时刻的值可以通过采用时间的前插格式利用初 值计算得到)。上述格式涉及三个时间层，通常称为蛙跃格式。
中尺度模式通常是有限区域模式
对描述大气运动方程的离散化采用以下几种方法
（1）谱方法－－－－大气谱模式
这种方法通常来形成全球或者半球区域的数值模式
J m +J
∑ ∑ φ(λ,ϕ,t) = a2
φlm (t)Ylm (λ,ϕ)
m=−J l= m
（a)
Ylm (λ,ϕ ) = Plm (sin ϕ )eimλ
便。
谐波法测试差分格式的有界性
一维线性平流方程及其差分格式为：（u=常数）
∂f + u ∂f = 0方程的准确解是：f (x,t) = F (x − ct) = Aeiμx ∂t ∂x
f k +1 n
−
Δt
f
k n
+u
f
k n
−
fk n−1
0⇒
Δx
f k +1 n
=
(1 −
β
)
fnk
+β
fk n−1
由表可见，对于波长为4Δx以下的波，误差很大，要求相对误差 低于10%，波长须在8Δx以上。
对于二阶导数，可以类似的得到：
对于二元函数的拉普拉斯算子，则有如下的差分格式：